◇ 甘肅 何慧嫻

(作者單位:甘肅省甘谷縣第二中學(xué))

橢圓問題可以很好地考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,同時(shí),能考查考生的綜合思維能力,具有很好的選拔功能,因此在高考和其他各類考試中備受命題專家的青睞.本文擬通過歸類舉例的形式,具體說明“橢圓”的高頻考點(diǎn),旨在幫助同學(xué)們厘清常用解題思維,提高處理有關(guān)橢圓問題的能力.

1 考查與焦點(diǎn)有關(guān)的最值問題

處理橢圓中與“焦點(diǎn)”有關(guān)的最值問題時(shí),往往需要緊扣橢圓的“定義”和“圖形”,靈活分析.這類問題側(cè)重考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想在解題中的綜合運(yùn)用.

例1已知是橢圓內(nèi)的點(diǎn),M 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則|MA|＋|MB|的最大值是________.

圖1

如圖1 所示,易知點(diǎn)A 恰好為橢圓的右焦點(diǎn),設(shè)左焦點(diǎn)為F(－4,0),連接BF,由橢圓的定義知|MA|＋|MB|＝2a ＋|MB|－|MF|.又易知當(dāng)點(diǎn)M,B,F 在同一條直線上(且點(diǎn)M 在線段BF 的延長(zhǎng)線上),即點(diǎn)M 與點(diǎn)M′重合時(shí),|MB|－|MF|取得最大值,故|MA|＋|MB|的最大值是|M′A|＋|M′B|＝(|M′A|＋|M′F|)＋|FB|＝2×5＋2＝12.

2 考查求解橢圓的離心率

2)方程法:根據(jù)條件先得到關(guān)于a,b,c 的齊次等式,再結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c 的齊次式,然后將齊次式兩邊同除以a 或a2可轉(zhuǎn)化為關(guān)于e 或e2的等式,最后通過解方程即可求得e 的值.

例2橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2c,若直線與橢圓Γ 的一個(gè)交點(diǎn)M 滿足∠MF1F2＝2∠MF2F2,則該橢圓的離心率等于________.

3 考查 “設(shè)而不求”解題策略的應(yīng)用

直線與橢圓的最值、定值、定點(diǎn)問題是高頻考點(diǎn),需要運(yùn)用“設(shè)而不求”技巧以及相關(guān)解析幾何知識(shí)加以靈活求解,同時(shí),需要關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”“分類與整合”“等價(jià)轉(zhuǎn)化”等思想在解題中的靈活運(yùn)用.

例3從圓O:x2＋y2＝5上任意一點(diǎn)P 作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,試探究∠APB 的大小是否為定值.若是定值,求出這個(gè)定值;若不是請(qǐng)說明理由.

當(dāng)兩切線之一的斜率不存在時(shí),根據(jù)對(duì)稱性,設(shè)點(diǎn)P 在第一象限,則此時(shí)點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)為代入圓的方程得點(diǎn)P 的縱坐標(biāo)為此時(shí)兩條切線方程分別為

總之,關(guān)注“橢圓”的高頻考點(diǎn),有利于鞏固所學(xué)知識(shí)、方法在解題中的靈活運(yùn)用能力,有利于提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理等核心素養(yǎng).