馬詠梅， 盧翔宇，馬傳鑫，項章特，吳 昊，張 弦

(1.四川大學制造科學與工程學院，四川 成都 610065；2.四川日機密封件股份有限公司，四川 成都 610045；3.中國核動力研究設計院 核反應堆系統(tǒng)設計技術重點實驗室，四川 成都 610213)

符 號 說 明

φ——子午線法線方向與對稱軸之間的夾角，rad

a——環(huán)殼上某一點的截面半徑，mm

r——環(huán)殼上某一點到軸線的距離，mm

ω——波紋膜片上某一點的法向位移，mm

ν——波紋膜片上某一點的切向位移，mm

εφ——軸向應變

εθ——周向應變

εφ′——軸向應變率

εθ′——周向應變率

εe——彈性應變

εc——蠕變應變

δe′——波紋膜片彈性變形率

δc′——波紋膜片蠕變變形率

εij——波紋膜片內一點的應力張量

Sij——波紋膜片內一點的應力偏張量

εij′——空間蠕變率張量

σ——等效應力，MPa

Sx——軸向應力偏張量

Sy——周向應力偏張量

F——波紋管彈力，N

焊接金屬波紋管在機械密封中有著廣泛的應用，其主要部件波紋膜片由薄板沖制而成。波紋膜片具有3段圓弧，不同膜片之間沿金屬管內外邊緣兩兩相切交替焊接在金屬管上。焊接金屬波紋管及波紋膜片焊接形式見圖1。

圖1 焊接金屬波紋管及波紋膜片焊接形式示圖

焊接金屬波紋管會隨著使用時間的延續(xù)而失彈，即彈性慢慢減小，這會引起焊接金屬波紋管密封端面摩擦副之間閉合力的減小，嚴重時還會使密封失效，影響波紋管工作的可靠性，失彈因此成為波紋管研究的重要方向之一。WV Adams[1]研究了熱油泵在高溫下的密封失效，邱智杰[2]采用試驗的方法研究了溫度、載荷等因素對波紋管失彈的影響，文獻[3-5]根據(jù)金屬的蠕變理論對材料的應力松弛特性進行了研究，文獻[6-7]用正交異形板理論近似推導出了焊接金屬波紋管的失彈公式。這些研究存在的不足之處主要是，①未對焊接波紋管在工況下進行失彈試驗。②采用正交異形板理論對波紋膜片方程作近似處理，未真實反映膜片結構與內力素間的本構關系。③運用正交異形板理論計算出的波紋管彈力值不夠準確。

文中依據(jù)彈性薄殼理論，結合材料的應力松弛理論，導出了機械密封用焊接金屬波紋管在實際工況下的失彈方程，采用薄殼理論解決了使用近似理論所得出計算結果不準確問題，得到了焊接金屬波紋管的失彈曲線，并將有限元分析與理論計算結果進行對比，對基于薄殼理論建立的失彈方程進行了驗證。

1 焊接金屬波紋管失彈方程推導

1.1 薄殼理論中的應變位移關系[8-9]

根據(jù)薄殼理論建立環(huán)殼坐標尺寸，見圖2。圖2中，O為圓心，設點P為環(huán)殼上任意一點，點P到軸線的距離為r，P′為變形后P的位置，環(huán)殼的截面半徑為a，整體半徑為R，環(huán)殼上任意點P處的外法線和軸線的夾角為φ。

圖2 環(huán)殼坐標尺寸

建立環(huán)殼的位移轉角變形見圖3。圖3中，x為變形轉角，y和z分別是點P的軸向位移和徑向位移，ω和ν分別是點P的法向和切向位移，χ是點P的變形轉角。

圖3 環(huán)殼位移轉角變形

殼體中的應變位移關系為：

(1)

(2)

由式(1)～式(2)得到殼體法向位移ω與應變εφ、εθ及角度φ之間的關系式：

(3)

式中的常數(shù)C由初始狀態(tài)下的邊界條件求出。

1.2 波紋管受力變形分析

假設波紋管壓縮總變形為δ，彈性變形為δe，塑性變形為δp，蠕變變形為δc，則有：

δ=δe+δp+δc

(4)

假設工況中總壓縮變形δ保持不變，在總壓縮變形固定后，膜片不再產生塑性變形。將式(4)對時間t求導得：

δe′+δc′=0

(5)

