張 勇，朱晨啟，張 睿

（南京工業(yè)大學 數(shù)理科學學院，江蘇 南京 211816）

金屬矩形波導是物理類專業(yè)的專業(yè)課“電動力學”[1-3]以及電氣類、電子類和通信類專業(yè)的專業(yè)課“電磁場與電磁波”[4-6]的重要內(nèi)容。金屬矩形波導電磁性質(zhì)的理論公式，如波導中電場和磁場分布公式、波導腔壁上電流分布公式，對于學生來說過于抽象，學生很難準確理解這些理論公式的物理內(nèi)涵和物理圖像。

FDTD Solutions是一款基于麥克斯韋方程組求解、采用時域有限差分法[7]的電磁波仿真軟件，具有圖形界面直觀、參數(shù)設(shè)計簡單、仿真能力強大等特點，被廣泛地應(yīng)用于電磁場與電磁波領(lǐng)域的前沿研究，例如等離激元學[8-9]、光子晶體[10-11]、太陽能器件[12-13]等。

本文利用FDTD Solutions設(shè)計了金屬矩形波導電磁性質(zhì)仿真實驗。這一仿真實驗可以讓學生直觀地、多角度地觀察矩形波導中電場、磁場和電流分布的特點，并用這些場分布圖來驗證教材中電場、磁場和電流的理論公式。該實驗有助于學生全面理解和掌握金屬矩形波導的相關(guān)理論知識。

1 金屬矩形波導電磁性質(zhì)的理論公式

圖 1(a)為金屬矩形波導的示意圖，其腔體內(nèi)為真空，波導壁為金屬導體。圖1(b)為矩形波導的截面圖。波導中導波的傳播方向沿z軸方向。波導腔的長邊尺寸為a，沿x軸方向；短邊尺寸為b，沿y軸方向。

在金屬矩形波導中，允許傳播的導行電磁波有橫電波（TE波）和橫磁波（TM波）兩種模式。本文將研究TE10波在矩形波導中的傳播特性。

圖1 金屬矩形波導的結(jié)構(gòu)示意圖和截面圖

利用波動方程和邊界條件，可以解析推導出金屬矩形波導中 TE10波的電場、磁場的理論公式[1-6]。電場分量的公式如下：

其中，ω為電磁波的角頻率，μ0為真空磁導率，H0為磁場強度分量Hz的振幅，kz為波矢量，t為時間。顯然，對于矩形波導中的TE10波，電場的x分量和z分量都為0，只有y分量不為0。

磁場分量的公式為：

與電場相反，磁場的y分量為0，而x分量和z分量不為0。

基于式（1）和式（2）并利用公式Jf=n×H（其中：n為波導腔壁表面的法向單位矢量），可以得到金屬矩形波導的4個腔壁上的電流密度Jf如下：

從式（3）可以看出，在x=0和x=a兩個壁上，電流方向相同，都沿y軸方向。在y=0和y=b兩個壁上，電流方向存在x和z兩個分量，且在這兩個壁上電流的方向是相反的。

2 仿真實驗設(shè)計

2.1 FDTD Solutions建模和仿真

利用 FDTD Solutions仿真模擬金屬矩形波導電磁性質(zhì)的步驟如下：首先，利用FDTD Solutions的建模功能設(shè)計并繪制波導的結(jié)構(gòu)圖并設(shè)置結(jié)構(gòu)參數(shù)（見圖1）。波導參數(shù)設(shè)置為，長a=30 mm，寬b=10 mm，腔壁的厚度設(shè)為4 mm；波導沿z軸方向的長度為90 mm。其次，設(shè)置波導的材料屬性。波導內(nèi)真空的相對折射率為1；波導壁金屬的電容率為其中，ε0是真空電容率，電導率接著，設(shè)置波導的邊界條件和激勵源。在波導沿z軸方向的最前端和最后端設(shè)置兩個波導的端口，即電磁波發(fā)射和接收端口。電磁波的頻率f范圍設(shè)置為10～30 GHz。為了觀察波導的電場、磁場和電流分布，在f=9 GHz時，設(shè)置電場、磁場和電流的監(jiān)視器各一個。在這一頻率下，波導中只有TE10模存在。最后，運行仿真文件對波導進行仿真模擬。

仿真模擬完成后，即可利用FDTD Solutions的場分布查看功能觀察不同截面的電場、磁場和電流的分布圖。波導中電場、磁場和電流的分布是動態(tài)變化的，這里給出的電場、磁場和電流分布圖是其極大值（電場、磁場和電流最強）或某一瞬時的分布圖。

