張國英, 劉冠峰, 管貽生

(1.廣東工業(yè)大學 機電工程學院, 廣州 510006； 2.廣東技術師范大學 機電學院, 廣州 510665)

兩轉(zhuǎn)一移(2R1T)并聯(lián)機構因其自由度少、結構簡單、制造成本低、適用于多種場合等優(yōu)勢，已引起國內(nèi)外學者的廣泛關注. 自Hunt[1]于1983年提出一種構型為3-RPS并聯(lián)機構以來，2R1T并聯(lián)機構的構型綜合近年來在國內(nèi)也掀起一股研究熱潮[2-9]. 這類機構目前已成功應用于五軸混聯(lián)機床的轉(zhuǎn)動中心[10]、姿態(tài)調(diào)整裝置[11]以及坐標測量機[12]等.

速度分析是并聯(lián)機構運動性能分析和動力學分析的基礎，屬于微分運動的范疇，常用的分析方法有閉環(huán)矢量法、旋量法、影響系數(shù)法[13-14]和網(wǎng)絡分析法[15]等. 前三種方法實質(zhì)是求解速度映射即雅克比矩陣，一般通過對位置約束方程求導來獲得速度映射關系，但在位置約束方程本身就很復雜的情況下，對其進行一階求導就更加困難. 網(wǎng)絡分析法以圖論為基礎，適合多環(huán)強耦合并聯(lián)機構的速度和力分析，對于少自由度并聯(lián)機構的速度分析通用性不強.

為避開雅克比矩陣和位置導數(shù)的求解，本文在文獻[9]的基礎上，利用Riemann對稱空間理論對一種自由度類球面并聯(lián)機構進行了瞬時速度分析. 從機構子鏈旋量系的對稱性出發(fā)，建立各子鏈關節(jié)運動的約束，從而簡化機構動平臺瞬時速度的計算. 根據(jù)計算和仿真的對比結果來看，角速度誤差控制在-0.004～0.006 rad/s以內(nèi)，線速度誤差控制在-0.01～0.015 mm/s以內(nèi). 采用對稱空間理論方法計算瞬時速度用時5.187 s.

1 機構描述及其坐標系建立

機構由等半徑的動平臺和基座以及3個相同的支鏈組成. 在初始位形下，機構的幾何簡圖如圖1所示. 3個支鏈呈120°均勻分布于基座和動平臺之間. 與基座相連的轉(zhuǎn)動副記為Bi(i=1,2,3)，它們的軸線相交于基座中心OB，與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副記為Di(i=1,2,3)，它們的軸線相交于動平臺中心OD；每條支鏈上的球副記為Si(i=1,2,3)，其空間布置為SiOB⊥OBBi,SiOD⊥ODDi,‖SiOD‖=‖SiOB‖. 任意位形下，動平臺和基座關于3個球副所組成的平面S1S2S3對稱，動平臺可以繞對稱面內(nèi)的任意直線發(fā)生連續(xù)轉(zhuǎn)動，也可以沿兩平臺中心連線方向進行連續(xù)平移.ODS1S2S3OB為一個六面體，平面S1S2S3將此六面體分為上下對稱的兩部分，OB和OD始終關于S1,S2,S3組成的平面對稱.

圖1 并聯(lián)機構的幾何簡圖

建立基坐標系OBxyz(記為{FW})和動坐標系ODuvw(記為{FT})，如圖2所示. 初始位形下，基座與動平臺平行，各轉(zhuǎn)動副軸線也相互平行.OBOD⊥S1S2S3交S1S2S3于點M，‖OBM‖=‖ODM‖,‖OBSi‖=‖ODSi‖=l.

圖2 機構坐標系

2 位置正解

在基坐標系{FW}中，S1,S2,S3的位置由驅(qū)動副Bi的轉(zhuǎn)角αia(i=1,2,3)和l決定，可寫為

Si=Ri[-lcαia,0,lsαia]T,

(1)

其中

對稱平面方程ax+by+cz+d=0由各球副的位置坐標確定，滿足下式:

(2)

根據(jù)點關于平面對稱點的求解原理，容易得到動平臺中心OD在{FW}下的位置坐標：

(3)

其中，A=a2+b2+c2. 展開式(3)即可求得機構的位置正解為

(4)

其中

si表示sinαia，ci表示cosαia，s12表示sin(α1a+α2a)，s13表示sin(α1a+α3a).

3 瞬時速度分析

3.1 Riemann對稱空間理論

定義1[16]設p是Riemann流形M中的一點，如果存在M的一個變換σp：M→M滿足下面3個條件：

1)σp是對合的，即σp2=id(id表示恒等變換)但σp≠id；

2)σp是保長變換(即等距變換)；

3)p是σp的孤立不動點，即有p的鄰域U，使得?q∈U,σp(q)=pq-1p.

則稱M對于p成中心對稱，σp叫作關于p的中心對稱.

定義2如果一個Riemann流形M對于M中任意一點p，q都成中心對稱，則稱M為Riemann對稱空間(簡稱對稱空間).

Riemann對稱空間的2個典型例子就是歐幾里德空間和球體[17]. 在機構學中存在一種符合Riemann對稱的并聯(lián)機構，它是一類具有對稱幾何結構支鏈的并聯(lián)機構. 每條支鏈可分為相連的兩個子支鏈(C+,C-)，如圖3所示. 它們的運動副的空間分布滿足一種特殊的對稱，即可以通過符號相反的一對運動{φ,-φ}使得兩個子鏈重合為一個子鏈.

