魏小林，李 騰，李 博，孫 岑

(1.中國(guó)科學(xué)院 力學(xué)研究所 高溫氣體動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049)

0 引 言

高溫固體是工業(yè)流程中的常見物料，如鋼鐵行業(yè)與有色金屬行業(yè)中的高溫冶金渣(1 500～1 900 K)、燒結(jié)熱礦料(1 000～1 100 K)，以及干熄焦過程中的紅焦炭(1 200～1 300 K)；建材行業(yè)的高溫水泥熟料(1 700 K)、燒成陶瓷(1 400～1 600 K)；礦熱爐中2 200 K以上的電石等[1-4]；還有自然界中正在凝結(jié)的火山熔巖(約1 500 K)等。確定固體的比熱容一般采用熱量計(jì)等方法[5]，但由于高溫下測(cè)量困難，工作量大，因此固體比熱容經(jīng)常只存在有限溫度范圍內(nèi)的測(cè)量數(shù)據(jù)[6-8]，許多含有復(fù)雜晶格晶體的高溫固體比熱容數(shù)據(jù)經(jīng)常缺失或不準(zhǔn)確。因此研究高溫固體比熱容的理論預(yù)測(cè)方法具有重要意義。

固體中相鄰原子(或離子間)的距離很小(幾個(gè)埃)，一般以金屬鍵、離子鍵或共價(jià)鍵結(jié)合，原子之間的相互作用很強(qiáng)，如金屬鍵、離子鍵或共價(jià)鍵鍵能為200～400 kJ/mol[9]。固體中的內(nèi)能主要產(chǎn)生于每個(gè)原子在其平衡位置附近做的微振動(dòng)，因此在考慮固體比熱容的影響因素時(shí)，不考慮原子平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，只考慮微振動(dòng)，這樣統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)就從固體的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)給出了固體比熱容的理論計(jì)算方法[10-11]。

若固體中有N個(gè)原子，每個(gè)原子有3個(gè)自由度(即3個(gè)振動(dòng)的方向)，即固體共有3N個(gè)振動(dòng)自由度，可以將固體的熱運(yùn)動(dòng)描述為3N個(gè)相互作用的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，稱為簡(jiǎn)正振動(dòng)[11-12]。按照能量均分定律，每個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)的原子能量包括動(dòng)能與勢(shì)能之和，各為1/2kT(k為玻爾茲曼常數(shù)，T為溫度)，一個(gè)原子的平均能量則為3kT，因此，不考慮溫度對(duì)于固體比熱容的影響時(shí)，經(jīng)典的杜隆-珀蒂定律給出固體的熱容量為3Nk。統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)從玻色量子統(tǒng)計(jì)理論出發(fā)，將簡(jiǎn)正振動(dòng)的能量量子看成一種準(zhǔn)粒子，稱為聲子，將固體中的3N個(gè)有相互作用的原子系統(tǒng)簡(jiǎn)化為聲子理想氣體，從而用玻色分布來分析固體的熱運(yùn)動(dòng)[11-12]。

為了計(jì)算固體熱運(yùn)動(dòng)的能量，需知道3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)的頻率ωi。簡(jiǎn)正振動(dòng)的頻譜特性可以通過試驗(yàn)測(cè)得[13]，也可以采用某種假設(shè)的頻譜模型。對(duì)于一維單原子晶體，2種常見的頻譜模型是愛因斯坦模型和德拜模型[12-13]。愛因斯坦假設(shè)每個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)的頻率相同，從而得出以指數(shù)形式表達(dá)的固體定容比熱容。德拜提出一種聲子譜模型，將固體作為連續(xù)彈性介質(zhì)，所有的簡(jiǎn)正振動(dòng)形成3N支在固體中傳播的低頻彈性波；假設(shè)3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)為一系列頻率為ωi(i= 1,2,…,3N)的低頻振動(dòng)，每一個(gè)振動(dòng)都對(duì)應(yīng)晶體點(diǎn)陣中傳播的振動(dòng)波，其能量是量子化的，以hωi為單元，從而得出以積分形式表達(dá)的固體定容比熱容。

