嚴(yán)佳玲,鄭慧慧,張良云

(南京農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 210095)

量子Yang-Baxter方程是數(shù)學(xué)物理研究領(lǐng)域的重要方程之一,一直是眾多專家和學(xué)者所關(guān)注和研究的熱點(diǎn)課題. 同時(shí),由擬三角Hopf代數(shù)可以構(gòu)造量子Yang-Baxter方程,因此,量子Yang-Baxter方程在Hopf代數(shù)的發(fā)展中也起著至關(guān)重要的作用. 尋找Yang-Baxter方程的解是代數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)基本問題.

設(shè)X是一個(gè)集合,r:X×X→X×X,r(x,y)=(λx(y),ρy(x)),x,y∈X,其中λx,ρy均為定義在X上的映射,如果映射r滿足下列方程:

(r×id)(id×r)(r×id)=(id×r)(r×id)(id×r),

則稱(X,r)為Yang-Baxter方程的集合論解[1]. 如果對(duì)于任意x∈X,映射λx,ρx均為雙射,則稱集合論解(X,r)為非退化的;如果r2=idX×X,則稱集合論解(X,r)為對(duì)合的.

為了探索Yang-Baxter方程的非退化對(duì)合的集合論解,Rump首次在環(huán)論中引入了brace概念[1]. 作為Jacobson根環(huán)的一種推廣,brace為探索Yang-Baxter方程的解提供了非常有效的代數(shù)框架,它的優(yōu)點(diǎn)在于可以類似環(huán)論討論辮子方程.

自brace概念被提出之后,引起了眾多專家和學(xué)者的高度關(guān)注,并迅速得到推廣(見文獻(xiàn)[2-8]). 在文獻(xiàn)[9]中,Guarnieri和Vendramin首次引入了brace的推廣概念,即,斜brace. 近年來,為了尋找Yang-Baxter方程的非退化解,Angiono等[10]首次在Hopf代數(shù)上提出了Hopf brace概念,并指出每個(gè)Hopf brace可以構(gòu)造辮子方程的解. 最近,文獻(xiàn)[11]作者提出了Hopf cobrace概念,并給出了Hopf cobrace、辮子方程和雙交叉余積之間的關(guān)系等.

為了研究斜brace中兩個(gè)群運(yùn)算法則的起源,Brzeziński在文獻(xiàn)[4]中將斜brace進(jìn)行推廣,首次在Hopf代數(shù)上提出了Hopf truss概念,并給出了Hopf truss的等價(jià)刻畫.

正是基于上述分析和考慮,本文引入了Hopf cotruss概念,給出了Hopf cotruss的性質(zhì)和等價(jià)刻畫,并建立了Hopf cotruss與Hopf cobrace之間的聯(lián)系等.

在本文中,我們所考慮的對(duì)象均是域k上的向量空間. 求和記號(hào)“∑”均省略,如,在余代數(shù)C中,使用Δ(x)=x1?x2,x∈C表示余代數(shù)C的余乘法結(jié)構(gòu);在余模M中,使用ρ(m)=m(-1)?m(0),m∈M表示余模M的余作用結(jié)構(gòu),等等.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)(A,Δ,ε)是一個(gè)余代數(shù),在A上存在二元運(yùn)算◇使得(A,Δ,ε)是一個(gè)Hopf代數(shù)(單位元記作1◇,對(duì)極映射記為S),在A上存在二元運(yùn)算°使得(A,Δ,ε)是一個(gè)雙代數(shù)(單位元記作1°). 如果在(A,Δ,ε)上存在一個(gè)余代數(shù)自同態(tài)σ,使得對(duì)任意a,b,c∈A,有

a°(b◇c)=(a1°b)◇S(σ(a2))◇(a3°c),

(1)

則稱A是一個(gè)左Hopf truss[4].

定義2設(shè)(A,m,1)是一個(gè)代數(shù),如果下列條件成立:

(1)(A,m,1,Δ,ε,S)是一個(gè)Hopf代數(shù).

