摘?要：一些幾何圖形是有面積公式的，例如我們熟悉的三角形、梯形、矩形、菱形、正方形甚至箏形。一些代數(shù)恒等式可以用幾何圖形的面積來(lái)表示，當(dāng)一個(gè)幾何圖形的面積可以直接表示時(shí)，我們就得到了一個(gè)等式。由圖形到代數(shù)恒等式，再由代數(shù)恒等式到圖形，體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的完美與神韻。文章作了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)若干長(zhǎng)方形和直角三角形的拼圖面積的兩種表示，最終引出部分代數(shù)恒等式的拼圖證明。

關(guān)鍵詞：拼圖;面積公式;矩形;正方形;直角三角形;平方差公式;完全平方公式;解題方法;形數(shù)結(jié)合

一、 引言

實(shí)施素質(zhì)教育已經(jīng)有二十多年了。在目前階段，素質(zhì)教育將明確以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)，而要達(dá)到這樣的目的，必須確立學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生肯學(xué)、能學(xué)、會(huì)學(xué)。下面筆者結(jié)合課題學(xué)習(xí)《拼圖與代數(shù)恒等式》的教學(xué)實(shí)踐為例，談?wù)勥@節(jié)課的教學(xué)體會(huì)與教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)。

首先，筆者對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行一些分析。

二、 教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡(jiǎn)析

本節(jié)內(nèi)容在全書(shū)及章節(jié)的地位：《面積與代數(shù)恒等式》是（蘇教版）七年級(jí)數(shù)學(xué)第九章《整式乘法與因式分解》中的一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)學(xué)習(xí)，在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了《冪的運(yùn)算》《整式乘法》等內(nèi)容，這為過(guò)渡到課題學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。

數(shù)學(xué)思想方法分析：作為一名數(shù)學(xué)老師，不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)，本節(jié)課在教學(xué)中將主要展示形數(shù)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

三、 教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，制訂如下教學(xué)目標(biāo)：1. 能體會(huì)圖形與代數(shù)之間的聯(lián)系，弄清幾何背景，感受它們的幾何意義。2. 在經(jīng)歷探索、討論、交流、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，從中體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，獲得一些研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和方法。

四、 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

本著新課程標(biāo)準(zhǔn)，在吃透教材基礎(chǔ)上，我確立了如下的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)。

重點(diǎn)：通過(guò)探索與思考體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的開(kāi)放性、探索性和實(shí)踐性的認(rèn)識(shí)。

難點(diǎn)：對(duì)問(wèn)題的觀察與探索的方向的把握。

下面，為了講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)，筆者再?gòu)膶W(xué)法上談?wù)劇?/p>

數(shù)學(xué)是一門(mén)培養(yǎng)人的思維，發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”，而且要使學(xué)生“知其所以然”，我們?cè)谝詫W(xué)生為主體的原則下，展現(xiàn)獲取知識(shí)和方法的思維過(guò)程?；诒竟?jié)課的特點(diǎn)，采用“超前嘗試，教學(xué)合一”的教學(xué)方法。即在前一天的晚上發(fā)給學(xué)生一張16開(kāi)的學(xué)案，讓學(xué)生在自學(xué)課本有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上完成。

1. 學(xué)案內(nèi)容如下：

預(yù)習(xí)要求：七年級(jí)數(shù)學(xué)（下）P88的《數(shù)學(xué)活動(dòng)》內(nèi)容以及用硬紙片做一些符合要求的直角三角形和正方形的學(xué)具。

一、 預(yù)習(xí)自查題：

如圖：在一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田的邊長(zhǎng)增加b米，做成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種，請(qǐng)你用不同的形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積，并進(jìn)行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

二、 嘗試探究題：

1. 如圖（1）是由邊長(zhǎng)為a的大正方形右下角剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b（b

