◇ 四川 李 波

解析幾何中的數(shù)列問(wèn)題以直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)為載體,與基本量a,b,c、直線(xiàn)(斜率、弦長(zhǎng))、向量等知識(shí)相結(jié)合,考查等差、等比數(shù)列基本量的求解及證明,涉及數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論、設(shè)而不求等思想方法.該類(lèi)題型在2013年、2016年、2018年高考真題中均出現(xiàn)過(guò),考生常出現(xiàn)運(yùn)算中代數(shù)變形方向性不明、運(yùn)算盲目等問(wèn)題.為突破這一瓶頸,本文總結(jié)出問(wèn)題突破點(diǎn),歸納解題技巧與策略,以期幫助讀者在學(xué)習(xí)中做到選擇捷徑、簡(jiǎn)化計(jì)算、避繁就簡(jiǎn).

1 建方程組,消元求解

例1定義:離心率的橢圓為 “黃金橢圓”,已知的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c＞0),則E為“黃金橢圓”是a,b,c成等比數(shù)列的( ).

A.既不充分也不必要條件

B.充分且必要條件

C.充分不必要條件

D.必要不充分條件

解析

(充分性)由a,b,c成等比數(shù)列可知,顯然a2－ac－c2＝0,等式兩邊同時(shí)除以a2,得e2＋e－1＝0,解得,所以E為“黃金橢圓”.

(必要性)由E為“黃金橢圓”知,顯然離心率e滿(mǎn)足e2＋e－1＝0,又,所以a2－acc2＝0,由a2－b2＝c2,知b2＝ac,所以a,b,c成等比數(shù)列.故選B.

練習(xí)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c＞0),若a,b,c成等差數(shù)列,則橢圓的離心率為_(kāi)_______.

點(diǎn)評(píng)

解題時(shí)要充分挖掘基本量a,b,c的隱藏信息,并結(jié)合題中已知信息運(yùn)用方程組思想消元,從而找到問(wèn)題的突破口.

2 回歸定義,以逸待勞

例2已知拋物線(xiàn)C:x2＝4y的焦點(diǎn)為F,拋物線(xiàn)上A,B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn)P.證明:|AF|,|PF|,|BF|成等比數(shù)列.

解析

由拋物線(xiàn)定義可知,|AF|＝y(tǒng)1＋1,|BF|＝y(tǒng)2＋1,所以|AF|·|BF|＝y(tǒng)1y2＋y1＋y2＋1,又|PF|2＝y(tǒng)1＋y2＋y1y2＋1,顯然|AF|·|BF|＝|PF|2,即|AF|,|PF|,|BF|成等比數(shù)列.

例3(2013年全國(guó)卷)已知雙曲線(xiàn)(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為3,直線(xiàn)y＝2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6.

(1)求a,b;

(2)設(shè)過(guò)F2的直線(xiàn)l與C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),且|AF1|＝|BF1|,證明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列.

解析

(1)a＝1,b＝22(求解過(guò)程略).

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題可知,直線(xiàn)AB的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝k(x－3),則y1＝k(x1－3),y2＝k(x2－3),由對(duì)稱(chēng)性,不妨假設(shè)k＞0,聯(lián)立消y得

由|AF1|＝|BF1|知,kAB·kPF1＝－1,即,解得,此時(shí)

由點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上,知,所以

同理|BF2|＝|3x2－1|,所以

由雙曲線(xiàn)的定義知

解得|BF2|－|AF2|＝|AB|＝4,顯然|AF2|·|BF2|＝|AB|2,即|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列.

另解,將式①代入上式得,|AB|＝4,顯然有|AF2|·|BF2|＝|AB|2,即|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)

利用數(shù)形結(jié)合思想和圓錐曲線(xiàn)定義巧妙求出線(xiàn)段長(zhǎng)度,運(yùn)用數(shù)列知識(shí)驗(yàn)算,達(dá)到事半功倍的效果,也體現(xiàn)了“多一點(diǎn)想,少一點(diǎn)算”的命題思想.