(2)(A,m,1,Δ′,ε,T)是一個(gè)Hopf代數(shù).

(3)對(duì)任意a∈A,下面兼容條件滿足:

a1′?a2′1?a2′2=a11′S(a2)a31′?a12′?a32′,

(2)

則稱(A,m,1)是一個(gè)Hopf cobrace[11],這里Δ(a)=a1?a2,Δ′(a)=a1′?a2′. 以下簡記這個(gè)Hopf cobrace 為(A,Δ,Δ′).

定義3設(shè)H和A均是Hopf代數(shù),假設(shè)A是一個(gè)左H-余模余代數(shù). 如果存在一個(gè)代數(shù)同構(gòu)π:A→H,使得對(duì)任意a∈A,有

π(a)1?π(a)2=π(a1)a2(-1)?π(a2(0)),

(3)

則稱代數(shù)同構(gòu)π是一個(gè)雙射1-余循環(huán)[11].

2 主要結(jié)果

定義4設(shè)(A,m,1,Δ,εΔ,S)是一個(gè)Hopf代數(shù),(A,m,1,Δ′,εΔ′)是一個(gè)雙代數(shù). 如果在(A,m,1)上存在一個(gè)代數(shù)自同態(tài)σ,使得對(duì)任意a∈A,有

a1′?a2′1?a2′2=a11′σ(S(a2))a31′?a12′?a32′,

(4)

則稱A是一個(gè)(左)Hopf cotruss,記作(A,Δ,Δ′,σ).

注1(1)以下稱定義4中的代數(shù)映射σ為Hopf cotruss (A,Δ,Δ′,σ)的一個(gè)余循環(huán).

(2)在定義4中,如果(A,m,1,Δ′,εΔ′)是一個(gè)Hopf代數(shù),且σ=id,則Hopf cotruss (A,Δ,Δ′,σ)恰好是一個(gè)Hopf cobrace.

在Hopf cotruss(A,Δ,Δ′,σ)中,余循環(huán)σ由余乘法Δ′和余單位εΔ′確定.

引理1設(shè)(A,Δ,Δ′,σ)是一個(gè)Hopf cotruss,則對(duì)任意a∈A,有

σ(a)=a1′εΔ(a2′).

(5)

因此,εΔ′σ=εΔ且σ是左(A,Δ′)-余線性的,即Δ′σ=(id?σ)Δ′.

證明對(duì)(4)式兩邊同時(shí)作用id?εΔ?εΔ,得出

a1′εΔ′(a2′)=a11′σ(S(a2))a31′εΔ(a12′)εΔ(a32′).

設(shè)τ(a)=a1′εΔ(a2′),則根據(jù)上述等式可得,τ(a)=τ(a1)σ(S(a2))τ(a3). 由于(A,Δ′)是一個(gè)雙代數(shù),所以τ是A上的一個(gè)代數(shù)自同態(tài),故對(duì)任意a∈A,有

σ(a)=τ(a1)τ(S(a4))σ(a5)=τ(a11)σ(S(a12))τ(a13)τ(S(a4))σ(a5)=

τ(a1)σ(S(a2))τ(a3)τ(S(a4))σ(a5)=τ(a1)σ(S(a2))σ(a3)=τ(a).

因此,(5)式得證.

由Hopf cotruss的定義,可以直接得出以下性質(zhì).

引理2設(shè)(A,Δ,Δ′,σ)是一個(gè)Hopf cotruss,則對(duì)任意a∈A,有

a1′?S(a2′1)?a2′2=σ(a1)S(a2)1′a31′?S(a2)2′?a32′,

(6)

a1′?a2′1?S(a2′2)=a11′S(a2)1′σ(a3)?a12′?S(a2)2′.

