曹玉巖，王建立，陳 濤，呂天宇，王洪浩，張 巖，王富國

(1. 中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

1 引 言

隨著口徑的不斷增大，地基望遠(yuǎn)鏡的結(jié)構(gòu)尺度越來越復(fù)雜，結(jié)構(gòu)重力/熱變形會導(dǎo)致主次鏡失調(diào)誤差，從而造成成像質(zhì)量下降，因此失調(diào)誤差的主動補(bǔ)償成為了研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1]。以兩鏡面望遠(yuǎn)鏡為例，即望遠(yuǎn)鏡中只考慮主鏡和次鏡，光學(xué)系統(tǒng)的失調(diào)誤差主要包括離焦和彗差，其中離焦是由主次鏡間隔偏差所致，彗差是由主次鏡相對偏心和傾斜所致，且會伴隨有像散和球差出現(xiàn)。在望遠(yuǎn)鏡失調(diào)誤差校正方面，歐洲南方天文臺ESO在NTT望遠(yuǎn)鏡[2]上首先開創(chuàng)了基于主動光學(xué)的校正技術(shù)，利用波前傳感器來監(jiān)視圖像質(zhì)量，并分解為像差模式系數(shù)，以此作為反饋來調(diào)整次鏡的位置實(shí)現(xiàn)失調(diào)誤差校正。隨后這項(xiàng)技術(shù)被廣泛應(yīng)用到8～10 m級地基大型望遠(yuǎn)鏡上[3-10]，其中VLT望遠(yuǎn)鏡采用3個獨(dú)立的調(diào)整機(jī)構(gòu)來分別調(diào)整離焦、偏心和傾斜[2]，TNG[4]和VST[5-9]采用Hexapod平臺來補(bǔ)償失調(diào)誤差，MMT采用變形鏡來實(shí)現(xiàn)失調(diào)誤差補(bǔ)償[10]。

從原理上，離焦偏差可以通過在光軸方向上移動次鏡來補(bǔ)償，而彗差則需要沿x和y方向移動并結(jié)合x/y方向轉(zhuǎn)動次鏡來補(bǔ)償，伴隨出現(xiàn)的像散和球差也相應(yīng)的減小，這里假設(shè)z軸為光軸方向。因此，為了補(bǔ)償主次鏡的失調(diào)誤差，即離焦和彗差，次鏡需要在空間5個自由度上可調(diào)整。Hexapod平臺由于具有剛度大、調(diào)整自由度多、位置誤差不累計(jì)等優(yōu)點(diǎn)，已作為次鏡調(diào)整機(jī)構(gòu)用于地基大型望遠(yuǎn)鏡中[4-9， 11-12]。

在實(shí)際應(yīng)用中，采用Hexapod平臺調(diào)整次鏡來校正主次鏡失調(diào)誤差通常有兩種工作模式：一種是閉環(huán)模式，如VST[5]，以波前傳感器反饋的像差模式系數(shù)作為反饋，實(shí)時調(diào)整次鏡的位置；另一種是開環(huán)模式，通過望遠(yuǎn)鏡在不同俯仰角度狀態(tài)下觀測恒星，標(biāo)定出對應(yīng)次鏡的調(diào)整位置，工作時采用查表方式來實(shí)現(xiàn)失調(diào)誤差補(bǔ)償。在觀測恒星標(biāo)定時，需要準(zhǔn)確給出Hexapod平臺每個支桿的控制輸入，在沒有波前傳感器的情況下往往很難從所觀測的圖像直接給出各個支桿的控制輸入，通常采用反復(fù)迭代嘗試的方式實(shí)現(xiàn)標(biāo)定。若能利用望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，對不同姿態(tài)下的主次鏡失調(diào)誤差進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)失調(diào)誤差的估計(jì)值進(jìn)行標(biāo)定，不但能提高標(biāo)定精度，而且能降低標(biāo)定迭代次數(shù)，提高效率?；谶@一目的，本文以長春光機(jī)所研制的2 m口徑地基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡為對象，研究基于Hexapod平臺的主次鏡失調(diào)誤差估計(jì)和主動補(bǔ)償技術(shù)。首先，詳細(xì)介紹了望遠(yuǎn)鏡的結(jié)構(gòu)組成，并基于有限元方法建立結(jié)構(gòu)力學(xué)模型。然后，簡要介紹了失調(diào)誤差的產(chǎn)生原因及失調(diào)誤差補(bǔ)償流程，以主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)當(dāng)前位置作為輸入，提出了基于非線性最小二乘擬合的主次鏡失調(diào)誤差計(jì)算方法，并在此基礎(chǔ)上提出了基于空間坐標(biāo)變換來確定Hexapod平臺控制輸入的方法。最后，分別給出了重力和熱載荷環(huán)境下的數(shù)值算例，來驗(yàn)證本文提出的模型及計(jì)算方法。

