上海南匯中學(201399) 宋 磊

1 引言

高考對向量的考查主要有三個層面: 知識層面,直接考查向量的線性運算、數(shù)量積、垂直或平行關系、基底、模與夾角等;方法層面,重點考查數(shù)形結合、轉化與化歸、分類討論、函數(shù)與方程等思想方法;素養(yǎng)層面,主要考查數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng).

由于向量是溝通代數(shù)與幾何的有力工具,因此向量問題的解決途徑一般有兩個: 一是幾何法,通過向量的幾何意義以及向量的基本運算將其轉化為平面幾何問題;二是代數(shù)法,從向量的線性運算、數(shù)量積、平面向量基本定理以及坐標表示等方面思考,將問題轉化為代數(shù)中的有關問題解決.筆者認為,平面向量對學生而言之所以難,是難在向量的本質: 向量是自由的,可以隨意移動,動態(tài)性很強.當題目中出現(xiàn)動態(tài)向量較多或動點較多時,“化動為靜、以靜御動”才是解決此類向量問題最關鍵的一步,本文將剖析這類問題,探究解題策略.

2 典例分析

例1設a,b,c是同一平面上的三個兩兩不同的單位向量.若(a·b):(b·c):(c·a)=1:1:2,則a·b的值為____.

解方法1: 設a=(1,0),b=(cosα,sinα),c=(cosβ,sinβ),由a·b=b·c得cosα=cos(α?β),由a,b,c互不相同,不妨取?α=α?β,故β=2α,c=(cos 2α,sin 2α),由a·c=2b·c,得cos 2α=2 cosα,即2cos2α ?1=2 cosα,故cosα=即a·b=

方法2: 設b=(1,0),則由a·b=b·c得b⊥(a ?c),從而a與c關于x軸對稱,設a=(cosα,sinα),則c=(cosα,?sinα),a·c=cos2α ?sin2α=cos 2α=2b·c=2 cosα,故cosα=即a·b=

評析a,b,c是三個動向量,同學們對此感到暈頭轉向.現(xiàn)考慮將其中一個動向量固定,則使題目難度大大降低.方法1中,將a固定,根據(jù)單位圓設出b,c,通過坐標法運用代數(shù)運算找出b與c的關系,從而得解.解法2 將b固定,通過幾何特征找出a與c的關系,從而得解.兩種方法都是化動為靜,用坐標法加以解決.

例2設P是雙曲線x2?=1 上的動點,直線(t為參數(shù))與圓C:(x ?3)2+y2=1 相交于A、B兩點,則的最小值是____.

解將直線參數(shù)方程化為普通方程后得知,該直線表示恒過M(3,0)的一條直線.雙曲線

圖1

的焦點及圓C的圓心都是M(3,0),如圖1.

因此,問題轉化為雙曲線上任一點P到焦點M(3,0)的最短距離,根據(jù)雙曲線的性質,=2,由 此 可 得

評析本題P,A,B均是動點,通過中點向量將動點A,B轉化為靜點M,從而減少了動點個數(shù),再結合幾何背景將問題解決.本題利用中點向量的轉化過程也稱為極化恒等式.在解決向量問題時,我們甚至可以將題設背景固定,如例3.

例3已知A,B,C是半徑為5 的圓Q上的點,若的取值范圍是____.

解方法1: 如圖2,將圓心固定在原點,設圓方程為x2+y2=25.由=6,半徑r=5,取BC中點M,連結OM,則|OM|=4,因此點M的軌跡是以(0,0)為圓心,4 為半徑的圓.同例2,利用極化恒等式,得

圖2

圖3

方法2: 如圖3,將點B,C固定,設B(?3,4),C(3,4),圓Q:x2+y2=25.設點A(5 cosα,5 sinα),則

由sinα∈[?1,1],得

評析本題將圓Q的圓心固定在原點O增加了同學們的解題信心.在方法2 中,根據(jù)=6,化兩個動點為兩個定點,使問題變得更加容易.

例4設ΔABC的內角為A,B,C,其中G為ΔABC的重心,且則cosC的最小值是____.

解方法1: 采用坐標法.將點A固定,如圖4.

設點A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),則重心得,

化簡得bccosA=b2?2c2,由此可得cosA==所以a2+b2=5c2,從而cosC=當且僅當a=b取等號.

評析方法1 將點A固定后,采用坐標法,利用三角形的重心坐標公式,結合余弦定理和基本不等式使問題得以解決;方法2 采用了平面向量基本定理,采用轉化基底法達到目的.

例5已知A,B,C是邊長為1 的正方形邊上任意三點,則的取值范圍是______.

解如圖5,易得

當A為正方形的頂點時,最小值僅能取到0; 當A在正方形的邊上時,顯然當B在A所在邊頂點時,才會取得更小的值.如圖6,將點A定在正方形的底邊位置上,根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義(投影)得到故=?x(1?x)=x(x?1)=當即A為底邊中點時,

圖5

圖6

評析本題主要難度在于動點較多,思路是先定點A(注意分類標準的建立),再考慮另外兩個點的運動變化情況.不失一般性,將動點A定在正方形底邊位置考慮大大減少了討論的情況.

例6已知平面向量a、b、c滿足|a|=|b|=1,a·b=0,則|a+b ?c|+2|c ?b|的最小值為____.

解設a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),由得,

表示點C(x,y)到點D(1,1)距離與C(x,y)到點B(0,1)的距離的兩倍之和.故本題轉化為求|CD|+2|CB|的最小值.如圖7,連結AC、AD,取點連結CE,則

圖7

ΔCEA與ΔDCA相似,所以

當B,C,E三點共線時取到等號.

評析本題動態(tài)向量太多,令人眼花繚亂.根據(jù)條件,將a,b設為基本單位向量后,求得c表示的運動軌跡,利用所求值的幾何意義,通過構造阿波羅尼斯圓求出.本題將向量所具有的“數(shù)的嚴謹性”與“形的直觀性”展現(xiàn)的淋漓盡致.

結語以上幾例向量問題除了都具有一定的綜合性、靈活性和解法的發(fā)散性等特點外,還有一個共同的特點: 動態(tài)向量較多.通過“化動為靜、以靜御動”的解題策略,再依據(jù)代數(shù)運算與幾何推理相結合,直接運算和轉化運算相結合,坐標形式與符號形式相結合,基底分解與向量合成相結合等處理方式,問題從而迎刃而解.