(7)

證明對(duì)于任意a∈A,可證

σ(a1)S(a2)1′a31′?S(a2)2′?a32′=

σ(a1)S(a2)1′a31′?S(a2)2′a32′1S(a32′2)?a32′3=

σ(a1)(S(a2)a3)1′σ(S(a4))a51′?(S(a2)a3)2′S(a52′1)?a52′2=

σ(a1)σ(S(a2))a31′?S(a32′1)?a32′2=

σ(a1S(a2))a31′σ(S(a4))a51′?S(a32′)?a52′=

a11′σ(S(a2))a31′?S(a12′)?a32′=

a1′?S(a2′1)?a2′2,

a11′S(a2)1′σ(a3)?a12′?S(a2)2′=a11′S(a2)1′a31′εΔ(a32′)?a12′?S(a2)2′=

a11′S(a2)1′a31′?a12′?S(a2)2′a32′1S(a32′2)=

a11′(S(a2)a3)1′σ(S(a4))a51′?a12′?(S(a2)a3)2′S(a52′)=

a11′σ(S(a2))a31′?a12′?S(a32′)=a1′?a2′1?S(a2′2).

由引理1與引理2,可以證明Hopf cotruss具有下列的等價(jià)刻畫.

定理1設(shè)(A,m,1)是一個(gè)代數(shù),分別使得(A,m,1,Δ,εΔ,S)是一個(gè)Hopf代數(shù),(A,m,1,Δ′,εΔ′)是一個(gè)雙代數(shù),則下列等價(jià).

(1)存在一個(gè)代數(shù)自同態(tài)σ:A→A,使得(A,Δ,Δ′,σ)是一個(gè)Hopf cotruss.

(2)存在一個(gè)線性同態(tài)λ:A→A?A,λ(a)=a1?a2,使得對(duì)任意a∈A,有

a1′?a2′1?a2′2=a11′(a2)1?a12′?(a2)2.

(8)

(3)存在一個(gè)線性同態(tài)μ:A→A?A,μ(a)=a1′?a2′,使得對(duì)任意a∈A,有

a1′?a2′1?a2′2=(a1)1′a21′?(a1)2′a22′.

(9)

(4)存在兩個(gè)線性同態(tài)ξ,ζ:A→A?A,ξ(a)=aα?aβ,ζ(a)=aα′?aβ′,其中ξ,ζ至少有一個(gè)是代數(shù)映射,使得對(duì)任意a∈A,有

a1′?a2′1?a2′2=(a1)α(a2)α′?(a1)β?(a2)β′.

(10)

(5)定義一個(gè)線性映射θ:A→A?A?A,θ(a)=a1?S(a2)?a3,則對(duì)任意a∈A,有

a1′?θ(a2′)=a11′S(a2)1′a31′?a12′?S(a2)2′?a32′.

(11)

證明(1)?(2),(3)及(4):設(shè)(A,Δ,Δ′,σ)是一個(gè)Hopf cotruss,定義

λ(a)=σ(S(a1))a21′?a22′,

μ(a)=a11′σ(S(a2))?a12′,

ξ(a)=Δ′(a),

ζ(a)=σ(S(a1))a21′?a22′,

對(duì)任意a∈A,則根據(jù)Δ的余結(jié)合性,可由(4)式推出(8),(9)及(10). 此外,由于余乘法Δ′是一個(gè)代數(shù)映射,所以ξ也是一個(gè)代數(shù)映射.

(2)?(1):定義一個(gè)代數(shù)自同態(tài)σ:A?A,σ(a)=a1′εΔ(a2′). 顯然,σ是一個(gè)代數(shù)映射. 下面證明等式(4)成立.

將id?εΔ?id作用在等式(8)上,可得

a1′?a2′=σ(a1)(a2)1?(a2)2.

(12)

于是

a1′?a2′1?a2′2=a11′(a2)1?a12′?(a2)2=a11′σ(S(a2)a3)(a4)1?a12′?(a4)2=

a11′σ(S(a2))σ(a3)(a4)1?a12′?(a4)2=a11′σ(S(a2))a31′?a12′?a32′,

因此,(A,Δ,Δ′,σ)是一個(gè)Hopf cotruss.

