朱詩(shī)慧 周震 呂敬 王琪

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院,北京 100083)

引言

近年來(lái)可移動(dòng)式機(jī)器人的發(fā)展受到了廣泛關(guān)注,其運(yùn)動(dòng)方式仍然是以輪式或腿式為主[1-2],但是在管道清理、災(zāi)后救援等特殊情況下,這些運(yùn)動(dòng)方式并不能很好的滿足人們的需求.Chernous’ko[3-4]提出了振動(dòng)驅(qū)動(dòng)移動(dòng)系統(tǒng),這類系統(tǒng)依靠?jī)?nèi)部質(zhì)量塊的周期性振動(dòng)來(lái)驅(qū)動(dòng)外部箱體在有阻力環(huán)境中移動(dòng),具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于密封化和微型化等優(yōu)點(diǎn).

學(xué)者們?cè)谡駝?dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的直線平移運(yùn)動(dòng)特性方面做了大量研究,其中Sergey 等[5]指出振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的定向運(yùn)動(dòng)依賴于“非對(duì)稱的摩擦力”或“非對(duì)稱的內(nèi)部驅(qū)動(dòng)方式”; Chernous’ko[6-7]引入非對(duì)稱驅(qū)動(dòng)方式:兩相驅(qū)動(dòng)和三相驅(qū)動(dòng),分別對(duì)內(nèi)部質(zhì)量塊施加速度控制模式和加速度控制模式,分析了系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)周期性穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的條件.Li 等[8]和Sobolev 等[9]分別通過(guò)倒擺車和含多個(gè)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)驅(qū)動(dòng)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ万?yàn)證了直線平移的相關(guān)理論.方虹斌等[10-12]運(yùn)用平均法得到了三相驅(qū)動(dòng)下振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在黏性摩擦環(huán)境中運(yùn)動(dòng)速度的近似解,并從滑移分岔的角度分析了其在庫(kù)倫干摩擦作用下的運(yùn)動(dòng)情況.Du 等[13]通過(guò)壓電懸臂梁實(shí)驗(yàn)對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的黏滑運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,觀察到了明顯的黏滯?滑移現(xiàn)象.陳祺等[14-15]基于一維庫(kù)倫干摩擦模型(為便于計(jì)算假設(shè)動(dòng)、靜摩擦系數(shù)相等),首次分析了系統(tǒng)不同黏滑運(yùn)動(dòng)的分岔?xiàng)l件.

目前,對(duì)于作平面一般運(yùn)動(dòng)振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性研究得較少[16-21],其中Volkva[16]等研究了這樣一類振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),它借助外部4 個(gè)傾斜的支撐足與地面保持剛性接觸,內(nèi)部有兩個(gè)做正弦運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量塊,在各向異性(前后運(yùn)動(dòng)的摩擦系數(shù)不相同)的黏性摩擦力作用下可以實(shí)現(xiàn)S 形的折線運(yùn)動(dòng).殷蓬勃等[17]在此基礎(chǔ)上分析了三相驅(qū)動(dòng)下系統(tǒng)的平面運(yùn)動(dòng)特性,通過(guò)調(diào)節(jié)兩個(gè)質(zhì)量塊的振動(dòng)周期比和相位差實(shí)現(xiàn)了外部箱體上某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在直線和圓弧間的切換.占雄等[18-19]引入各向異性的庫(kù)倫干摩擦模型,研究了一類振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(滑道垂直,正弦激勵(lì)),其外部箱體與地面間保持面接觸; 并假設(shè)箱體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,其縱軸始終與箱體形心的運(yùn)動(dòng)軌跡相切;揭示了箱體平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)中出現(xiàn)的黏滯?滑移切換現(xiàn)象.

這類振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)箱體的運(yùn)動(dòng)是通過(guò)外部的摩擦力實(shí)現(xiàn)的.干摩擦的不連續(xù)性帶來(lái)的黏滯?滑移效應(yīng)的存在[22-23],使得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況更為復(fù)雜,但充分利用其特性可以有效提高系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)效率.以往的研究大多采用庫(kù)倫干摩擦模型分析系統(tǒng)直線平移運(yùn)動(dòng)中的黏滯?滑移切換現(xiàn)象[13].在研究箱體作平面一般運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí),若采用庫(kù)倫模型處理多點(diǎn)摩擦問(wèn)題,數(shù)值求解難度較大[24-25].

近年來(lái),LuGre 摩擦模型也得到了廣泛的應(yīng)用[26-27].它可反映庫(kù)倫干摩擦、黏性摩擦和Stribeck摩擦等多種摩擦特性[28],在降低數(shù)值計(jì)算難度的同時(shí)較為全面地揭示摩擦特性.該模型的參數(shù)較多且不易選取,在工程手冊(cè)上也難以查到,但可借助一些經(jīng)驗(yàn)公式[29-30]進(jìn)行選取.若模型參數(shù)選取不合適時(shí),會(huì)導(dǎo)致計(jì)算仿真結(jié)果失真.