2 望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)力學(xué)建模

2 m級地基望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，總體高度為6.4 m，寬度為3.7 m，總質(zhì)量接近30噸。從光機(jī)結(jié)構(gòu)角度，望遠(yuǎn)鏡主要包括機(jī)架、主鏡組件、次鏡組件以及多個成像終端等，這里為了簡化分析流程，僅考慮前三部分。

圖1 2 m望遠(yuǎn)鏡簡化結(jié)構(gòu)

機(jī)架是光學(xué)系統(tǒng)及其他觀測終端的載體，通過俯仰軸和方位軸的高精度回轉(zhuǎn)運(yùn)動實(shí)現(xiàn)望遠(yuǎn)鏡對任一天區(qū)的精確指向和對目標(biāo)的跟蹤測量。機(jī)架中各部分以及相互連接關(guān)系如圖1所示，方位軸和俯仰軸均采用力矩電機(jī)直驅(qū)方式來實(shí)現(xiàn)回轉(zhuǎn)運(yùn)動控制。

望遠(yuǎn)鏡主鏡材料為SiC，具有比剛度大、質(zhì)量輕、熱穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)。輕量化SiC主鏡的支撐結(jié)構(gòu)必須具有較好的熱解耦能力，以解決SiC材料與支撐結(jié)構(gòu)/鏡室材料熱膨脹系數(shù)差異大的問題，進(jìn)而降低溫度變化對主鏡面形的影響。SiC主鏡采用了A-Frame型柔性側(cè)支撐方式，并結(jié)合18點(diǎn)機(jī)械式whiffletree軸向支撐方式，形成了鏡體與鏡室及支撐結(jié)構(gòu)具有較好熱匹配效果的被動支撐系統(tǒng)。SiC主鏡支撐結(jié)構(gòu)原理如圖2所示[13-14]，6組柔性切向桿在主鏡軸向和徑向上均加工柔性切口，并通過A-Frame型結(jié)構(gòu)擴(kuò)展為12個側(cè)向支撐點(diǎn)；軸向支撐結(jié)構(gòu)為3個實(shí)際硬點(diǎn)通過逐級分散擴(kuò)展方式形成18個等力支撐點(diǎn)，在每個支撐點(diǎn)處采用柔性細(xì)長桿與主鏡相連接，充分利用柔性細(xì)長桿軸向剛度大橫向柔度大的優(yōu)勢，在克服SiC主鏡鏡體重力的同時，能夠?qū)崿F(xiàn)主鏡徑向自由膨脹，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)熱變形的解耦。

圖2 SiC主鏡支撐結(jié)構(gòu)原理

望遠(yuǎn)鏡次鏡同樣采用具有熱變形匹配的bipod型支撐結(jié)構(gòu)來消除熱脹系數(shù)差異性對次鏡面形精度的影響。此外，次鏡及其支撐結(jié)構(gòu)通過Hexapod平臺實(shí)現(xiàn)位姿調(diào)整，以補(bǔ)償因裝調(diào)或結(jié)構(gòu)變形造成的主次鏡失調(diào)誤差。

