江西省撫州市臨川區(qū)第十六中學(xué) (344100) 鄧在祥

1.引言

關(guān)于點(diǎn)到直線的距離公式，筆者曾經(jīng)看過如下推導(dǎo)方法.

問題已知直線l:Ax+By+C=0，點(diǎn)P在直線l外，求點(diǎn)P到直線l的距離.

圖1

解：設(shè)f(x,y)=Ax+By+C，則f(x,y)=

A(x-x0)+B(y-y0)+Ax0+By0+C=A(x-x0)+B(y-y0)+f(x0,y0).

如圖1，過P作PH⊥l于H.

①當(dāng)A,B均不為零時(shí)，

②當(dāng)A,B有且只有一個(gè)為零時(shí)，易驗(yàn)證公式(*)仍然成立.

這里，將直線方程中的x,y分別換成x-x0,y-y0，卻能使公式的推導(dǎo)過程大為簡化，不能不令人稱奇.受此啟發(fā)，筆者嘗試?yán)眠@種想法去解決其他一些相關(guān)問題，發(fā)現(xiàn)有不少問題也有類似的效果.值得一提的是，這種想法能方便解決解析幾何中許多“傳統(tǒng)問題”的拓廣形式.本文僅舉兩例說明.

2.中點(diǎn)弦問題的拓廣

在解析幾何中，凡是涉及到圓錐曲線弦的中點(diǎn)問題，都被稱為“中點(diǎn)弦問題”，如

這是一道典型的中點(diǎn)弦問題，常規(guī)的解法是“韋達(dá)定理法”和“點(diǎn)差法”.現(xiàn)將該問題拓廣為

拓廣后的問題即為圓錐曲線弦的定比分點(diǎn)問題.對于此類問題，如用問題1的解法求解就不靈便了.

3.對稱問題的拓廣

對稱問題是直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題中的一種典型問題，如

解決此類問題的基本方法也是韋達(dá)定理法和點(diǎn)差法.現(xiàn)將該問題拓廣為

圖2

下面是問題4的一種解法.

解：設(shè)PQ:y=-x+b，P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0)，則有f(x,y)=x2+2y2-2=(x-x0)2+2(y-y0)2+2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+f(x0,y0)，g(x,y)=x+y-b=(x-x0)+(y-y0)+g(x0,y0).

b-3(-3,2717)2717(-2717,3)3u'(b)-0+u(b)33↘-51↗-33