本文將借鑒文獻(xiàn)[14-18]的研究方法研究三相振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性; 為彌補(bǔ)原有研究中所采用的摩擦模型的不足,文中將采用LuGre 摩擦模型描述箱體與地面接觸點(diǎn)的二維摩擦,能更好地反映靜摩擦特性對(duì)黏滯?滑移運(yùn)動(dòng)的影響,且便于計(jì)算;利用Lagrange 方程,給出振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)作平面一般運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型和算法; 分析三相驅(qū)動(dòng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的影響,為振動(dòng)驅(qū)動(dòng)型機(jī)器人的設(shè)計(jì)和控制提供理論支撐.

1 振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

1.1 力學(xué)模型

設(shè)振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)由質(zhì)量為M的均質(zhì)剛性箱體和質(zhì)量分別為m1,m2的質(zhì)量塊(視為質(zhì)點(diǎn))組成,其中質(zhì)量塊在箱體內(nèi)的兩條平行滑道中相對(duì)箱體作周期運(yùn)動(dòng),箱體通過(guò)三個(gè)剛性支撐足Ci(i=1,2,3)始終與地面保持接觸,如圖1 所示.箱體的長(zhǎng)和寬分別為2a和2b,高度不計(jì).長(zhǎng)度均為2L的兩個(gè)平行滑道平行于箱體的對(duì)稱軸,到對(duì)稱軸的距離均為l.支撐足到箱體形心O1的距離O1Ci=a,且tan φ=b/a.

圖1 三足支撐的振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型Fig.1 The model of vibration-driven system with tripod support

設(shè)Oxy為慣性坐標(biāo)系,O1ξη 為固連在箱體上的動(dòng)坐標(biāo)系,θ 表示軸O1ξ 與軸Ox間的夾角,以逆時(shí)針為正; (xM,yM) 是箱體形心O1在慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo),則系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)可表示為

1.2 三相驅(qū)動(dòng)

三相驅(qū)動(dòng)是指將質(zhì)量塊相對(duì)箱體的運(yùn)動(dòng)周期T?分為τ1,τ2,τ3三段,在每個(gè)時(shí)間段,質(zhì)量塊相對(duì)箱體作勻變速直線運(yùn)動(dòng),其相對(duì)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[3]

其中,wk> 0 (k=1,2,3) 稱為驅(qū)動(dòng)參數(shù),T?=τ1+τ2+τ3.圖2 給出了該三相驅(qū)動(dòng)方式下質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)特征.

圖2 三相驅(qū)動(dòng)下質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)特征Fig.2 Movement characteristics of a mass under three-phase control

設(shè)t時(shí)刻質(zhì)量塊相對(duì)于箱體的橫坐標(biāo)為ξj(t)(j=1,2),且滿足

以質(zhì)量塊在區(qū)間[0,L]上的正向運(yùn)動(dòng)為例,分析其運(yùn)動(dòng)時(shí)的參數(shù)特征.為避免質(zhì)量塊與箱體間發(fā)生碰撞,并滿足周期性運(yùn)動(dòng)條件,可得

且存在某個(gè)時(shí)刻t0j有

對(duì)于質(zhì)量塊mj(j=1,2),式(2)中的w1,w2,w3分別定義為w1j,w2j,w3j,由式(2)～式(5)可以導(dǎo)出[3,7]

2 動(dòng)力學(xué)方程及其算法

2.1 箱體接觸足的摩擦力

動(dòng)坐標(biāo)系O1ξη 與慣性坐標(biāo)系Oxy的轉(zhuǎn)換矩陣可表示為

由圖1 可知,支撐足Ci(i=1,2,3)相對(duì)箱體的位置向量可表示為

支撐足在慣性系中的位置向量可表示為

其中rO1=[xM,yM]T,將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得其速度vCi=.

用二維LuGre 摩擦模型[31-32]描述支撐足與地面間的摩擦力,其表達(dá)式為

其中,FTi=[FTix,FTiy]T為支撐足Ci的摩擦力向量,FNi為支撐力.μi=[μix,μiy]T為L(zhǎng)uGre 摩擦系數(shù)矩陣,其表達(dá)式為

其中,zi=[zix,ziy]T(i=1,2,3)是鬃毛的平均變形量列向量;σ0和σ1為鬃毛剛度和阻尼系數(shù),σ2為黏性系數(shù),μc,μs分別為動(dòng)/靜摩擦系數(shù),vs為Stribeck 速度.