2. 如圖：已知正方形ABCD、EBFG的邊長(zhǎng)分別是a、b，請(qǐng)你用不同的方法表示陰影部分的面積，并進(jìn)行比較，你能得出什么結(jié)論？

最后筆者來(lái)具體談一談這一堂課的教學(xué)過(guò)程。

嘗試題點(diǎn)評(píng)：主要是讓學(xué)生講解題的思考過(guò)程、解題方法的提煉過(guò)程，當(dāng)然主要目的是檢查預(yù)習(xí)效果。學(xué)生預(yù)習(xí)是為了更好地消化新教材，牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)。消化與鞏固教師所傳授的知識(shí)，必須有一個(gè)過(guò)程，認(rèn)真地閱讀與鉆研教材，是消化教材牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)的重要措施之一。課本上的一些定義、特征、識(shí)別及某些結(jié)論的敘述和概括，學(xué)生總不是一聽(tīng)課就掌握的，必須進(jìn)行課前預(yù)習(xí)和嘗試，才能夠加深理解，逐步學(xué)會(huì)用正確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去敘述它們，也能為靈活運(yùn)用打下基礎(chǔ)。否則即使有些學(xué)生接受能力較強(qiáng)，似乎聽(tīng)了課后就能掌握，但如果不肯在預(yù)習(xí)上花些工夫，掌握也會(huì)是暫時(shí)現(xiàn)象。

2. 講解例題：以上得到的結(jié)論都是等式，這些等式稱之為恒等式，我們可以用直觀的幾何圖形形象地表現(xiàn)出有些代數(shù)恒等式，還可以有許許多多代數(shù)恒等式可以用硬紙片拼成的圖形面積來(lái)說(shuō)明其正確性。

老師用設(shè)問(wèn)的語(yǔ)調(diào)來(lái)鼓勵(lì)全班學(xué)生一起來(lái)試一試能否畫(huà)出下列代數(shù)恒等式的幾何面積值。

觀圖形（課件顯示），要求是由四個(gè)小組各完成相應(yīng)序號(hào)的一個(gè)小題。

5分鐘后，各小組分別派出一位代表上黑板畫(huà)圖，然后這四位同學(xué)一一說(shuō)明。老師一一講評(píng)后可總結(jié)出有代表性的答案。

接著老師再講解第2個(gè)倒題：拿出你昨晚準(zhǔn)備好的四個(gè)完全一樣的直角三角板，它們的兩條直角邊分別是a、b，斜邊為c，還給你三個(gè)分別以a、b、c為邊長(zhǎng)的正方形板，請(qǐng)你用拼圖的方法來(lái)證明：a2+b2=c2（可以是小組合作進(jìn)行）。

6分鐘后，老師可在實(shí)物投影儀上演示出大部分學(xué)生的答案。

如①圖：陰影部分是一個(gè)正方形，它的邊長(zhǎng)是a-b，面積為（b-a）2，又可表示為：

c2-4×12ab，這樣就可以得到：（b-a）2=c2-4×12ab，整理后就可得到：a2+b2=c2。

如②圖：可以先把兩個(gè)直角三角形如此拼好，由此可得到四邊形ABCD是一個(gè)直角梯形、△DEC是一個(gè)等腰直角三角形，梯形ABCD的面積可表示為：12（a+b）（a+b），即12（a+b）2，也可表示為：12ab+12ab+12c2，即ab+12c2，所以有12（a+b）2=ab+12c2，即a2+b2=c2（并說(shuō)明這一種方法是美國(guó)一位總統(tǒng)的證明）。

也可以利用學(xué)生們答案中的兩個(gè)不同圖形，啟發(fā)學(xué)生將此兩個(gè)圖形中的正方形ABCD面積的兩種表示來(lái)驗(yàn)證a2+b2=c2。

因?yàn)棰賵D中的正方形ABCD的面積為：b2+a2+4×12ab，即a2+b2+2ab，而②圖中的正方形ABCD的面積為：c2+4×12ab，即c2+2ab，因?yàn)槠吹膬蓚€(gè)正方形是一樣大的，所以有：a2+b2+2ab=c2+2ab，即a2+b2=c2。