(3)?(1):同理可證.

(4)?(2)或(3):假設(shè)ζ是一個(gè)代數(shù)映射,定義τ:A?A,τ(a)=aα′εΔ(aβ′). 易證:τ是一個(gè)代數(shù)映射. 將id?id?εΔ作用在等式(10)上,可得

a1′?a2′=(a1)ατ(a2)?(a1)β.

(13)

于是

a1′?a2′1?a2′2=(a1)α(a2)α′?(a1)β?(a2)β′=

(a1)ατ(a2S(a3))(a4)α′?(a1)β?(a4)β′(A,ρ1)=

a11′τ(S(a2))(a3)α′?a12′?(a3)β′.

根據(jù)上面的討論,存在一個(gè)線性映射λ:A?A?A,λ(a)=τ(S(a1))(a2)α′?(a2)β′,使得(8)式成立.

假設(shè)ξ是一個(gè)代數(shù)映射,易證:映射τ(定義為τ(a)=aαεΔ(aβ))是A上的一個(gè)代數(shù)自同態(tài). 故類似上述方法可證:式(9)成立.

(1)?(5):定義映射θ:A→A?A?A,θ(a)=a1?S(a2)?a3,則對(duì)任意a∈A,有

a1′?θ(a2′)=a1′?a2′1?S(a2′2)?a2′3=

a11′σ(S(a2))a31′?a12′?S(a32′1)?a32′2=

a11′σ(S(a2))σ(a3)S(a4)1′a51′?a12′?S(a4)2′?a52′=

a11′σ(S(a2)a3)S(a4)1′a51′?a12′?S(a4)2′?a52′=

a11′S(a2)1′a31′?a12′?S(a2)2′?a32′.

(5)?(1):定義一個(gè)線性自同態(tài)σ:A→A,σ(a)=a1′εΔ(a2′). 顯然,σ是一個(gè)代數(shù)映射. 將id?id?εΔ?id作用在等式(11)上,可得(4)式.

命題1設(shè)(A,Δ,Δ′,σ)是一個(gè)Hopf cotruss,則A具有如下兩個(gè)左(A,Δ′,εΔ′)-余模余代數(shù):

ρ1:A→A?A,ρ1(a)=σ(S(a1))a21′?a22′,

(14)

ρ2:A→A?A,ρ2(a)=a11′σ(S(a2))?a12′.

(15)

證明只需證明(A,ρ1)是一個(gè)左(A,Δ′,εΔ′)-余模余代數(shù). 同理可證:(A,ρ2)也是一個(gè)左(A,Δ′,εΔ′)-余模余代數(shù). 事實(shí)上,對(duì)任意a∈A,由引理1與引理2,可得

a(-1)?a(0)(-1)?a(0)(0)=σ(S(a1))a21′?σ(S(a22′1))a22′21′?a22′22′=

σ(S(a1))σ(a2)S(a3)1′a41′?σ(S(a3)2′)a42′?a43′=

S(a1)1′a21′?σ(S(a1)2′)a22′?a23′=

σ(S(a1))1′a21′?σ(S(a1))2′a22′?a23′=Δ′(a(-1))?a(0),

εΔ′(a(-1))a(0)=εΔ′(σ(S(a1))a21′)a22′=εΔ′σ(S(a1))a2=εΔ(a1)a2=a,

因此,(A,ρ1)是一個(gè)左(A,Δ′,εΔ′)-余模. 另外

a(-1)?Δ(a(0))=σ(S(a1))a21′?a22′1?a22′2=

σ(S(a1))a21′σ(S(a3))a41′?a22′?a42′=

σ(S(a1))a21′εΔ(a22′)=σ(S(a1))σ(a2)=εΔ(a)1A,

因此,(A,ρ1)是一個(gè)左(A,Δ′,εΔ′)-余模余代數(shù).