2.2 振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)質(zhì)量塊m1,m2在動(dòng)坐標(biāo)系中的相對(duì)位置向量為

則質(zhì)量塊mj(j=1,2)的絕對(duì)位置向量為

由第二類拉格朗日方程可得該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

其中,Qq為系統(tǒng)廣義力列向量.T為系統(tǒng)動(dòng)能,且T=TM+T1+T2,其具體表達(dá)式為

其中JM=M(a2+b2)/3.

系統(tǒng)的廣義力Qq可表示為

其中,FT x和FTy是3 個(gè)支撐足的摩擦力向點(diǎn)O1簡(jiǎn)化的主矢FT在x軸和y軸上的投影,MT是這些摩擦力向點(diǎn)O1簡(jiǎn)化的主矩.

當(dāng)不考慮箱體高度時(shí),支撐力可由下列方程求得

將求出的支撐力代入式(10) 得到摩擦力,并代入式(16),利用動(dòng)力學(xué)方程(14),通過(guò)數(shù)值仿真可分析該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.

3 算例分析

設(shè)箱體內(nèi)的質(zhì)量塊按照?qǐng)D3 給出的4 種方式進(jìn)行驅(qū)動(dòng),分別就箱體直線平移和平面一般運(yùn)動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,算例中系統(tǒng)的基本參數(shù)如下[14,20]:a=0.05 m,b=0.03 m,L=0.01 m,l=0.02 m,M=0.1 kg,m1=m2=0.03 kg,g=10 m/s2,μs=0.30,μc=0.25,vs=0.004 m/s,σ0=106/m,σ1=103s/m,σ2=0 s/m.

圖3 質(zhì)量塊的不同驅(qū)動(dòng)方式Fig.3 Different methods of mass-driven

3.1 直線平移運(yùn)動(dòng)的仿真與分析

首先,設(shè)兩個(gè)質(zhì)量塊的驅(qū)動(dòng)參數(shù)相同,即wk1=wk2(k=1,2,3),ξ1=ξ2=ξ,如圖3(a)所示.由于驅(qū)動(dòng)的對(duì)稱性,以及質(zhì)量分布與受力的對(duì)稱性,系統(tǒng)沿x軸作直線平移運(yùn)動(dòng).

當(dāng)wk1=wk2(k=1,2,3),其值取表1 給出的值.由于摩擦的存在,箱體穩(wěn)態(tài)的周期性運(yùn)動(dòng)有4 種類型[14,33]:擦滑、穿滑、回滑和不黏(grazingsliding、crossing-sliding、switching-sliding,no-stick).

表1 不同運(yùn)動(dòng)類型的驅(qū)動(dòng)參數(shù)Table 1 Different drive parameters

圖4 給出了箱體4 種運(yùn)動(dòng)類型下的速度時(shí)間歷程圖,其中黑虛線是基于LuGre 摩擦模型的仿真結(jié)果,紅線是基于庫(kù)倫摩擦模型的仿真結(jié)果,籃圈是由文獻(xiàn)[15] 得到的理論解析結(jié)果.3 種結(jié)果完全一致,驗(yàn)證了本文方法的有效性.

圖4 四種運(yùn)動(dòng)類型箱體移動(dòng)速度的時(shí)間歷程圖Fig.4 Time history diagram of box moving-velocity in four motion types

圖4 四種運(yùn)動(dòng)類型箱體移動(dòng)速度的時(shí)間歷程圖(續(xù))Fig.4 Time history diagram of box moving-velocity in four motion types(continued)

由圖4 可以看出,當(dāng)系統(tǒng)是擦滑運(yùn)動(dòng)類型時(shí),箱體時(shí)而向前運(yùn)動(dòng),時(shí)而保持靜止,但不存在倒退現(xiàn)象.而其他運(yùn)動(dòng)類型,箱體均存在著倒退現(xiàn)象.

圖5 驅(qū)動(dòng)參數(shù)與 的關(guān)系圖Fig.5 The relationship between and the drive parameters

從圖5 可以發(fā)現(xiàn),存在明顯的脊線.當(dāng)w1,w2取脊線上的值時(shí),其對(duì)應(yīng)的值大于兩側(cè)的值;且有x˙隨w2的增大而增大.因此當(dāng)w2的值給定時(shí)(如圖5(c)所示),在脊線的交界處,取得最大值.

圖6(a)和圖6(b)分別展示了w1和w3對(duì)的影響,以及箱體的位置和速度隨驅(qū)動(dòng)參數(shù)變化的區(qū)別.在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)參數(shù)是箱體由擦滑運(yùn)動(dòng)類型轉(zhuǎn)為其他運(yùn)動(dòng)類型的臨界點(diǎn),這時(shí)系統(tǒng)的移動(dòng)效率最優(yōu),避免了后退運(yùn)動(dòng)的出現(xiàn),減少了能量的消耗.