Inaba通過分析以上2種模型，基于試驗(yàn)結(jié)果建立了一種半經(jīng)驗(yàn)的單參數(shù)固體比熱容計(jì)算模型。比熱容方程采用指數(shù)形式，而不是德拜模型的積分形式；特征溫度為重新定義的一維德拜特征溫度，對(duì)于玻璃狀氧化物的比熱容進(jìn)行了比較成功的預(yù)測(cè)[14-15]。徐輝等[16]考慮了固體的晶格振動(dòng)熱容、電子熱容、晶體點(diǎn)缺陷熱容等因素，將固體比熱容的擬合計(jì)算式表達(dá)為含有2個(gè)特征溫度的指數(shù)項(xiàng)、1個(gè)溫度一次方項(xiàng)的非線性多項(xiàng)式；在實(shí)際測(cè)試固體比熱容時(shí)，只需得到有限幾個(gè)溫度點(diǎn)的比熱容數(shù)據(jù)，即可通過非線性擬合的方法確定公式中的參數(shù)，從而得到固體材料各個(gè)溫度的比熱容，計(jì)算準(zhǔn)確度可以滿足一般工程需要。但這些方法基本通過對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的重新處理和擬合得到。

在應(yīng)用過程中，愛因斯坦模型和德拜模型僅適用于簡(jiǎn)單的單原子晶體或某些雙原子晶體，且德拜溫度或愛因斯坦溫度經(jīng)常難以準(zhǔn)確獲得，因此采用這些模型方法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)含有多個(gè)原子與復(fù)雜晶格的固體比熱容比較困難。本文采用統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)方法，基于玻恩的固體晶格同時(shí)存在聲頻與光頻振動(dòng)的理論[12,15-16]，提出一種高溫固體比熱容的雙參數(shù)預(yù)測(cè)方法，僅通過固體比熱容的有限試驗(yàn)數(shù)據(jù)或簡(jiǎn)單物質(zhì)的熱物性，即可較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)不同溫度下固體的理論比熱容，以期為確定流程工業(yè)的固體熱物性數(shù)據(jù)，提供一種簡(jiǎn)單可靠的新方法。

1 模型與方法

1.1 簡(jiǎn)單晶體比熱容模型

愛因斯坦模型和德拜模型主要是針對(duì)一維單原子晶體提出和驗(yàn)證[10-12]。愛因斯坦模型假設(shè)晶格只有一種頻率的振動(dòng)，均為愛因斯坦特征頻率，表示為ωE，從而推導(dǎo)出固體中單原子的定容比熱容cV[12-13]。

(1)

ΘE=hωE/k，

(2)

式中，ωE為愛因斯坦模型中固體內(nèi)聲子的圓頻率；h為普朗克常數(shù)。

對(duì)于固體的比熱容，愛因斯坦模型假設(shè)晶格只有一種頻率的振動(dòng)，而實(shí)際晶格的振動(dòng)存在頻率密度函數(shù)[13]，因此德拜假設(shè)固體為均勻的各向同性連續(xù)介質(zhì)，彈性波可以分為1個(gè)縱波(膨脹壓縮波)和2個(gè)橫波(剪切波)，共代表3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)模式。因此將固體中的彈性波看成聲子理想氣體，從而推導(dǎo)出固體中單原子的定容比熱容[12-13]。

(3)

ΘD=hωD/k，

(4)

其中，ωD為德拜模型中固體內(nèi)聲子的圓頻率。德拜模型中單位體積簡(jiǎn)正振動(dòng)的數(shù)密度定義為聲子的態(tài)密度，可以計(jì)算出聲子態(tài)密度[13]為

(5)

其中，c為固體中彈性波的平均體波速度?？梢姷掳菽Ｐ偷穆晫W(xué)振型遵守ω2的變化特性(平方關(guān)系)，而愛因斯坦模型的光學(xué)振型態(tài)密度遵守ω的變化特性(線性關(guān)系)。德拜模型適用于低頻的聲學(xué)振型，適宜預(yù)測(cè)低溫固體比熱容；用于較高頻的振型會(huì)出現(xiàn)較大偏差，導(dǎo)致預(yù)測(cè)的晶格比熱容偏離試驗(yàn)值[17]。光學(xué)振型的態(tài)密度g(ω)通常有一個(gè)最大的峰值，在常溫或高溫時(shí)，即kT≥hωE時(shí)，愛因斯坦模型近似給出了態(tài)密度中最重要的部分，因此在預(yù)測(cè)高溫固體比熱容時(shí)，該模型非常關(guān)鍵。