(6)

將式(3)帶入式(6)，得到：

(7)

式中，εφ′與εθ′都是關于初始應力、工作溫度及時間的函數(shù)。

1.3 空間中的蠕變變形[10-12]

根據(jù)彈性力學，膜片體內一點應力狀態(tài)可用9個應力分量表示如下：

(8)

膜片受力中，δx、δy、δz分別為軸向應力、周向應力與剪力。由式(8)得到應力偏張量：

(9)

空間蠕變率張量：

(10)

(11)

(12)

1.4 波紋管失彈方程[13]

將式(11)、式(12)帶入式(7)，可將彈力F表示如下：

(13)

式中，F(xiàn)0為初始彈力，N。薄殼理論中δx、δy、δz、r均為角度φ的函數(shù)，對于給定圓弧的結構尺寸，可精確計算出系數(shù)P關于角度φ的數(shù)值解。

2 焊接金屬波紋管失彈方程求解

2.1 確定膜片材料應力松弛參數(shù)

波紋管膜片材料應力松弛指膜片材料的應變保持不變情況下應力隨時間的延續(xù)而減小的現(xiàn)象。一般認為，高溫下材料的應力松弛與蠕變現(xiàn)象本質相同。根據(jù)材料應力松弛理論，膜片總應變ε0保持不變，彈性應變εe逐漸轉變?yōu)槿渥儜儲與，這種關系用計算式表達為：

ε0=εe+εc=常數(shù)

(14)

根據(jù)陳化理論，蠕變應變εc表示為：

εc=Aσntm

(15)

式中，A、m、n由膜片材料應力松弛試驗得到。由式(14)、式(15)及材料的應力-應變關系，得到：

(16)

式中，E為彈性模量，MPa。根據(jù)式(16)，進一步推導得剩余應力σ與初始應力σ0和時間的關系式：

σ1-n=σ01-n+(n-1)EAtm

(17)

550 ℃時試驗得到的膜片材料應力松弛曲線見圖4[14-15]。

圖4 550 ℃下膜片材料應力松弛曲線

從圖4可知，波紋管膜片材料應力松弛曲線分為2個階段，第1階段持續(xù)時間較短，應力隨時間延續(xù)而急劇下降；第2階段持續(xù)時間很長，應力隨時間延續(xù)而緩慢減小，并趨向恒定值。用MATLAB對試驗數(shù)據(jù)進行曲線擬合，得到550 ℃下式(17)參數(shù)值A=2.241 6×e-8(e為自然常數(shù))，m=0.027 23，n=1.696 1。

2.2 實際工況下波紋管應力松弛與失彈曲線

波紋管工況：溫度550 ℃，波紋管彈力90 N，介質壓力1 MPa。波紋管的尺寸參數(shù)：外徑R1=45 mm，內徑R2=40 mm，波形第一段圓弧半徑a1=1.5 mm、波形第二段圓弧半徑a2=1.4 mm、波形第三段圓弧半徑a3=1.4 mm。

依據(jù)文獻[13]給出的應力計算方法，將波紋管工況、尺寸參數(shù)帶入MATLAB編程求解，得到初始應力σ0=648.7 MPa，由初始應力σ0及試驗曲線擬合得到的A、m、n值做實際工況下波紋管的理論應力松弛曲線，見圖5。

圖5 實際工況下波紋管應力松弛曲線

從圖5可以看出，經過5 000 h后，應力由648.7 MPa減小到388.13 MPa，減小了40.2%。將A、m、n帶入(13)式中計算彈力F，得到波紋管失彈曲線，見圖6。

圖6 實際工況下波紋管失彈曲線

從圖6可以看出，經過5 000 h后，波紋管彈力由90 N減小到81.14 N，彈力減小了9.8%。

3 波紋管失彈有限元分析

使用ANSYS Workbench的[Creep]蠕變模塊對波紋管失彈進行有限元分析，并與理論計算結果比較。焊接金屬波紋管的幾何結構、載荷和邊界條件都具有軸對稱性，故在ANSYS Workbench中取波紋管單個波片的軸對稱截面進行分析，以加快分析速度，提高分析結果的準確度。