對于如此復(fù)雜的望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)，即使不考慮其他成像終端，各組成部分的詳細(xì)建模依然非常困難。因此做如下簡化：望遠(yuǎn)鏡的方位軸承和俯仰軸承承載裕度非常高，在力學(xué)分析時，將它視為理想體，即忽略鋼球的摩擦及間隙對分析結(jié)果的影響；機(jī)械WIFFLETREE浮動支撐中的各個運(yùn)動副，如球鉸等，視為理想運(yùn)動副，忽略摩擦及間隙的影響；連接次鏡的Hexapod平臺的6個支桿視為理想線性促動器，即不考慮Hexapod平臺本身的控制誤差。

針對上述2 m望遠(yuǎn)鏡的簡化結(jié)構(gòu)，采用有限元方法建立望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型如圖3所示，結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程可以表達(dá)為：

(1)

其中：[M]，[C]，[K]分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，{x}為位移向量，{F}為載荷向量。

圖3 2 m望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)的有限元模型

望遠(yuǎn)鏡工作狀態(tài)下，方位軸和俯仰軸的轉(zhuǎn)動速度非常慢，可視為準(zhǔn)靜態(tài)過程，由此結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程簡化為：

[K]{x}={F}.

(2)

望遠(yuǎn)鏡觀測過程中，主鏡和次鏡的鏡面位置和面形精度起決定性作用，因此在望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)力學(xué)仿真模擬時往往更關(guān)心主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)位置的變化情況。主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)位移可以表達(dá)為：

(3)

其中：{qp}，{qs}分別為主鏡和次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)位移向量；[Φp]，[Φs]分別為與主鏡和次鏡相關(guān)的選擇矩陣，在鏡面節(jié)點(diǎn)位置處元素為1，其余元素為0。

利用由式(2)和式(3)所得到的鏡面節(jié)點(diǎn)位移，并結(jié)合鏡面節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前位置，可以將主次鏡鏡面的當(dāng)前位置表達(dá)為：

(4)

式(4)給出了主次鏡鏡面上各個節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前位置，據(jù)此可以進(jìn)行后續(xù)光學(xué)性能分析并通過控制Hexapod平臺調(diào)整次鏡進(jìn)行失調(diào)誤差主動補(bǔ)償。

3 光學(xué)失調(diào)誤差計(jì)算及主動補(bǔ)償

3.1 失調(diào)誤差產(chǎn)生的原因

在光學(xué)系統(tǒng)中，主次鏡失調(diào)誤差所引入的像差包括離焦和彗差，以及少量的像散和球差，可以通過主動控制主次鏡的相對位置來補(bǔ)償。如圖2所示，望遠(yuǎn)鏡主鏡采用被動支撐方式，僅能通過控制次鏡的位置實(shí)現(xiàn)對主次鏡失調(diào)引入的像差進(jìn)行補(bǔ)償。

3.1.1 主鏡支撐組件變形所導(dǎo)致的主鏡偏差

由于主鏡支撐結(jié)構(gòu)中采用了柔性切口或細(xì)桿來適應(yīng)光學(xué)材料與結(jié)構(gòu)材料熱脹系數(shù)的差異性，主鏡支撐結(jié)構(gòu)剛度有限，自身重力作用造成了主鏡相對于主鏡室的偏差，包括位置偏差和角度偏差，且偏差隨著望遠(yuǎn)鏡俯仰角度的變化而改變。

3.1.2 主鏡鏡面變形所導(dǎo)致的曲率半徑偏差

主鏡鏡面曲率半徑的變化會使光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生離焦，需要根據(jù)當(dāng)前鏡面的曲率半徑來調(diào)整主次鏡間距來予以補(bǔ)償。從分析結(jié)果上看，主鏡鏡面的曲率半徑變化在0.01 mm量級。