1.2 含復(fù)雜晶格的固體比熱容模型

對(duì)于一維雙原子晶格晶體，原子質(zhì)量分別為m和M時(shí)，由于原子質(zhì)量不同，會(huì)出現(xiàn)2種高低不同頻率的振型，因此多原子晶體的實(shí)際晶格振動(dòng)存在較復(fù)雜的頻率密度函數(shù)[13]。對(duì)于多個(gè)原子的復(fù)雜晶格晶體，玻恩提出將晶格振型分為2類：聲學(xué)支和光學(xué)支[13,17-18]。對(duì)于低頻的聲學(xué)支，可采用德拜模型，將一個(gè)晶格晶胞(基元)看作一個(gè)分子，聲學(xué)支共有3組振型，共含3N0個(gè)頻率(N0為固體晶格原胞數(shù))；對(duì)于高頻光學(xué)支，可采用愛因斯坦模型，若假設(shè)每個(gè)晶格原胞的原子數(shù)為p，則有3(p-1)組振型，共包含3N0(p-1)個(gè)光學(xué)頻率。

包含多原子的復(fù)雜晶格晶體定容比熱容定義為聲學(xué)支與光學(xué)支的貢獻(xiàn)之和[13]，即

(6)

對(duì)于復(fù)雜晶格晶體固體的比熱容計(jì)算，假設(shè)多原子組成的單個(gè)晶格原胞具有唯一的德拜特征溫度ΘD和愛因斯坦溫度(ΘE)，固體比熱容由式(6)確定。本文的新思路是通過晶體學(xué)的基本參數(shù)和簡(jiǎn)單物質(zhì)的熱物性，預(yù)測(cè)得到ΘD、ΘE，從而推算出不同溫度下固體的理論比熱容，通過與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相互驗(yàn)證，獲得高溫固體比熱容的雙參數(shù)表達(dá)式。

式(6)中，由于N0k=R(R為氣體通用常數(shù))[9]，因此比熱容的雙參數(shù)計(jì)算式為

(7)

在本文固體比熱容計(jì)算中，愛因斯坦溫度是試湊數(shù)據(jù)，目的是保證式(7)可以正確預(yù)測(cè)比熱容，其實(shí)際數(shù)據(jù)與固體比熱容愛因斯坦模型中的數(shù)據(jù)不同，但物理意義不變，其值仍大于德拜溫度。

1.3 高溫固體比熱容雙參數(shù)的確定方法

(8)

式中，D(x)為德拜函數(shù)，即

(9)

德拜比熱容函數(shù)計(jì)算式比較復(fù)雜，本文為方便計(jì)算，采用文獻(xiàn)給出的該函數(shù)列表數(shù)值[17-18]，得到德拜比熱容函數(shù)的擬合式為

fD(x)=0.999 95+0.000 762x-0.052 5x2+0.002 72x3+

0.000 765x4，

(10)

式中，x取值小于2時(shí)(即高溫區(qū))，計(jì)算值的誤差小于0.015%。

德拜溫度與固體的彈性波速度有關(guān)，可以采用式(11)確定[19-20]。

(11)

式中，V為每千摩爾固體的體積，m3；c為固體中彈性波的體波速度。

(12)

其中，cl、ct分別為縱波波速和橫波波速。由于每kmol(N0=6.022 141 79×1026kmol-1)固體的質(zhì)量可表達(dá)為

M=ρV,

(13)

其中，M、ρ分別為每千摩爾固體的分子量(kg/kmol)和密度(kg/m3)，因此有1/V=ρ/M，代入式(11)可以得德拜溫度[19]。

(14)

其中固體中彈性波的體波速度c由式(12)得到。

(15)

計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵參數(shù)體波速度c通過固體的彈性模量確定。假設(shè)固體為各向同性的彈性物質(zhì)，固體中傳播的縱波波速與橫波波速計(jì)算公式[21-22]為

(16)

(17)

式中，λ、μ分別為固體的第一和第二拉梅彈性常數(shù)。

固體常用的彈性模量為體積彈性模量和剪切彈性模量，體積彈性模量K是固體壓縮系數(shù)的倒數(shù)，剪切彈性模量G=μ。固體的彈性模量是固體發(fā)生彈性形變時(shí)的固有性質(zhì)，與固體的原子組成與晶格結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。體積彈性模量K滿足[23]

(18)