3.1 前處理

在材料庫[Engineering Data]添加波紋管材料Inconel-718，設置材料的彈性模量為2×1011MPa，泊松比為0.3，密度為824 0 kg/m3，在[Creep]選項中設置材料的3個蠕變常數(shù)[Creep Constant]分別為參數(shù)A、m、n的值。分析類型設置為2D軸對稱模型，采用自動劃分網格方法劃分網格，插入[Face Sizing]與[Refinement]，細化波片網格。劃分完成后的膜片網格見圖7。

圖7 波紋管膜片網格劃分

3.2 求解設置

在ANSYS Workbench 中將膜片邊界條件設定為：膜片外緣固定，內緣90 N彈力載荷等效轉換為豎直方向位移約束0.06 mm，膜片外表面施加大小為1 MPa 壓強，方向垂直于外表面。將求解載荷步設置為2步，以便于觀察膜片在5 000 h 后的應力松弛結果。

3.3 求解結果

膜片最大等效應力分析云圖見圖8，膜片支承端的彈力變化分析云圖見圖9。

圖8 波紋管膜片等效應力變化結果

圖9 波紋管膜片彈力變化結果

由圖8可知，經過5 000 h的使用后，膜片最大等效應力由623.8 MPa減小為360.02 MPa，減小了42.3%。由圖9可知，經過5 000 h的使用后，膜片軸向彈力由90 N減小為79.688 N，減小了11.5%。

4 有限元模擬與理論計算結果對比分析

4.1 應力變化

在MATLAB中得到的波紋管膜片理論計算與有限元分析的等效應力變化曲線見圖10。

圖10 波紋管膜片應力-時間變化曲線

從圖10可以知道，理論計算的初始應力為648.7 MPa，最終應力為388.13 MPa，應力值變化了40.2%；有限元分析的初始應力為623.8 MPa，最終應力為360.02 MPa，應力值變化了42.3%。初始應力理論計算值與有限元分析值的誤差為3.8%，最終應力理論計算值與有限元分析值的誤差為7.2%，應力變化理論計算值與有限元分析值的誤差為2.1%。

4.2 彈力變化

在MATLAB中得到的波紋管膜片理論計算與有限元分析的等效彈力變化曲線見圖11。

圖11 波紋管膜片彈力-時間變化曲線

從圖11可知，理論計算初始彈力為90 N，最終彈力為81.14 N，彈力值變化了9.8%；有限元分析的初始彈力為90 N，最終彈力為79.69 N，彈力值變化了11.5%。初始彈力理論計算值與有限元分析值的誤差為0%，最終彈力理論計算值與有限元分析值的誤差為1.8%，彈力變化理論計算值與有限元分析值的誤差為1.7%。

4.3 綜合分析

理論計算與有限元分析的應力和彈力變化分析一致表明，在誤差允許范圍內理論計算與有限元分析結果吻合較好，理論計算公式能較好地描述波紋管長期在高溫下工作的失彈現(xiàn)象，有限元分析驗證了理論計算的正確性。針對理論計算與有限元分析產生的誤差進行分析，認為主要為2個方面的原因所致，①運用軸對稱細環(huán)殼一般解的方法求解方程時，對部分數(shù)據(jù)處理時忽略了少數(shù)微小量。②有限元分析中，部分選項設置，如網格劃分大小、單元類型的選擇等對分析結果影響較大。

5 結論

(1)依據(jù)彈性薄殼理論建立了焊接金屬波紋管在實際工況下的失彈方程，該方程能較好地反映波紋管的失彈情況。

(2)影響波紋管失彈的因素有波紋管的初始應力、剛度、工作溫度以及在高溫下工作的時間。

(3)波紋管的初始應力與波紋管自身結構有關，因此，對波紋管進行結構優(yōu)化設計時，在給定工況下，應該以減小初始應力為目標優(yōu)化波紋管結構，可減輕波紋管的失彈現(xiàn)象。

(4)在一定范圍內，波紋管剛度值越大、工作溫度越高，波紋管失彈現(xiàn)象越明顯。

(5)波紋管在高溫下工作的時間越長，波紋管失彈現(xiàn)象越明顯。因此，在外界條件不變的情況下，應根據(jù)理論計算數(shù)據(jù)，合理安排波紋管使用時間，避免失彈使密封失效。