由如下命題知,一個(gè)Hopf cotruss可以產(chǎn)生一族Hopf cotruss.

命題2設(shè)(A,Δ,Δ′,σ)是一個(gè)Hopf cotruss. 在A上定義一個(gè)新的余乘法Δn:對(duì)任意n∈N,

Δn(a)≡a1n?a2n=a1εΔ(σn(S(a2)))?a3,

則(A,Δn,εΔn≡εΔσn)是一個(gè)Hopf代數(shù),對(duì)極映射為

Sn(a)≡εΔ(σn(a1))S(a2)εΔ(σn(a3)).

另外,(A,Δn,Δ′,σn+1)是一個(gè)Hopf cotruss.

證明因?yàn)棣沂且粋€(gè)代數(shù)映射,(A,m,Δ)是一個(gè)Hopf代數(shù),易證:(A,m,Δn,εΔn,Sn)是一個(gè)Hopf代數(shù).

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法,由(5)式:σ(a)=a1′εΔ(a2′),a∈A,可以證明σn+1(a)=a1′εΔσn(a2′).

下面,證明(A,Δn,Δ′,σn+1)是一個(gè)Hopf cotruss. 事實(shí)上,顯然,σn+1是一個(gè)代數(shù)映射,又對(duì)任意a∈A,

a11′σ(S(a2))a31′?a12′εΔ(σn(S(a32′1)))?a32′2=

a11′σ(S(a2))σ(a3)S(a4)1′a51′?a12′εΔ(σn(S(a4)2′))?a52′=

a11′σ(S(a2))σ(a3)σn+1(S(a4))a51′?a12′?a52′=a11′σn+1(S(a2))a31′?a12′?a32′,

a1n1′σn+1(Sn(a2n))a3n1′?a1n2′?a3n2″=

a11′εΔ(σn(S(a2)))σn+1(Sn(a3))εΔ(σn(S(a4)))a51′?a12′?a52′=

a11′εΔ(σn(S(a2)))σn+1(S(a4))εΔ(σn(a3))εΔ(σn(a5))εΔ(σn(S(a6)))a71′?a12′?a72′=

a11′σn+1(S(a2))a31′?a12′?a32′,

因此,對(duì)任意a∈A,

故(A,Δn,Δ′,σn+1)是一個(gè)Hopf cotruss.

下面建立Hopf cotruss和Hopf cobrace之間的聯(lián)系.

設(shè)(A,Δ,Δ′,σ)是一個(gè)Hopf cotruss. 若(A,m,1,Δ′,εΔ′,T)是一個(gè)Hopf代數(shù),則σ是一個(gè)雙射,其逆為

σ-1(a)=a1′εΔ(T(a2′)),a∈A.

命題3設(shè)(A,Δ,Δ′,σ)是一個(gè)Hopf cotruss. 如果(A,m,1,Δ′,εΔ′,T)是一個(gè)Hopf代數(shù),其對(duì)極映射為T,則(A,Δ′,Δ″)是一個(gè)Hopf cobrace.

這里Δ″定義為:對(duì)任意a∈A,

Δ″(a)≡σ-1(a1′)?a2′=a1′εΔ(T(a2′))?a3′.

證明由引理1,命題1,可證

σ(a1)a2(-1)?σ(a2(0))=σ(a1)σ(S(a2))a31′?σ(a32′)=a1′?σ(a)2′=σ(a)1′?σ(a)2′,

因此,由上面的討論以及定義3知,σ是一個(gè)雙射1-余循環(huán).

又由于σ是左(A,Δ′)-余線性的,所以

σ-1(σ(a)1′)?σ-1(σ(a)2′)=σ-1(a1′)?a2′=a1′εΔ(T(a2′))?a3′=Δ″(a),

故由文獻(xiàn)[11]中的定理2.12的證明知,(A,Δ,Δ″)是一個(gè)Hopf cobrace.