應(yīng)用μ=G，并將式(18)的λ帶入式(16)和(17)，即可得到固體中傳播的縱波波速與橫波波速為

(19)

(20)

固體的體積彈性模量(K)和剪切彈性模量(G)可以通過試驗(yàn)得到，也可以通過量子化學(xué)計(jì)算獲得基本參數(shù)，然后采用Voigt-Reuss-Hill(VRH)方程通過固體彈性剛度常數(shù)和彈性順度系數(shù)計(jì)算得到[24]。本文計(jì)算中采用美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校晶體學(xué)網(wǎng)站提供的數(shù)據(jù)[25]，包括晶體的密度以及在VRH近似下的體積彈性模量(K)和剪切彈性模量(G)，從而通過式(19)和(20)得到固體中傳播的縱波波速與橫波波速，采用式(15)獲得固體中彈性波的體波速度c，并通過式(14)獲得德拜溫度ΘD。

(21)

該函數(shù)可直接計(jì)算，文獻(xiàn)[18]給出了其數(shù)值，為計(jì)算方便，本文給出了愛因斯坦函數(shù)擬合式為

fE(x)=0.999 8+0.003 12x-0.092 2x2+0.008 84x3

+0.001 01x4，

(22)

x取值小于2時(shí)(即高溫區(qū))，計(jì)算誤差小于0.02%。

確定式(7)中的ΘE比較困難。當(dāng)晶體中原子數(shù)較多時(shí)(p值較大)，由于愛因斯坦項(xiàng)成為比熱容的主要貢獻(xiàn)項(xiàng)，因此準(zhǔn)確獲取ΘE很重要。本文采用以下2個(gè)思路之一來解決：

2)構(gòu)造一個(gè)該固體物質(zhì)的生成反應(yīng)

(23)

(24)

利用基爾霍夫方程[9,26]，可以得到不同溫度下標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)熱效應(yīng)隨溫度的變化關(guān)系為

(25)

式中，Δcp為生成物的摩爾定壓比熱容之和與反應(yīng)物的摩爾定壓比熱容的差值，即反應(yīng)摩爾比熱容差。

Δcp=∑iaicp,i-bcp,b，

(26)

(27)

Δcp=∑iaicp,i-bcp,b=0，

(28)

(29)

1.4 比熱容公式的修正

將晶體的德拜溫度與愛因斯坦溫度等數(shù)據(jù)代入式(7)，還可進(jìn)行自由電子比熱容以及定壓比熱容和定容比熱容的修正。當(dāng)計(jì)算含自由電子(如金屬)等固體比熱容時(shí)，自由電子比熱容[13]為

(30)

其中，TF為金屬的費(fèi)米溫度。式(30)得到的自由電子作為附加比熱容，可修正比熱容公式(7)。

由于隨溫度變化時(shí)，固體會(huì)發(fā)生體積膨脹等變化，因此固體的定壓比熱容與定容比熱容隨溫度有微小變化[17-18]。確定定容比熱容后，可采用式(31)獲得修正后的定壓比熱容[18-19]。

cp-cV=ATcp，

(31)

(32)

由式(31)得出

(33)

由式(7)得到固體的定容比熱容后，通過式(33)得到定壓比熱容。對(duì)于具有復(fù)雜晶格的晶體，文獻(xiàn)[20]給出的A0數(shù)值有數(shù)量級(jí)變化，如A0=1～10×10-3K·mol/J(對(duì)于晶格的單原子)，因此實(shí)際計(jì)算時(shí)可對(duì)A0取值進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，從而使得定壓比熱容的理論結(jié)果更接近實(shí)際值。

針對(duì)固體的定壓比熱容與定容比熱容的修正，計(jì)算時(shí)通過晶體的熔點(diǎn)考慮固體的熱膨脹等因素，但由于不同實(shí)際固體在熔點(diǎn)附近的膨脹特性有一定差異，同時(shí)部分晶體的熔點(diǎn)無法查詢，只能采用估計(jì)的熔點(diǎn)，因此比熱容修正式(33)不確定性很小。