2.2 電場分布圖

2.2.1 電場強度分量的分布圖

為了與式（1）作比較，首先繪制電場強度E的3個分量Ex、Ey、Ez在金屬矩形波導的z軸截面上的分布圖。圖2為同一場強標尺范圍、用顏色表示的電場強度分量Ex、Ey、Ez的分布圖?？梢钥闯觯妶鰪姸鹊膞和z分量Ex和Ez都為0，只有y分量Ey不為0。這與式（1）是符合的，源于波導模為 TE10波，即對于TE10模，電場強度只有y分量，沒有x和z分量。

2.2.2 電場強度的分布圖

為了更清楚地看出電場強度的分布特點，還需要繪制波導中電場強度E（總電場）在垂直于x、y、z軸的截面上的分布圖。圖3繪制了在同一場強標尺下、用箭頭表示的電場強度E在垂直于z=d（d的位置為圖 3(b)、3(c)中的虛線處）、x=a/2、y=b/2的截面上的分布圖。圖3中電場的強弱用箭頭的顏色和粗細來表示，電場的方向用箭頭的方向來描述。由式（1）可知，在z軸方向（電磁波的傳播方向）上，電磁波以簡諧波（余弦波）的行波形式傳播，故圖 3(b)、3(c)繪制了沿z軸方向一個完整周期內(nèi)的電場分布圖。

從圖3(a)、3(b)可以看出，同一組x、z值處電場強度的大小、方向均相同。例如，圖 3(b)的x=a/2截面上，z=d線上電場為均勻電場。這與式（1）一致，即式（1）中，電場強度與y無關(guān)，與x和z有關(guān)。

圖2 電場強度分量Ex、Ey、Ez在垂直于z軸的截面上的分布圖

圖3 電場強度E在垂直于z、x、y軸的截面上的分布圖

從圖3(a)、3(c)可以看出，電場強度沿x軸方向呈現(xiàn)出兩端弱、中間強的特點，這是因為電場在x方向為駐波，而x=0、x=a兩個波導壁為駐波的波結(jié)，中間部分為駐波的波腹。這一電場特征與式（1）一致，即Ey的振幅是的函數(shù)。

從圖3(b)、3(c)可以看出，電場沿z軸方向呈現(xiàn)出簡諧波的特征，這也與式（1）相符。

2.3 磁場分布圖

2.3.1 磁場強度分量的分布圖

為了跟式（2）作比較，繪制了波導中磁場強度H的 3個分量Hx、Hy、Hz在波導的z軸截面上的分布圖。圖4為在同一場強標尺下、用顏色表示的磁場強度分量Hx、Hy、Hz的分布圖?？梢钥闯?，磁場強度的y分量Hy為0，但x和z分量Hx和Hz不為0，這一結(jié)論與式（2）相符。

圖4 磁場強度分量Hx、Hy、Hz在垂直于z軸的截面上的分布圖

從圖4還可以看出，Hz比Hx（平均值或極大值）要大得多，這一點從式（2）中是很難看出來的。這顯示出精確的磁場強度分布圖的優(yōu)勢和重要性。

2.3.2 磁場強度的分布圖

為了更全面地了解磁場的分布特征，繪制了波導中磁場強度H在垂直于x、y、z軸的截面上的分布圖，如圖5和6所示。

圖5 磁場強度H在垂直于y軸和z軸的截面上的分布圖

圖5 (a)為磁場強度H在y=b/2截面上的分布圖（沿z軸方向取一個簡諧波周期）。在垂直于y軸的不同截面上，磁場均保持著圖5(a)的分布特點。如圖5(a)所示，在垂直于y軸的平面內(nèi)，磁場呈渦旋狀，這源于電磁感應(yīng)效應(yīng)，即波導中TE10模的電場沿y軸方向，而沿y軸方向變化的電場強度感應(yīng)出渦旋狀的磁場。

在垂直于z軸的不同截面上，磁場的分布是不同的。為此，在z軸上選取了兩個比較典型的位置，即在圖5(a)中的A和B位置繪制垂直于z軸截面的磁場分布圖，這兩處截面分別位于圖 5(a)中渦旋磁場沿z軸方向的兩個典型的位置：中間和邊緣，如圖 5(b)、5(c)所示。A、B位置處的z軸截面上，磁場都呈左右對稱分布。A位置截面上，磁場主要沿z軸方向（即主要為Hz）。左右兩邊的磁場方向相反，場強大小呈現(xiàn)兩邊強、中間弱的特點。在B位置截面上，磁場沿x軸方向（即Hx），且磁場方向相同，場強呈現(xiàn)兩邊弱、中間強的特點。A、B位置處的磁場分布特征與式（2）一致，即磁場分量Hz和Hx均為駐波；不同之處為，的函數(shù)。故對于Hz（A位置處），x=0、x=a處為駐波的波腹，中間為駐波的波結(jié)（場強兩邊強、中間弱）；而對于Hx（B位置處），x=0、x=a處為駐波的波結(jié)，中間為駐波的波腹（場強兩邊弱、中間強）。