3.1.3 桁架變形所導(dǎo)致的次鏡偏差

如圖1所示，在高度方向上，桁架的跨度非常大，接近2.5 m，盡管桁架結(jié)構(gòu)中采用了直徑很大的桿件，但由于環(huán)梁以及四翼梁等結(jié)構(gòu)載荷非常大，接近500 kg，這間接造成了次鏡的偏差。

3.1.4 熱變形導(dǎo)致的失調(diào)誤差

環(huán)境溫度變化會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)熱變形，使主次鏡偏離理論位置，主要造成了主次鏡間隔出現(xiàn)偏差，即離焦，其余偏差相對較小。

3.2 失調(diào)誤差補(bǔ)償?shù)幕玖鞒?/h3>

在望遠(yuǎn)鏡的工作過程中，結(jié)構(gòu)變形導(dǎo)致主次鏡失調(diào)誤差，引入離焦和彗差，最終影響望遠(yuǎn)鏡的觀測性能。結(jié)構(gòu)變形所引入的像差隨著望遠(yuǎn)鏡俯仰角度的變化而實(shí)時改變，通過控制次鏡后端的Hexapod平臺實(shí)時調(diào)整次鏡的位置和姿態(tài)，從而對失調(diào)誤差予以補(bǔ)償，具體流程如圖4所示。首先，利用望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，根據(jù)當(dāng)前載荷條件，由式(4)計(jì)算主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前位置。然后，根據(jù)主次鏡鏡面當(dāng)前的節(jié)點(diǎn)位置，利用非線性擬合方法計(jì)算主次鏡的最佳擬合曲面，這里將主次鏡鏡面均簡化為球面，得到最佳擬合球面球心、曲率半徑以及光軸方向。以主鏡光軸及最佳擬合球面為基準(zhǔn)，計(jì)算主次鏡的位置和姿態(tài)偏差，并以補(bǔ)償這部分偏差為目標(biāo)，計(jì)算Hexapod平臺支桿長度的變化量，即為Hexapod平臺的控制輸入，從而實(shí)現(xiàn)對光學(xué)像差的補(bǔ)償。最后，對補(bǔ)償后的主次鏡進(jìn)行光學(xué)性能分析及評價。

圖4 失調(diào)誤差補(bǔ)償流程

3.3 主次鏡鏡面位置的非線性最小二乘擬合

在失調(diào)誤差補(bǔ)償流程中，一個重要環(huán)節(jié)是確定主次鏡的當(dāng)前位置。在結(jié)構(gòu)力學(xué)模型中，主次鏡的當(dāng)前位置是由若干離散節(jié)點(diǎn)來表示的，采用非線性擬合方法來獲得這些離散節(jié)點(diǎn)的最佳擬合曲面，并以此來表示主次鏡鏡面的當(dāng)前位置是合理有效的方法。擬合誤差定義為給定點(diǎn)與最佳擬合面曲率中心之間的正交或最短距離，這是一個非線性問題，必須采用迭代法來求解。本文以主鏡為例，簡要介紹鏡面最佳球面的非線性最小二乘擬合過程，次鏡的計(jì)算過程類似，不再贅述。

假設(shè)在幾何模型中，q個參數(shù)向量a與p個測量數(shù)據(jù)X相關(guān)聯(lián)，其關(guān)系由以下公式表示：

X=F(a)+e，

(5)

其中：F為關(guān)于參數(shù)向量a的非線性連續(xù)可微分函數(shù)，e為誤差向量。

對于一組給定的測量數(shù)據(jù)X，參數(shù)向量a的非線性最小二乘估計(jì)的通用表達(dá)式為：

(6)

為了便于表達(dá)，這里以單位矩陣作為加權(quán)矩陣。對于以上非線性估計(jì)問題的求解，這里采用Gauss-Newton迭代法，其迭代格式為：

(7)

ak+1=ak+λΔa.