練習(xí)設(shè)F1,F2分別是橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1作斜率為1的直線(xiàn)l與E相交于A,B兩點(diǎn),且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列.

(1)求橢圓E的離心率;

(2)設(shè)點(diǎn)P(0,－1)滿(mǎn)足|PA|＝|PB|,求E的方程.

3 設(shè)而不求,巧用定理

例4(2013年江西卷理20)如圖1所示,橢圓過(guò)點(diǎn),離心率直線(xiàn)l的方程為x＝4.

(1)求橢圓C的方程;

(2)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P),設(shè)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問(wèn):是否存在常數(shù)λ,使得k1＋k2＝λ2k3? 若存在,求λ的值;若不存在,說(shuō)明理由.

圖1

解析

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題知,直線(xiàn)AB的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝k(x－1),則

由題意可知,PA,PB的斜率分別為

將式①代入上式得

將式②代入上式得k1＋k2＝2k－1.易知M(4,3k),所以,顯然k1＋k2＝2k3.

綜上,存在常數(shù)λ＝2符合題意.

點(diǎn)評(píng)

本題主要考查代數(shù)運(yùn)算、等差數(shù)列、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等知識(shí),突出根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求思想等,旨在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理.

練習(xí)(2018年全國(guó)卷Ⅲ理20)已知斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m＞0).

(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且成等差數(shù)列,并求出該數(shù)列的公差.

4 極端策略,圍魏救趙

例5已知F是橢圓的右焦點(diǎn),橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i∈N?),|FP1|,|FP2|,|FP3|,…組成公差為d(d＞0)的等差數(shù)列,則( ).

A.該橢圓的焦距為6 B.|FP1|的最小值為2

C.d的值可以為

解析

易知a＝5,b＝4,c＝3,由橢圓的性質(zhì)知ac≤|PF|≤a＋c,即|PF|∈[2,8],不妨設(shè)a1＝2,則a21＝a1＋20d≤8,解得.故選項(xiàng)ABC正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

例6已知點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)0)上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的平行線(xiàn),分別與兩漸近線(xiàn)交于M,N兩點(diǎn),若b是|PM|,|PN|的等比中項(xiàng),則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______.

特殊解法設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,0),聯(lián)立得是|PM|,|PN|的等比中項(xiàng),所以|PM|·|PN|＝b2,即a2＝3b2,則該雙曲線(xiàn)的離心率.

點(diǎn)評(píng)

從＂特殊到一般＂是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中常用的思想方法,也符合當(dāng)前中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,從特殊情況入手,對(duì)求解選擇題和填空題而言,能為考生節(jié)約大量的時(shí)間;對(duì)求解解答題而言,能為考生尋找問(wèn)題的突破口并指明方向.這種方法對(duì)探究新知起指導(dǎo)作用,既服務(wù)教學(xué),又服務(wù)實(shí)踐.

練習(xí)已知雙曲線(xiàn)的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線(xiàn)的同一條漸近線(xiàn)的距離分別為d1,d2,且d1,3,d2成等差數(shù)列,則雙曲線(xiàn)的方程為( ).

5 巧設(shè)參數(shù),變換主元

例7過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作斜率為k的直線(xiàn),與拋物線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)OA,OB(O為坐標(biāo)系原點(diǎn))的斜率分別為k1,k2,則下列等式正確的是( ).

解析

點(diǎn)評(píng)

本解法屬于比較常規(guī)的解法,巧妙地運(yùn)用拋物線(xiàn)的參數(shù)方程進(jìn)行設(shè)點(diǎn),避免了聯(lián)立方程組,計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單,但是解法中含有兩個(gè)參數(shù)y1,y2,因此要注意變形過(guò)程的等價(jià)性.

例8在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為且傾斜角為α的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn).

(1)求曲線(xiàn)C的普通方程和直線(xiàn)l的參數(shù)方程;

(2)若|PA|,|AB|,|PB|成等差數(shù)列,求tanα.