在垂直于x軸的不同截面上，磁場的分布也是不同的。分別在x=a/10和x=a/2處繪制磁場在垂直于x軸的截面上的分布圖，這兩處截面分別位于圖 5(a)中渦旋磁場沿x軸方向的典型位置：邊緣和中間，如圖6(a)和6(b)所示。無論是x=a/10還是x=a/2處的截面上，磁場都呈左右對稱分布，x=a/10截面上的磁場強度強于x=a/2截面。在x=a/10截面上，磁場主要為Hz；而在x=a/2截面上，磁場均為Hx。

圖6 磁場強度H在垂直于x軸的截面上的分布圖

2.4 電流分布圖

利用FDTD Solutions繪制電流在波導的4個腔壁上的分布。圖 7(a)、7(b)為y=0和x=0兩個波導腔壁上的電流分布圖（沿z軸方向一個周期內(nèi)）。y=b、x=a兩個壁上的電流分布和y=0、x=0兩個波導壁上相同，但相應(yīng)的電流方向相反，故不再給出。

如圖7所示，在外加電磁場驅(qū)動下，電流在金屬波導腔壁表面形成。在y=0的腔壁上，電流呈發(fā)散或匯聚狀。沿z軸方向一個行波周期內(nèi)，有發(fā)散和匯聚中心各一個。發(fā)散中心位于電場的峰值處，而匯聚中心位于電場的谷值處（見圖3(c)）。由電荷和電場的關(guān)系ρs=ε0n?E=ε0En（ρs為電荷面密度）可知，發(fā)散中心是正電荷的中心，而匯聚中心是負電荷的中心。起于正電荷中心的電流既可以沿z軸方向流向負電荷中心，又可以從y=0或y=b壁上的正電荷中心沿波導的四壁（即沿x和y方向）流向y=b或y=0壁上的負電荷中心。由于波導中的電場沿y軸方向，故x=0和x=a的兩個面上只有電流的流動，而沒有電荷的發(fā)散和匯聚，如圖7(b)所示。

圖7 矩形波導腔壁上的電流分布圖

在垂直于z軸的不同截面上，電流的分布也是不同的。為此，在z軸上選取了兩個比較典型的位置，即圖7(a)中的A和B兩處取z軸截面繪制電流的分布圖，如圖8(a)和8(b)所示。這兩處截面分別位于圖7(a)中電流發(fā)散中心及電流發(fā)散中心與匯聚中心連線的中間位置處。

如圖8(a)所示，A位置處，電流起于矩形波導下底邊（y=0）中部的正電荷中心，然后分別向左右流動，形成兩個半環(huán)，最后在上底邊（y=b）中部的負電荷中心匯集。圖8(b) B位置處，電流主要集中于上下表面上（x=0、x=a的腔壁），且電流的方向沿z軸。在矩形波導的上下表面，電流的方向是相反的。如圖8(a)、8(b)，由于趨膚效應(yīng)，電流只分布在金屬表面很薄的一個薄層中。由于使用的金屬不是理想金屬，故電磁波的趨膚深度不為0。

圖8 矩形波導在垂直于z軸截面上的電流分布圖

從圖7和8還可以看出，在y=0和y=b兩個壁上，電流存在兩個分量，即x和z分量；而在x=0和x=a兩個壁上，電流只有一個分量，即y分量。這些結(jié)論與電流的理論公式（3）一致。并且，從圖7中還可以看出，電流的x分量和y分量的值相近，但都強于電流的z分量（平均值或極大值），而這一點從解析公式（3）中很難直觀地看出來。

3 結(jié)語

利用FDTD Solutions軟件對金屬矩形波導進行建模和仿真，并繪制了電場、磁場和電流在波導中或波導腔壁上的分布圖。這些分布圖與教材中的解析公式的結(jié)論可以互相印證。此外，通過這些分布圖還可以直觀地看出從解析公式中不能直接發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如：波導中，磁場強度的z軸分量比x軸分量要大得多；波導四壁上電流的x和y分量強于z分量。該實驗對于學生理解電磁波在金屬矩形波導中的傳播規(guī)律、掌握金屬矩形波導的相關(guān)理論知識都非常有幫助。本文中的電場、磁場和電流的分布圖亦可用于“電動力學”或“電磁場與電磁波”相關(guān)內(nèi)容的課堂教學。