(8)

式(7)左端的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為雅克比矩陣J，其表達(dá)式為：

(9)

為了計(jì)算求解上述問題，在每個迭代步都需要計(jì)算各個離散測量點(diǎn)距離該幾何特征上最近的點(diǎn)處的函數(shù)向量F的值，以及雅克比矩陣J的值，這是最小二乘擬合問題的一個必要條件。

n維空間中圓/球的示意如圖5所示。球心位置為O，半徑為R，可以由以下公式來描述：

‖X-Xc‖2=R2.

(10)

(11)

圖5 圓/球擬合示意圖

(12)

(13)

(14)

參數(shù)向量a的初始值可按如下公式來計(jì)算：

(15)

(16)

3.4 Hexapod平臺支桿長度計(jì)算

望遠(yuǎn)鏡主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前位置經(jīng)過球面非線性最小二乘擬合，可以得到最佳擬合面的曲率中心坐標(biāo)、曲率半徑及光軸方向，由此可以計(jì)算得到主次鏡的相對偏差。以主鏡當(dāng)前光軸作為基準(zhǔn)，通過實(shí)時控制Hexapod平臺支桿長度來調(diào)整次鏡的位置和姿態(tài)，可以補(bǔ)償由主次鏡失調(diào)誤差引入的像差，其中確定Hexapod平臺支桿長度，即控制輸入，是關(guān)鍵。

Hexapod平臺結(jié)構(gòu)及簡化示意如圖6所示，6根支桿兩端分別連接上下兩個臺面構(gòu)成了并聯(lián)結(jié)構(gòu)，通過支桿長度的協(xié)調(diào)控制可以實(shí)現(xiàn)兩個臺面相對位姿的調(diào)整。在望遠(yuǎn)鏡俯仰姿態(tài)變化時，Hexapod平臺各支桿以及相關(guān)結(jié)構(gòu)均會發(fā)生變形。因此，利用Hexapod平臺剛體假設(shè)條件計(jì)算所得到的支桿桿長來控制次鏡的位姿與預(yù)期理想位姿之間會存在一定的偏差。為了彌補(bǔ)平臺以及支桿自身彈性變形所引入的偏差，這里以各支桿兩端支點(diǎn)的當(dāng)前位置來計(jì)算桿長，以當(dāng)前支桿上以及次鏡處于理想位置時的支桿長之間的差值作為控制輸入。

(a)結(jié)構(gòu)圖

(b)簡化示意圖

如圖7所示，假設(shè)O-xyz為全局坐標(biāo)系，是望遠(yuǎn)鏡的參考坐標(biāo)系；O1-x1y1z1為次鏡當(dāng)前位置的局部坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)O1為次鏡的曲率中心，z1軸為次鏡光軸；O2-x2y2z2為次鏡期望位置的局部坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)O2為次鏡期望的曲率中心，z2軸為次鏡期望光軸，期望光軸應(yīng)與主鏡當(dāng)前光軸重合。

圖7 基于Hexapod平臺的次鏡位姿控制

首先，根據(jù)當(dāng)前姿態(tài)下望遠(yuǎn)鏡主鏡和次鏡的曲率半徑，通過光學(xué)分析計(jì)算得到主鏡和次鏡的理想間距，并根據(jù)主鏡當(dāng)前的曲率中心位置及光軸方向，確定次鏡的期望曲率中心位置，次鏡光軸的期望方向與主鏡的光軸方向重合，因?yàn)橹麋R無法補(bǔ)償自身姿態(tài)的變化。然后，采用逆運(yùn)動學(xué)方法，將固連在次鏡曲率中心處的局部坐標(biāo)系通過平移和旋轉(zhuǎn)，使次鏡達(dá)到期望的位置和姿態(tài)，相應(yīng)地，Hexapod平臺各支桿的支點(diǎn)位置也做同樣的變換。最后，根據(jù)次鏡在當(dāng)前位置和最終期望位置時，Hexapod平臺各個支桿的支點(diǎn)位置，計(jì)算出各個支桿桿長的變化量，以桿長變化量作為Hexapod平臺的控制輸入條件。