3. 學(xué)生學(xué)習(xí)反思：經(jīng)過(guò)學(xué)生的課前預(yù)習(xí)和教師的嘗試題講評(píng)和例題講解，學(xué)生肯定會(huì)對(duì)這節(jié)課的內(nèi)容的學(xué)習(xí)有所反思，也只有通過(guò)反思，他們對(duì)這節(jié)課所授知識(shí)的理解才能達(dá)到“更上一層樓”的境界。如果每節(jié)課都堅(jiān)持這樣操作，那么學(xué)生就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，就會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望，就會(huì)全神貫注、積極主動(dòng)、富有創(chuàng)造性地對(duì)每天所學(xué)的知識(shí)加以關(guān)注和研究。

4. 安排課堂考核：其目的是當(dāng)堂檢查學(xué)生的知識(shí)掌握情況。

五、 教學(xué)反思

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能僅僅是掌握一些概念和技能，而必須經(jīng)歷合作學(xué)習(xí)、探索、猜想、推理等過(guò)程，解決有關(guān)的問(wèn)題?！边@就要求我們數(shù)學(xué)教學(xué)工作者要把培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)貫穿于整個(gè)課堂教學(xué)之中，有計(jì)劃、有目標(biāo)、有意識(shí)地注意引導(dǎo)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。上述的教學(xué)案例可以在下面幾個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)。

（一）引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，培養(yǎng)思維的敏捷性

有些初中學(xué)生思維較呆板，解題時(shí)常會(huì)生搬硬套，為了克服學(xué)生機(jī)械模仿的定勢(shì)思維，應(yīng)當(dāng)重視培養(yǎng)他們思維的敏捷性。本節(jié)課的學(xué)習(xí)對(duì)象具有一定的難度，要在45分鐘的一節(jié)課上達(dá)到熟練掌握、融會(huì)貫通是不可能的，好在教材給出了3個(gè)例子，為學(xué)生的思維提供一定的方向，所以只要組織學(xué)生們課前預(yù)習(xí)，再上老師在課堂上點(diǎn)撥啟發(fā)，學(xué)生就可以不受教材中例子的局限，拓展了思路。

（二）提倡別出心裁，鼓勵(lì)思維的開(kāi)放性

本節(jié)課的學(xué)習(xí)對(duì)象具有很強(qiáng)的開(kāi)放性，因?yàn)樵S多結(jié)論常常是未知的或不確定的，有的有待于猜想，有的存在幾種可能，這就為鼓勵(lì)學(xué)生的積極思維提供了極好地機(jī)遇與素材，這就要求學(xué)生既掌握常規(guī)的思維方法，又能獨(dú)具匠心、獨(dú)辟蹊徑，以簡(jiǎn)捷的、跳躍式的思維抓住問(wèn)題的核心，出奇制勝。另外在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生一題多證，從多角度、多方位、多層次去觀察和思考問(wèn)題，使學(xué)生積極地、多渠道地尋求解題途徑，也可以培養(yǎng)學(xué)生思維的開(kāi)放性。

（二）鼓勵(lì)動(dòng)手探索，發(fā)展思維的創(chuàng)造性

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用畫(huà)圖或用一些硬紙片拼成的圖形面積來(lái)解釋這些代數(shù)恒等式，而學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)作探索研究，再加上相互之間的合作交流，就會(huì)激發(fā)探索的興趣，培養(yǎng)研究的能力，鍛煉想象能力、構(gòu)造能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力。當(dāng)然在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中要提倡先獨(dú)立思考，再進(jìn)行合作交流，使每個(gè)學(xué)生的思維都能得到鍛煉，解題能力得到提高。

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作者簡(jiǎn)介：蔡潔，江蘇省宜興市，江蘇省宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)。