2 結(jié)果與分析

計(jì)算比熱容時(shí)不同晶體的主要參數(shù)見表1，晶體的體積彈性模量K和剪切彈性模量G來自晶體學(xué)網(wǎng)站[25]。德拜溫度ΘD利用式(14)計(jì)算，愛因斯坦溫度ΘE利用雙參數(shù)比熱容計(jì)算式(7)反算得到。德拜溫度僅依賴于晶體的基本參數(shù)，具有明確的物理意義，代表比熱容項(xiàng)中的聲學(xué)支；愛因斯坦溫度代表比熱容項(xiàng)中光學(xué)支的影響，數(shù)值大于德拜溫度，但為了保證比熱容的預(yù)測(cè)精度，具體數(shù)值有一定的擬合成分。從固體的晶體結(jié)構(gòu)看，一種晶體往往存在多個(gè)同分異性體[25]，即雖然分子式相同，但原子排列不同，從而晶型也不同，因此這些晶體構(gòu)型的基本參數(shù)(如密度、彈性模量和熔點(diǎn)等)會(huì)有變化。在德拜計(jì)算中，用不同晶型的基本參數(shù)進(jìn)行對(duì)比試算，發(fā)現(xiàn)得到的德拜溫度差別不大。

表1 計(jì)算比熱容時(shí)晶體的主要參數(shù)

2.1 簡(jiǎn)單晶體的比熱容

首先用雙參數(shù)比熱容預(yù)測(cè)方法計(jì)算了簡(jiǎn)單的金屬銅晶體(單原子Cu)的比熱容。由表1可知，銅的德拜溫度為350.5 K，而文獻(xiàn)給出的數(shù)值為345 K[10]，兩者誤差僅1.59%，這是因?yàn)閱卧泳w的結(jié)果與德拜理論最為接近。

不同溫度下的銅比熱容預(yù)測(cè)值如圖1所示，預(yù)測(cè)的比熱容值(空心方塊)與文獻(xiàn)[26](實(shí)心方塊)相比，最大誤差為2.865%。該比熱容的計(jì)算只考慮了金屬原子振動(dòng)的比熱容，沒有考慮金屬中自由電子的比熱容。溫度較高，與金屬中的自由電子溫度特征溫度(對(duì)于Cu，ΘE=82 000 K)可以相比時(shí)，電子比熱容按照式(30)進(jìn)行修正。由圖1可知，經(jīng)過電子比熱容的修正，銅比熱容的預(yù)測(cè)值(空心圓圈)最大誤差下降至1.312%，精確度很高。

圖1 銅的比熱容

MgO、SiO2和Al2O3的比熱容如圖2所示。由圖2(a)可知，MgO比熱容的預(yù)測(cè)值與文獻(xiàn)[26]非常接近，最大誤差為1.095%；根據(jù)HSC軟件和文獻(xiàn)[6]給出的MgO比熱容，可以看出不同文獻(xiàn)的比熱容具有明顯差別，特別是文獻(xiàn)[6]的比熱容在高溫下明顯比其他比熱容值大。圖2(b)為了減少預(yù)測(cè)誤差，將溫度分為298～400 K和400～2 000 K兩個(gè)區(qū)段，SiO2比熱容的預(yù)測(cè)值與文獻(xiàn)[26]在1 000 K存在最大誤差(-4.905%)，而HSC軟件給出的比熱容值與這些值偏差均較大。圖2(c)溫度也被分為298～800 K和900～2 327 K兩個(gè)區(qū)段，Al2O3比熱容與文獻(xiàn)[26]比較接近，最大誤差為-2.828%；而文獻(xiàn)[6]給出的Al2O3比熱容，與預(yù)測(cè)值非常接近。因此本文比熱容的預(yù)測(cè)值具有很好的精度，其誤差已經(jīng)小于不同文獻(xiàn)之間的比熱容誤差。

圖2 MgO、SiO2和Al2O3的比熱容

2.2 復(fù)雜晶格晶體的比熱容

具有多原子的復(fù)雜晶格固體MgAl2O4、Mg2SiO4和Al2SiO5的比熱容如圖3所示。由圖3(a)可知，MgAl2O4的比熱容預(yù)測(cè)值與文獻(xiàn)[26]的誤差隨溫度升高增大，最大誤差為5.754%；由HSC軟件給出的比熱容值為最大，與預(yù)測(cè)值最大相差12%以上。圖3(b)中Mg2SiO4比熱容的預(yù)測(cè)值與文獻(xiàn)[26]在800 K存在最大誤差(-3.065%)，其他比熱容值與該值比較接近。圖3(c)中Al2SiO5比熱容與文獻(xiàn)值均很接近，而預(yù)測(cè)值比文獻(xiàn)[26]大，900 K時(shí)存在最大誤差(-4.923%)。因此對(duì)于MgAl2O4的比熱容，預(yù)測(cè)誤差隨溫度升高而增大；對(duì)于Mg2SiO4、Al2SiO5的比熱容，在比熱容曲線的拐點(diǎn)附近，比熱容存在最大誤差。