用0F1表示坐標(biāo)系O1-x1y1z1相對于全局坐標(biāo)系O-xyz的位姿矩陣，0F2表示坐標(biāo)系O2-x2y2z2相對于全局坐標(biāo)系O-xyz的位姿矩陣。在主鏡和次鏡位置確定的情況下，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換規(guī)律，坐標(biāo)系O2-x2y2z2相對于全局坐標(biāo)系O1-x1y1z1的位姿矩陣可以表達(dá)為：

(17)

假設(shè)坐標(biāo)系O1-x1y1z1按滾動(R)、俯仰(P)和偏航(Y)的順序旋轉(zhuǎn)至與O2-x2y2z2一致的姿態(tài)，即依次繞z1軸旋轉(zhuǎn)φa，繞y1軸旋轉(zhuǎn)φo，繞x1軸旋轉(zhuǎn)φn。按RPY順序旋轉(zhuǎn)后，姿態(tài)變化可以用矩陣表達(dá)為：

(18)

RPY姿態(tài)變化矩陣中的3個旋轉(zhuǎn)角度相互耦合，需要求解3個角度各自的余弦和正弦值才能確定這3個角度值。采用解耦的方式進(jìn)行求解，利用Rot(z1，φa)-1左乘式(18)，即：

Rot(z1，φa)-1RPY(φa，φo，φn)=
Rot(y1，φo)Rot(x1，φn).

(19)

式(19)表示經(jīng)過RPY順序旋轉(zhuǎn)后，坐標(biāo)系O1-x1y1z1的姿態(tài)與坐標(biāo)O2-x2y2z2一致，展開可以表示為：

(20)

根據(jù)對應(yīng)元素相等，可得到如下結(jié)果：

(21)

(22)

(23)

坐標(biāo)系O1-x1y1z1經(jīng)過RPY旋轉(zhuǎn)后沿x1y1z1坐標(biāo)軸方向平移至與O2-x2y2z2重合，可以通過左乘平移矩陣得到，即：

1T2=Tcart(px，py，pz)×RPY(φa，φo，φn)，

(24)

其中1T2表示坐標(biāo)系O2-x2y2z2相對于坐標(biāo)系O1-x1y1z1的變換矩陣。

圖8 Hexapod平臺矢量示意圖

如圖8所示，以0pi，1pi(i=1，2，…，6)分別表示Hexapod平臺支桿下端的6個支點(diǎn)相對于全局坐標(biāo)系O-xyz，坐標(biāo)系O1-x1y1z1的坐標(biāo)向量，其相互之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以表示為：

1pi=1F00pi.

(26)

(27)

0Bi(i=1，2，…，6)表示Hexapod平臺支桿上端支點(diǎn)在全局坐標(biāo)系O-xyz下的坐標(biāo)向量，則Hexapod平臺支桿的當(dāng)前桿長以及期望位置處的桿長分別表示為：

li=‖0pi-0Bi‖2，

(28)

(29)

Hexapod平臺支桿長度變化量可以表示為：

(30)

4 數(shù)值計(jì)算

為了驗(yàn)證所提出的基于Hexapod平臺的望遠(yuǎn)鏡失調(diào)誤差及主動補(bǔ)償過程，以圖1所示的2 m口徑地基望遠(yuǎn)鏡為例，分別對重力變形和溫度變化所引入的光學(xué)像差進(jìn)行詳細(xì)的分析和計(jì)算，并通過對次鏡位置和姿態(tài)的調(diào)整實(shí)現(xiàn)對失調(diào)誤差的主動補(bǔ)償。望遠(yuǎn)鏡坐標(biāo)系定義及Hexapod平臺支桿編號如圖9所示，其中z軸為理想光軸方向，yz平面為與望遠(yuǎn)鏡俯仰垂直的結(jié)構(gòu)對稱面，光軸豎直向上時俯仰角度為0°，光軸水平時俯仰角度為90°。