圖6 驅(qū)動(dòng)參數(shù)w1,w3 對(duì)的影響Fig.6 The effect of drive parameters w1,w3 on the

圖6 驅(qū)動(dòng)參數(shù)w1,w3 對(duì) 的影響(續(xù))Fig.6 The effect of drive parameters w1,w3 on the(continued)

3.2 平面一般運(yùn)動(dòng)的仿真與分析

3.2.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

當(dāng)按照?qǐng)D3(b)所示的模式驅(qū)動(dòng)時(shí),即wk1=?wk2(k=1,2,3),ξ1=?ξ2,由于驅(qū)動(dòng)的反對(duì)稱性,若初始系統(tǒng)靜止,3 個(gè)支撐足處摩擦力的主矢FT=0,向箱體形心簡(jiǎn)化的主矩MT0,箱體繞其形心作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).同樣其轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)類型也有4 種,即擦滑、穿滑、回滑和不黏,如圖7 所示.

圖7 四種運(yùn)動(dòng)類型箱體轉(zhuǎn)動(dòng)速度的時(shí)間歷程圖Fig.7 Time history diagram of box rotation-velocity in four motion types

圖8 驅(qū)動(dòng)參數(shù)與的關(guān)系圖Fig.8 The relationship betweenand the drive parameters

在圖8 中,同樣可以看到脊線,當(dāng)驅(qū)動(dòng)參數(shù)取脊線對(duì)應(yīng)的數(shù)值時(shí),取得最大值; 脊線對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)參數(shù)也是擦滑運(yùn)動(dòng)類型與其他運(yùn)動(dòng)類型的分界值.

3.2.2 平面一般運(yùn)動(dòng)

當(dāng)按照?qǐng)D3(c) 所示的模式驅(qū)動(dòng)時(shí),即|wk1||wk2|(k=1,2,3),令n=wk2/wk1,箱體形心運(yùn)動(dòng)軌跡為圓周.箱體作平面一般運(yùn)動(dòng).

若w11=w31=8 m/s2,w21=30 m/s2,取不同的比值n,箱體形心運(yùn)動(dòng)軌跡為半徑不同的圓周,如圖9 所示.并描繪了n=1.2 及n=?3 時(shí),形心的y坐標(biāo)與箱體轉(zhuǎn)動(dòng)角度的關(guān)系圖.可見(jiàn),箱體形心運(yùn)動(dòng)一周,箱體轉(zhuǎn)動(dòng)一周.

圖10 給出了不同驅(qū)動(dòng)參數(shù)和不同摩擦系數(shù)情況下,箱體形心運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑r.

圖9 不同n 值的形心運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.9 The centroid-trajectory at different values of n

圖10 曲率半徑r 與參數(shù)比n 的關(guān)系圖Fig.10 The relationship between radius of curvature r and parameters ratio n

通過(guò)上述算例的分析可知,根據(jù)不同的摩擦系數(shù),通過(guò)調(diào)整驅(qū)動(dòng)參數(shù)可改變箱體的運(yùn)動(dòng)形式和形心運(yùn)動(dòng)軌跡.

4 結(jié)論

本文研究了一類內(nèi)部受兩個(gè)相互平行的三相驅(qū)動(dòng)激勵(lì)的振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),在各向同性的二維干摩擦環(huán)境中的平面運(yùn)動(dòng)規(guī)律.首先,建立了具有3 個(gè)足支撐的振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型; 采用二維LuGre 摩擦模型描述支撐足與地面間的摩擦,用拉格朗日方程建立了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.然后,通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析:(1)利用系統(tǒng)做直線平移運(yùn)動(dòng)的理論解和基于庫(kù)倫摩擦的數(shù)值仿真解,校驗(yàn)了基于LuGre 摩擦模型的數(shù)值仿真結(jié)果,表明了本文的建模方法與數(shù)值算法的合理性; (2)通過(guò)調(diào)整驅(qū)動(dòng)參數(shù),實(shí)現(xiàn)了箱體的平移運(yùn)動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面一般運(yùn)動(dòng),揭示了箱體平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中均存在擦滑、穿滑、回滑和不黏4 種運(yùn)動(dòng)類型; (3) 不僅分析了驅(qū)動(dòng)參數(shù)對(duì)箱體移動(dòng)速度的影響,還分析了其對(duì)箱體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和箱體形心運(yùn)動(dòng)軌跡曲率半徑的影響.分析結(jié)果表明,這類振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)擁有豐富的黏滯?滑移動(dòng)力學(xué)行為和形式多樣的平面運(yùn)動(dòng)能力.本文給出的方法可為該類型的移動(dòng)機(jī)器人的設(shè)計(jì)和研究提供一種方法.后續(xù)可以進(jìn)一步研究振動(dòng)驅(qū)動(dòng)型機(jī)器人在三維空間的建模方法、數(shù)值算法和動(dòng)力學(xué)特性.