解析

(1)曲線(xiàn)C的普通方程為,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(2)設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入橢圓方程得

由根與系數(shù)的關(guān)系得

將上式代入

又|PA|,|AB|,|PB|成等差數(shù)列,所以

故有23sin2α－36sinαcosα＋13cos2α＝0,等式兩邊同時(shí)除以cos2α,得

點(diǎn)評(píng)

將坐標(biāo)中兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量,方便在化簡(jiǎn)、求最值時(shí)使用均值不等式或構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性或比較大小.

練習(xí)已知圓K過(guò)定點(diǎn)A(a,0)(a＞0),圓心K在拋物線(xiàn)C:y2＝2ax上運(yùn)動(dòng),MN為圓K在y軸上截得的弦.

(1)試問(wèn)MN的長(zhǎng)是否隨圓心K的運(yùn)動(dòng)而變化;

(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng)時(shí),拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與圓K有怎樣的位置關(guān)系?

6 巧用平幾,妙手回春

例9如圖2所示,已知橢圓,與x軸不重合的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F1,且與橢圓G相交于A,B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為M,直線(xiàn)OM與橢圓G相交于C,D兩點(diǎn).

(1)若直線(xiàn)l的斜率為1,求直線(xiàn)OM的斜率;

(2)是否存在直線(xiàn)l,使|AM|2＝|CM|·|DM|成立?若存在,求出l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

解析

(1)直線(xiàn)OM的斜率為(求解過(guò)程略).

(2)假設(shè)存在直線(xiàn)l,使得|AM|2＝|CM|·|DM|成立.當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí),易知此時(shí)M與F1重合,則

當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)AB的方程為y＝k(x＋1),不妨假設(shè)k＞0,則得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0,由根與系數(shù)的關(guān)系知

易知線(xiàn)段AB中點(diǎn)由題意,直線(xiàn)l不與x軸重合,所以直線(xiàn)OM斜率聯(lián)立解得點(diǎn)C坐標(biāo)為.

因?yàn)閨AM|2＝|CM|·|DM|＝(|OC|－|OM|)·(|OD|＋|OM|),且|OC|＝|OD|,所以|AM|2＝,即

點(diǎn)評(píng)

本題第(2)問(wèn)的核心在于轉(zhuǎn)化|AM|2＝|CM|·|DM|中弦長(zhǎng)的關(guān)系.由|CM|＝|OC|－|OM|,|DM|＝|OD|＋|OM|,又|OC|＝|OD|,可得|AM|2＝|OC|2－|OM|2.又|AM|＝因此|AB|2＝4|OC|2－4|OM|2,轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)|AB|,|OC|和|OM|三者之間的數(shù)量關(guān)系,從而使問(wèn)題獲解.

例10設(shè)一簇雙曲線(xiàn)N?,n≤2019),直線(xiàn)x＝2與En在第一象限的交點(diǎn)為An,An在En的兩條漸近線(xiàn)上的投影分別為Bn,Cn,記△AnBnCn的面積為an,求a1＋a2＋…＋a2019的值.

解析

將x＝2代入雙曲線(xiàn)的方程,可得y＝又因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±x,所以點(diǎn)An到漸近線(xiàn)y＝x的距離,點(diǎn)An到漸近線(xiàn)y＝－x的距離,易知四邊形OAnBnCn為矩形,所以,所以

練習(xí)(2016年四川卷)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn＋1＝qSn＋1,其中q＞0,n∈N?.(1)若2a2,a3,a2＋2成等差數(shù)列,求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)雙曲線(xiàn)的離心率為en,且,證明.

定值問(wèn)題、最值問(wèn)題、參數(shù)問(wèn)題、應(yīng)用題和探索性問(wèn)題等與圓錐曲線(xiàn)知識(shí)縱向聯(lián)系.圓錐曲線(xiàn)知識(shí)和三角、數(shù)列等代數(shù)知識(shí)相結(jié)合,屬于橫向聯(lián)系.解答這部分試題,需要較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力和圖形認(rèn)識(shí)能力,要能準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)與形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換和運(yùn)算,并在運(yùn)算過(guò)程中注意思維的嚴(yán)密性和結(jié)果的完整性.