圖9 坐標(biāo)系定義及Hexapod平臺支桿編號

4.1 補(bǔ)償重力變形所引入的失調(diào)誤差

對望遠(yuǎn)鏡在不同俯仰角度下的重力變形進(jìn)行分析，根據(jù)主次鏡鏡面節(jié)點(diǎn)的變形結(jié)果按前幾節(jié)所述方法計(jì)算主次鏡的最佳擬合曲面，以及主次鏡的位置和角度偏差，進(jìn)而計(jì)算由Hexapod平臺來補(bǔ)償當(dāng)前位置處主次鏡位置和角度偏差所需的支桿桿長變化量，即補(bǔ)償控制輸入。補(bǔ)償前后，望遠(yuǎn)鏡主次鏡角度偏差隨俯仰角度的變化如圖10所示，位置偏差隨俯仰角度的變化如圖11所示，間隔偏差隨俯仰角度的變化如圖12所示。Hexapod平臺支桿桿長隨望遠(yuǎn)鏡俯仰角度的變化情況如圖13所示。

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

圖13 Hexapod平臺支桿桿長隨望遠(yuǎn)鏡俯仰角度的變化

理想情況下，即主次鏡無相對偏差的情況下，光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)列圖如圖14所示，0°視場、0.013°視場和0.025°視場的彌散斑半徑分別為14.664，5.56和19.107 μm。光軸豎直、45°以及水平狀態(tài)下，補(bǔ)償前后光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)列圖如圖15～圖17所示。

圖14 理想光學(xué)系統(tǒng)點(diǎn)列圖

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

由圖10～圖13可知，補(bǔ)償前主次鏡的最大位置和最大角度偏差均出現(xiàn)在光軸水平位置，最大角度偏差接近25″，最大位置偏差接近0.2 mm；最大間隔偏差出現(xiàn)在光軸豎直位置，最大間隔偏差接近0.1 mm，隨著俯仰角度增大，間隔偏差逐漸減小至零；經(jīng)過Hexapod平臺的補(bǔ)償控制，最大角度偏差下降到0.006″，最大間隔偏差下降到7×10-5mm，最大位置偏差下降到0.015 mm；補(bǔ)償前，在結(jié)構(gòu)對稱面Ry以及dx方向上存在著偏差，與Rx和dy相比非常小，這是由于有限元模型上網(wǎng)格對稱性存在誤差所致，這與實(shí)際結(jié)構(gòu)加工裝配等原因很難保證結(jié)構(gòu)嚴(yán)格對稱的情況是相符的；與角度偏差和間隔偏差相比，補(bǔ)償后位置偏差下降較少，僅由0.2下降到0.015，這是由于在有限元模型中主次鏡均采用球面近似，對主次鏡節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前位置進(jìn)行非線性球面擬合，以擬合后的球心位置與球面節(jié)點(diǎn)的幾何中心連線作為光軸，這個光軸與實(shí)際會存在一定的偏差，導(dǎo)致主次鏡位置存在一定的初始偏差；隨著俯仰角度的增大，角度偏差、位置偏差及間隔偏差均表現(xiàn)出非線性特征，而且Hexapod平臺的控制輸入也存在一定的非線性特征。從這可以看出，在實(shí)際望遠(yuǎn)鏡使用中，若采用事先標(biāo)定的方式來補(bǔ)償主次鏡的位置偏差，Hexapod平臺的控制輸入也應(yīng)是非線性的，需要盡量減小標(biāo)定角度間隔以提高補(bǔ)償精度。

由圖15～圖17可知，重力變形導(dǎo)致主次鏡偏離理想位置，造成光學(xué)系統(tǒng)性能顯著下降，光學(xué)系統(tǒng)彌散斑最大發(fā)生在光軸水平位置，彌散斑半徑分別為1 474.27，1 473.68和1 473.34 μm；經(jīng)過Hexapod平臺的控制補(bǔ)償，光學(xué)系統(tǒng)性能顯著改善，彌散斑半徑分別下降為30.57，27.08和32.80 μm。