圖3 MgAl2O4(MgO·Al2O3)、Mg2SiO4(2MgO·SiO2)和Al2SiO5(Al2O3·SiO2)的比熱容

具有29個(gè)原子的復(fù)雜晶格固體Mg2Al4Si5O18(2MgO·2Al2O3·5SiO2)的比熱容如圖4所示，可知其比熱容預(yù)測(cè)值比文獻(xiàn)[26]大，隨溫度升高預(yù)測(cè)誤差不斷變大，最大誤差為-7.081%。為了減小誤差，調(diào)整式(32)中A0=3.11×10-3K·mol/J，這時(shí)比熱容預(yù)測(cè)值的最大誤差減少為3.474%。可見微調(diào)A0可以明顯提高比熱容預(yù)測(cè)的精度。

圖4 2MgO·2Al2O3·5SiO2的比熱容

晶體Mg3Al2(SiO4)3(3MgO·Al2O3·3SiO2)的比熱容很難查到，因此采用本文提出的方法，對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算。首先給出3MgO·Al2O3·3SiO2的生成反應(yīng)式[26]為

2(2MgO·2Al2O3·5SiO2)+(MgO·Al2O3)+

(34)

已知3種生成物的比熱容(圖3(a)、(b)和圖4)，采用式(29)獲得298 K時(shí)3MgO·Al2O3·3SiO2的比熱容(311.752 J/(mol·K)；然后采用類似方法，預(yù)測(cè)出該固體在不同溫度下的比熱容(圖5)。由于該固體的比熱容完全來自于預(yù)測(cè)計(jì)算，其精確性有待驗(yàn)證。

圖5 3MgO·Al2O3·3SiO2的比熱容

3 結(jié) 論

1)本文基于統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)方法，提出一種高溫固體比熱容的雙參數(shù)預(yù)測(cè)方法，采用該方法對(duì)典型單原子、雙原子與多原子晶體的比熱容進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算，并通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

2)將固體晶格振型分為聲學(xué)支與光學(xué)支，假設(shè)多原子組成的復(fù)雜晶格比熱容主要影響因素為2個(gè)參數(shù)：德拜特征溫度ΘD和愛因斯坦溫度ΘE；通過晶體學(xué)的基本參數(shù)獲得德拜特征溫度ΘD，再通過固體比熱容的有限試驗(yàn)數(shù)據(jù)或簡(jiǎn)單物質(zhì)的熱物性，反算出復(fù)雜晶格固體的愛因斯坦溫度ΘE，從而預(yù)測(cè)得到不同溫度下固體的理論比熱容。

3)從預(yù)測(cè)得到的固體比熱容與實(shí)際值對(duì)比發(fā)現(xiàn)，比熱容預(yù)測(cè)誤差主要有2種形式：一是在溫度拐點(diǎn)附近，誤差較大，即在溫度區(qū)間內(nèi)體現(xiàn)為兩頭精度高、中間誤差大，可以采用溫度分區(qū)的辦法來減少誤差(如Al2O3和SiO2的比熱容)；二是隨溫度升高，比熱容誤差加大(如MgAl2O4和Mg2Al4Si5O18的比熱容)，可以通過調(diào)整比熱容修正式中的A0來微調(diào)定壓比熱容的預(yù)測(cè)值。溫度分區(qū)與調(diào)整參數(shù)A0兩種方法也可以結(jié)合起來微調(diào)比熱容。

4)該方法在寬范圍變化的溫度區(qū)間內(nèi)可以保證比熱容的預(yù)測(cè)誤差小于5%，說明高溫固體比熱容雙參數(shù)表達(dá)式有望為流程工業(yè)的固體熱物性數(shù)據(jù)，提供一種簡(jiǎn)單可靠的確定方法。實(shí)際晶體的比熱容由晶格振動(dòng)比熱容、電子比熱容、晶格缺陷比熱容等組成，本文在計(jì)算中基本未考慮電子比熱容、晶格缺陷比熱容等因素的影響，這是下一步研究方向。