浙江省義烏市實驗小學教育集團 楊凱明

算法和算理是數(shù)學教學中相輔相成的兩個部分，算理的主要表現(xiàn)方式包括以下四種：運算的意義、十進制與位置值思想、運算的性質(zhì)和定律以及運算之間的互逆關(guān)系。下面以北師大版小學數(shù)學一年級上冊第七單元《加與減》中有關(guān)于“20以內(nèi)進位加法”這一教學內(nèi)容為例展開具體的探究。

一、“理解算理”的測試維度與樣例說明

教師可以通過各種數(shù)學計算題型的應(yīng)用，進一步了解學生的解題思路，并根據(jù)學生對于算法理解水平的不同，可以從“算理表述的正確性、算理表征的層次性、算理遷移的通用性”這三個方面對學生的算理理解展開測評。

1.“算理表述的正確性”檢測樣例與水平劃分。算法表述正確性更多地體現(xiàn)在圖示的一致性方面，教師要使學生基于算法算理選擇圖示，達到檢測學生算法算理一致性的目的?！?0以內(nèi)進位加法”其中涉及的算法主要是通過框架的方式將算法的整個過程呈現(xiàn)出來的，但是算理確實更多地依賴于直觀圖示，或者運用文字的方式將背后所蘊含的道理展示出來。例如，在8+9這道習題的運算中，主要可以以兩種拆分湊十的方式來實現(xiàn)，教師要引導學生對于湊十法背后的十進制原理進行更深的理解。

以8+9 這一運算習題為例，通過該道習題可以將學生對算法的理解水平分出一定的層次，具體內(nèi)容如下所示：

對于這道習題而言，主要可以將學生的算理理解水平分為三個層次：層次一：學生空著沒有做這道習題；層次二：學生選擇B選項，具有一定的根據(jù)框架式湊十的意識；層次三：學生選擇A選項，則代表學生能夠正確理解框架式和點子圖。

2.“算理表征的層次性”檢測樣例與水平劃分。算理表征的層次化即采用不同種類的物化材料，實現(xiàn)學生算理表征的檢測，包括文字、圖形。一般而言，算理表征的差異性，也直接反映出學生對于算理的理解水平。

以9+4這道計算題為例，學生展開算理表征檢測，根據(jù)9+4的計算過程，通過畫一畫、圈一圈的方式，將自身的解題思路充分展開出來。在這一過程中，教師可以引導學生將自己的計算過程展現(xiàn)出來，還原算式，達到逆向、順向監(jiān)測的目的，從而劃分學生對于湊十法原理的理解水平。

順向檢測試題算理表征層次劃分如下所示：

層次一：學生空著沒有畫，或者是個數(shù)畫錯；層次二：學生畫出了實物圖，比如說氣球、花朵等等；層次三：學生畫出了點子圖、小棒圖。

逆向檢測試題算理表征層次劃分如下所示：

層次一：學生沒有作答，或者作答出現(xiàn)錯誤；層次二：學生選擇的答案為①②④⑥；層次三：學生選擇的答案為①②④⑥⑦。

3.“算理遷移的通用性”檢測樣例與水平劃分。算理遷移的通用性，即借助未學先試加以考查檢測的，所考查的內(nèi)容為學生是否具備將算理遷移到之后數(shù)學內(nèi)容的學習和理解中，幫助教師更加準確地掌握學生對知識點的理解程度?！?0以內(nèi)進位加法”教學之后的下一章節(jié)內(nèi)容是“兩位數(shù)加一位數(shù)的進位算法”，這兩個知識點的算理都為十進制，因此教師在實際算理遷移通用性的檢測中，可以模仿9+4這道習題展開改變，例如：將19+4這道習題的計算過程通過畫一畫、圈一圈的方式表達出來，從而實現(xiàn)學生算法遷移通用型水平的考查。

19+4這道習題算理遷移通用性水平劃分如下所示：

層次一：學生空著沒畫，或者是畫錯；層次二：學生正確畫出了實物圖；層次三：學生繪制了點子圖、小棒圖，展現(xiàn)出了十進制位值制算法原理。

二、“20以內(nèi)進位加法”理解算理水平區(qū)域調(diào)查分析

通過對近1200名小學生的“20以內(nèi)進位加法”理解算理水平區(qū)域調(diào)查，筆者總結(jié)出來學生的算理能力水平特點如下：其一，算理表征表述的正確性總體相對較差，且城鄉(xiāng)學生差距較低；其二，算理表征層次性的總體水平相對較低，其中順向表征能力高于逆向能力；最后，算理遷移通用性與算理表征層次性緊密相關(guān)。

1.算理表征的層次性不明顯，材料缺乏結(jié)構(gòu)性。根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計調(diào)查顯示，針對算理表征物化手段而言，選擇蘋果、花朵等實物圖的學生占60%左右，而選擇點子圖的學生則占了30%，選擇小棒圖的學生只有5%左右。此外，還有5%左右的學生采用的是文字、算式的方式完成。其中一所農(nóng)村小學的所有學生都采用了蘋果來完成算法表征的物化。

算理表征物化材料包括點子圖、小棒圖以及實物圖，而其中點子圖和小棒圖、實物圖歸類于齊性材料，計數(shù)器、數(shù)位筒則歸類于結(jié)構(gòu)性材料。實際的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，在“20以內(nèi)進位加法”這一內(nèi)容的教學過程中，教師更多采用整齊性材料，表征方式呈現(xiàn)單一化的特點。此時，教師應(yīng)該加以適當?shù)恼{(diào)整和改善，即選擇結(jié)構(gòu)性的材料，使學生對于十進制位值制能夠有更早一點的認識。

最后，教師也需要注意算理的表征，除了要注重層次性，也應(yīng)該重視逆向、順向表征的融會貫通，促進學生對于算理更深層次的理解。

2.算理點狀教學，導致算理遷移的通用性水平較低?！?0以內(nèi)進位加法”所涵蓋的關(guān)鍵算理為十進制位值制，也正是基于這一算理之上，才誕生了湊十法。對于9+4這道計算題的表征算理的過程，更多的學生僅僅只是通過點數(shù)計算出結(jié)構(gòu)，或者是直接基于運算意義的角度之上繪制出9+4的含義，卻沒有體現(xiàn)十進制思想，直接造成該部分內(nèi)容的教學中十進制思想教學的缺失，進而導致在計算19+4這道計算題中，學生也沒有意識到圈十的含義和重要性。分析學生的畫畫作品可以看出，很多教師在教學中沒有意識到整體性思想的重要性，算理的點狀教學是導致算理遷移的通用性水平低的主要原因。

“20以內(nèi)進位加法”這一部分數(shù)學內(nèi)容的教學過程中，盡管教學重點不是位值制思想，但是位值制思想在教學過程中的滲透對于學生今后的數(shù)學學習具有重要的作用和意義。在實際教學中，教師主要可以通過直觀圖、計數(shù)器這種簡單的方式直接滲透位值制思想即可。

在小學數(shù)學教學以及對學生測評中，教師需要將算理作為主要的教學內(nèi)容，加深學生對算理的理解，并通過算理表述的正確性、層次性以及遷移性三個方面的策略，使學生對算理的理解更為顯性，這對于學生數(shù)學運算能力的提高而言有較大的幫助。