楊 儀,陳小龍,周杰琳

(1.重慶三峽學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院,重慶 404100) (2.重慶三峽學(xué)院智能信息處理與控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 404100) (3.重慶交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400074)

自20世紀(jì)40年代以來,由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在聯(lián)想記憶、優(yōu)化、模式識(shí)別、故障診斷和信號(hào)處理等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,很多專家和學(xué)者對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性、穩(wěn)定性等問題做了深入的研究. 近幾十年來,實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RVNNs)和復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CVNNs)更是被應(yīng)用于并行計(jì)算、組合優(yōu)化和量子通信等前沿領(lǐng)域[1-5]. 然而,對于高維數(shù)據(jù),如四維信號(hào)、人體圖像等,RVNNs和CVNNs卻無法處理,因此提出并研究四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(QVNNs)具有重要的意義[6-10].

盡管QVNNs也可以化為RVNNs和CVNNs,但是這種方法的處理效果并不理想,其一,模型維數(shù)的增加使得計(jì)算變復(fù)雜;其二,由于原數(shù)據(jù)的信號(hào)攜帶了振幅、相位等信息,用多個(gè)實(shí)值或復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理得出的結(jié)果,可能會(huì)丟失信號(hào)所攜帶的一些信息,而QVNNs在處理多維信號(hào)時(shí),卻可以避免RVNNs和CVNNs的局限性.

1990年,Pecora等對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性做了開創(chuàng)性研究[11],2004年,文獻(xiàn)[12]研究了時(shí)滯耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性. 2016年,文獻(xiàn)[13]研究了不含有時(shí)滯的CVNNs的全局同步性. 2018 年,文獻(xiàn)[14]考慮了具有3種時(shí)滯(離散時(shí)滯、泄露時(shí)滯和分布時(shí)滯)的脈沖CVNNs的同步性問題.

這些工作在同步性研究中,得到了一些較好的結(jié)果,但是對四元數(shù)同步性的研究卻很少. 對于具有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的QVNNs全局同步性研究才處于開始階段. 在文獻(xiàn)[13]中,作者要求模型的激活函數(shù)能分離為實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù). 這種方法會(huì)成倍地增加維數(shù),從而導(dǎo)致計(jì)算上的困難. 文獻(xiàn)[14]中,作者將激活函數(shù)看做一個(gè)整體來研究系統(tǒng)的同步性,但是只適用于復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò). 于是在此基礎(chǔ)上,我們提出了一類具有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,在研究過程中將激活函數(shù)看作一個(gè)整體,以此方法來研究系統(tǒng)的全局同步性.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 四元數(shù)基本知識(shí)

四元數(shù),可以寫成以下形式:

q=q0+q1i+q2j+q3k∈H,

式中,q0,q1,q2,q3為實(shí)系數(shù),且包含一個(gè)實(shí)部(用R(q)=q0表示)和3個(gè)虛部(用J(q)=q1i+q2j+q3k表示). 虛數(shù)單位i,j,k遵循以下原則:

對于四元數(shù)q=q0+q1i+q2j+q3k∈H和p=p0+p1i+p2j+p3k∈H,滿足

①加法:p+q=(p0+q0)+(p1+q1)i+(p2+q2)j+(p3+q3)k;

②乘法:pq=(p0q0-p1q1-p2q2-p3q3)+(p0q1+p1q0+p2q3-p3q2)i+(p0q2+p2q0-p1q3+p3q1)j+(p0q3+p3q0+p1q2-p2q1)k;

③q的共軛q*:q*=q0-q1i-q2j-q3k;

對于四元數(shù)矩陣A∈Hn×n和B∈Hn×n,有

①(AB)*=B*A*;

②若AB=BA=I,則稱矩陣A是可逆的;

③若A*=A,則稱矩陣A是Hermitian矩陣;

④對于Hermitian矩陣A∈Hn×n,如果對于所有非零向量x∈Hn有x*Ax>0,那么稱矩陣A是正定的;

1.2 模型描述及基本引理

本文考慮如下具有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的QVNNs模型:

(1)

模型(1)的初始條件為:q(s)=φ(s),s∈[-θ,0].φ(s)為[-θ,0]上的向量函數(shù),有界且連續(xù).