圖3 對稱并聯(lián)機構的子支鏈圖

如果重合子鏈的旋量系為ξk,…,ξ1，則原有支鏈的2個子支鏈的旋量系為

容易得到子鏈{C++C-}的運動學正解為

f(α)=eξ1(α1+φ1)…eξk(αk+φk)eξk(αk+φk)…eξ1(α1+φ1)

如果在剛體運動群SE(3)上定義一個反射映射：σp(q)=pq-1p，則上述子鏈的正向運動學可以寫為

f(α)=σeξ1(α1+φ1)(σeξ2(α2+φ2))(…σeξk(αk+φk)(e)…).

考慮與f像空間對應的SE(3)的子流形Q. 由于f是多個反射的組合，Q必須是SE(3)的對稱子空間.

定理1如果TeQ=ξk,…,ξ1?SE(3)，則f的像空間包含Q的關于e的一個鄰域.

定理2如果并聯(lián)機構的所有支鏈的約束空間的和正好是TeQ的正交補，則并聯(lián)機構的任務空間包含Q的關于e的一個鄰域. 并且每條子鏈的C+，C-轉(zhuǎn)過的角度正好相反.

本機構任意時刻的運動都可以想象為在一個球體(或橢球體)內(nèi)進行. 動平臺與基座始終對稱，對稱面為過S1,S2,S3的圓面(或橢圓面)，如圖4(a)所示. 由于球副S可以等效3個轉(zhuǎn)動副R串聯(lián)，各等效轉(zhuǎn)動副的交點為球副的中心，故將本機構中各支鏈的球副Si(i=1,2,3)局部等效為3個軸線相交于球副中心的轉(zhuǎn)動副R2-,R2+,R3+(R3-)，如圖4(b)所示，R2-的軸線沿SiOB方向，R2+的軸線沿SiOD方向，R3-(R3+)的軸線位于對稱面S1S2S3內(nèi)且與連接兩平臺的轉(zhuǎn)動副軸線同向. 這樣，機構的每條支鏈上下兩部分可以相互折疊后重合，成為在對稱平面里的同一個RRR結構.

(a) (b)

至此可以得出結論：本機構是一個具有Riemann對稱空間性質(zhì)的機構，其每條支鏈經(jīng)過等效處理后，支鏈的上下2條子鏈也是對稱的，因此，上子鏈與動平臺的夾角和下子鏈與基座的夾角相互為負. 即轉(zhuǎn)動副Bi,Di的轉(zhuǎn)角關系為：αip=-αia(i=1,2,3)，其中αia為平面OBBiSi與基座的夾角，αip為平面ODDiSi與動平臺的夾角. 以B3,D3的轉(zhuǎn)角關系α3p=-α3a為例，如圖5所示.

圖5 轉(zhuǎn)動副B3, D3的轉(zhuǎn)角

3.2 等效瞬時速度空間

構造運動旋量ξi(i=1,2,3)與每個關節(jié)對應，它表示第i個關節(jié)的旋量運動，此時除第i個關節(jié)外其他所有關節(jié)均固定于αja=0的位置. 在研究轉(zhuǎn)動關節(jié)時，其運動旋量ξi可表示為

(5)

其中，wi∈R3表示旋轉(zhuǎn)軸線上單位矢量，qi∈R3表示軸線上任一點. 對移動關節(jié)有

(6)

下面分別以機構的3種特殊運動為例，推導其運動旋量表達式.

圖6 第一種運動：固定S1, S2，讓S3自由運動

Fig.6 Motion pattern Ⅰ: fixS1,S2and freeS3

該運動情形下的運動旋量為

(7)

(8)

(9)

運動旋量系{ξ1,ξ2,ξ3}等效為繞對稱面S1S2S3內(nèi)任意一條直線的轉(zhuǎn)動(2個旋轉(zhuǎn)自由度)，以及沿對稱面法線方向的平移(1個平移自由度)，其維數(shù)等于機構的自由度數(shù)，很好地解釋了類球面并聯(lián)機構2R1T的自由度性質(zhì)，物理意義明確.

由于動平臺的運動是由3個驅(qū)動關節(jié)共同作用引起，其運動可以由旋距為零的速度旋量來描述:

(10)

(11)

式中，ξ1,ξ2,ξ3分別為驅(qū)動關節(jié)B1,B2,B3在基坐標系下的等效運動旋量，ξ的集合就構成了機構末端在基坐標系下的速度空間.

4 計算與仿真

選取機構主要參數(shù)為：l=100 mm. 不失一般性，令驅(qū)動關節(jié)的角位移分別為

(12)

根據(jù)式(1)～(11)對動平臺的瞬時速度(包括角速度和線速度)進行ADAMS仿真并與Mathematica計算結果進行對比，結果如圖7所示. 由圖7可知，仿真結果與理論計算幾乎完全吻合，說明采用對稱空間理論分析機構的瞬時速度是正確、可行的.

(a)角速度的仿真值與計算值對比

(b)線速度的仿真值與計算值對比

Fig.7 Instantaneous velocity computed and simulated by symmetric space theory

5 結 論

對一種對稱結構的3自由度類球面并聯(lián)機構進行了位置分析. 由于位置解析式較為復雜，若通過對其進行一階求導或推導其雅克比矩陣的方式來獲得機構的瞬時速度將是十分困難的事情. 為簡化計算，利用對稱空間理論，從機構子鏈旋量系的對稱性出發(fā)，建立各子鏈關節(jié)運動的約束. 由于機構有三個驅(qū)動關節(jié)，每次鎖定2個驅(qū)動關節(jié)，只讓1個關節(jié)運動，這樣就可以得到3種特殊的運動及其運動旋量，這些運動旋量和對應的驅(qū)動關節(jié)速度的線性組合構成了機構的瞬時速度空間. 這個空間的基正好解釋了機構的自由度性質(zhì)為兩旋轉(zhuǎn)一平移，物理意義明確，計算方法簡單.