此外，在光軸豎直的情況下，點(diǎn)列圖為非對稱的圓，其原因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)有限元望遠(yuǎn)鏡并非完全對稱，這造成了即使僅受豎直向下的重力載荷，主次鏡也會出現(xiàn)傾斜變形，即主次鏡出現(xiàn)了相對傾斜偏差導(dǎo)致的非對稱圓形點(diǎn)列圖。

4.2 補(bǔ)償溫度變形所引入的失調(diào)誤差

對望遠(yuǎn)鏡在不同環(huán)境溫度(-30～50 ℃)下的熱變形進(jìn)行分析，采用同樣的方法計(jì)算主次鏡的位置和角度偏差，并計(jì)算Hexapod平臺支桿桿長變化量來補(bǔ)償主次鏡的偏差。補(bǔ)償前后，望遠(yuǎn)鏡主次鏡角度偏差隨溫度的變化如圖18所示，位置偏差隨溫度變化如圖19所示。Hexapod平臺支桿桿長隨溫度的變化情況如圖20所示。

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

圖20 Hexapod平臺支桿桿長隨溫度的變化

環(huán)境溫度為-30 ℃，0 ℃和50 ℃情況下，補(bǔ)償前后光學(xué)系統(tǒng)點(diǎn)列圖分別如圖21～圖23所示。

(a)補(bǔ)償前

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

由圖18和圖19可知，溫度變化主要引起望遠(yuǎn)鏡主次鏡間隔的變化，引入離焦，最大變化量達(dá)到1 mm以上，角度偏差以及位置偏差相對較?。唤?jīng)過Hexapod平臺的補(bǔ)償控制，主次鏡間隔偏差及角度偏差接近零，而由于模型計(jì)算誤差的原因，仍存在位置誤差。

由圖20可知，隨著環(huán)境溫度的增大，Hexapod平臺的控制輸入基本按線性變化。從這可以看出，在實(shí)際望遠(yuǎn)鏡使用中，對環(huán)境溫度的補(bǔ)償可以按線性考慮。

(a)補(bǔ)償前

(b)補(bǔ)償后

從圖21～圖23可以看出，受環(huán)境溫度的影響，結(jié)構(gòu)熱變形造成主次鏡偏差，導(dǎo)致光學(xué)系統(tǒng)性能下降。環(huán)境溫度為-30 ℃時，彌散斑半徑最大接近557 μm，經(jīng)過Hexapod平臺的控制補(bǔ)償，-30 ℃，0 ℃，50 ℃下系統(tǒng)彌散斑半徑分別下降為32.217，28.491和32.832 μm。

5 結(jié) 論

本文針對地基大型光學(xué)望遠(yuǎn)鏡中結(jié)構(gòu)及熱變形所導(dǎo)致的光學(xué)系統(tǒng)失調(diào)問題，研究了失調(diào)誤差的估計(jì)方法及基于Hexapod平臺的主動補(bǔ)償過程。利用有限元方法建立了望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，然后研究了基于非線性最小二乘擬合的望遠(yuǎn)鏡主次鏡失調(diào)誤差計(jì)算方法，以及基于空間坐標(biāo)變換來確定Hexapod平臺支撐桿長的方法。數(shù)值仿真結(jié)果表明：重力變形和熱變形均使光學(xué)系統(tǒng)出現(xiàn)明顯的失調(diào)誤差，彌散斑最大達(dá)到了1 473 μm和557 μm，經(jīng)過次鏡位置補(bǔ)償，光學(xué)系統(tǒng)性能明顯得到改善，彌散半徑下降到32 μm以下，從而驗(yàn)證了本文提出的失調(diào)誤差以及Hexapod平臺支桿長度計(jì)算方法。