令模型(1)為驅(qū)動(dòng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),則響應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如下:

(2)

模型(2)的初始條件m(s)=ψ(s),s∈[-θ,0],ψ(s)為[-θ,0]上的向量函數(shù)，有界且連續(xù).

令e(t)=q(t)-m(t),f(e(t))=g(q(t))-g(m(t)),控制器u(t)=K1e(t)+K2e(t-τ),其中Ki∈Rn×n為對角矩陣. 從而誤差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為:

(3)

初始條件為:

e(s)=φ(s)=φ(s)-ψ(s),s∈[-θ,0].

本文結(jié)論滿足以下假設(shè):

(H1)激勵(lì)函數(shù)fj(·)是連續(xù)的,并且對任意α1,α2∈H,j=1,2,…n,

|fj(α1)-fj(α2)|≤ηj|α1-α2|,

式中,ηj為常數(shù),定義Γ=diag(η1,η2,…ηn).

定義1[15]如果誤差四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(3)是全局穩(wěn)定的,那么就說驅(qū)動(dòng)四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)和響應(yīng)四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(2)是全局同步的.

定義2[13]對于模型(3)的任意解e(t)=(e1(t),e2(t),…en(t)),如果存在常數(shù)M>0,使得

成立,那么就說四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(3)是全局穩(wěn)定的.

引理1[13]對任意常數(shù)矩陣W∈Hn×n,W>0和向量函數(shù)ω:[a,b]→Hn,a

2 主要結(jié)果

定理在H1成立的條件下,若存在正定Hermitian矩陣P1,P2,P3,R∈Hn×n,正定對角矩陣Q∈Rn×n和矩陣N1,N2,N3∈Hn×n,使得下式成立

(4)

式中

則四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(1)和四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(2)是全局同步的.

注:本文中“*”是表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置.

證明構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函:

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t),

式中

沿著誤差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(3)求導(dǎo),應(yīng)用引理1得出

(5)

D+V2(t)=e*(t)Re(t)-e*(t-τ)Re(t-τ).

(6)

D+V3(t)=f*(e(t))P2f(e(t))-f*(e(t-τ))P2f(e(t-τ)).

(7)

(8)

將式(5)、(6)、(7)和(8)相加可得

(9)

由假設(shè)(H1)有

f*(e(t))Qf(e(t))-e*(t)Γ*QΓe(t)≤0.

(10)

且由式(3)得到

(11)

將不等式(9),(10)和等式(11)相加得

D+V(t)≤π*(t)Ωπ(t),

(12)

式中

故根據(jù)式(4)和(12)得

D+V(t)≤0,t≥0.

(13)

故V(t)在t≥0上為單調(diào)非增函數(shù),于是有

(14)

式中

M1=‖P1‖+τ‖R‖+τ‖P2‖+τ3‖P3‖.

由于

V(t)≥V1(t)≥λmin(P1)‖e(t)‖2,

(15)

則

(16)

即

(17)

式中

由定義1和定義2,我們知道模型(3)是全局穩(wěn)定的,所以模型(1)和模型(2)是全局同步的. 至此,定理證畢.

如果在不考慮分布時(shí)滯對系統(tǒng)的影響條件下,則模型(1)可表示為

(18)

響應(yīng)模型表示為:

(19)

式中,控制器u(t)=-K1e(t).于是由驅(qū)動(dòng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(18)和響應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(19)可得誤差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

(20)

相應(yīng)初始條件與前面模型一致,由前面定理,可以得到如下推論.

推論在(H1)成立的條件下,若存在正定Hermitian矩陣P1,P2,P3,R∈Hn×n,正定對角矩陣Q∈Rn×n和矩陣N1,N2∈Hn×n,使得不等式

(21)

成立,其中

則四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(18)和(19)是全局同步的. 對比文獻(xiàn)[13]和[14],本文在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中引入離散時(shí)滯和分布時(shí)滯并且將復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究方法推廣到四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),改進(jìn)了以上文獻(xiàn)的工作.

3 結(jié)論

本文研究了一類具有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的QVNNs的同步性問題. 通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù),運(yùn)用了不等式技巧和自由權(quán)矩陣方法,得到了誤差模型的全局穩(wěn)定性,從而就能得到驅(qū)動(dòng)模型和響應(yīng)模型是全局同步的,并得到了判定四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局同步性的不等式判斷依據(jù)和相關(guān)推論.