安徽省淮南第二中學(xué)(232000) 趙 帥

概率一直是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容,其題目的設(shè)計(jì)背景大多與日常生活息息相關(guān),下面就一道簡(jiǎn)潔有趣的求期望問(wèn)題與大家探討,以供參考.

一、問(wèn)題再現(xiàn)與分析

題目5 位高矮各不同的小朋友隨機(jī)地站成一列,較矮的會(huì)被較高的小朋友擋住.問(wèn)不被擋住的小朋友人數(shù)的期望值為多少.

分析顯然隨機(jī)變量X可取1,2,3,4,5 這5 個(gè)數(shù).由期望的計(jì)算公式:E(X)=可知解題的關(guān)鍵在于求出X取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率.而各自對(duì)應(yīng)的概率可由古典概型概率公式來(lái)計(jì)算.所以解題的關(guān)鍵在于求出對(duì)應(yīng)的X取值情況下正確的排法數(shù).為了簡(jiǎn)便,用數(shù)字1,2,3,4,5 分別指代身高由矮到高的5 個(gè)小朋友.則此時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為數(shù)字的排列問(wèn)題.易知所有的排法數(shù)為.

當(dāng)X=1 時(shí),顯然5 必須在第一位,剩下的4 個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排列.排法數(shù)為,概率為

當(dāng)X=2 時(shí),按照5 的前后數(shù)字個(gè)數(shù)進(jìn)行分類,則有:

(1)前1 后3,則需要從1-4 數(shù)字中選1 個(gè)放至5 的前面,剩下3 個(gè)數(shù)字放至5 的后面進(jìn)行全排列.則排法數(shù)為:

(2)前2 后2,則需要從1-4 數(shù)字中選2 個(gè)放至5 的前面(前大后小),剩下2 個(gè)數(shù)字放至5 的后面進(jìn)行全排列.則排法數(shù)為:

(3)前3 后1,則需要從1-4 數(shù)字中選3 個(gè)放至5 的前面(3 個(gè)數(shù)中最大的數(shù)字在前,剩下2 個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列),剩下1 個(gè)數(shù)字放至5 的后面進(jìn)行全排列.則排法數(shù)為:

(4)前4 后0,即5 在最后一位,必有4 在第一位,剩下三個(gè)

故當(dāng)X=2 時(shí),概率為

當(dāng)X=3 時(shí),按照5 的前后數(shù)字個(gè)數(shù)進(jìn)行分類,則有:

(1)前2 后2,則需要從1-4 數(shù)字中選2 個(gè)放至5 的前面(前小后大),剩下2 個(gè)數(shù)字放至5 的后面進(jìn)行全排列.則排法數(shù)為:

(2)前3 后1,則需要從1-4 數(shù)字中選3 個(gè)放至5 的前面(3個(gè)數(shù)中有1 個(gè)數(shù)字被擋住,有3 種排法),剩下1 個(gè)數(shù)字放至5 的后面進(jìn)行全排列.則排法數(shù)為:3=12.

(3)前4 后0,即1-4 數(shù)字放至5 的前面.這4 個(gè)數(shù)中有2 個(gè)數(shù)字被擋住,若4 在第2 位,則對(duì)應(yīng)的排法數(shù)為:若4 在第3 位,則對(duì)應(yīng)的排法數(shù)為:若4 在第4 位,則對(duì)應(yīng)的排法數(shù)為故這4 個(gè)數(shù)滿足情況的排法數(shù)為: 6+3+2=11.

故當(dāng)X=3 時(shí),概率為

當(dāng)X=4 時(shí),按照5 的前后數(shù)字個(gè)數(shù)進(jìn)行分類,則有:

(1)前3 后1,則需要從1-4 數(shù)字中選3 個(gè)放至5 的前面(前小后大),剩下1 個(gè)數(shù)字放至5 的后面進(jìn)行全排列.則排法數(shù)為:=4.

(2)前4 后0,即1-4 數(shù)字放至5 的前面.這4 個(gè)數(shù)中有1 個(gè)數(shù)字被擋住,若4 在第3 位,則對(duì)應(yīng)的排法數(shù)為:=3;若4 在第4 位,則對(duì)應(yīng)的排法數(shù)為:+1=3,故這4 個(gè)數(shù)滿足的排法數(shù)為6.

故當(dāng)X=4 時(shí),概率為

當(dāng)X=5 時(shí),顯然是按照12345 的順序進(jìn)行排列,排法數(shù)為1.概率為

二、問(wèn)題研究

根據(jù)題目條件雖然可以依次求出X=1,2,3,4,5 時(shí)對(duì)應(yīng)的排列數(shù),但其計(jì)算過(guò)程是極其繁瑣的,也很容易出錯(cuò).在計(jì)算期望過(guò)程中,可以感受到里面有一種比較隱蔽的遞推關(guān)系,下面我們可將問(wèn)題進(jìn)行一般化推廣并列舉幾種利用遞推求期望的方法.

推廣大小不同的n個(gè)數(shù)排列成數(shù)列:a1,a2,a3,··· ,an.令bk=max{a1,a2,··· ,ak}(k=1,2,··· ,n),以bk的不同取值作為元素組成集合A.如數(shù)列1,3,2,1,4,5 中,bk為1,3,3,3,4,5,對(duì)應(yīng)的集合A為{1,3,4,5}.求集合A元素個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們先找出期望的遞推關(guān)系.

思路1(概率遞推)當(dāng)項(xiàng)數(shù)為n時(shí),設(shè)集合A中的元素為Xn.則分布列如下:

Xn 1 2 3···n P P1 P2 P3···Pn

則有E(Xn)=1×P1+2×P2+3×P3+···+n×Pn且P1+P2+P3+···+Pn=1.

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(n+1)時(shí),集合A中元素個(gè)數(shù)為Xn+1.此時(shí)相當(dāng)于在n個(gè)數(shù)字中再插入一個(gè)數(shù)字.為了簡(jiǎn)便,無(wú)妨設(shè)插入的這個(gè)數(shù)字比之前n個(gè)數(shù)都要小.現(xiàn)考慮一般情況,當(dāng)Xn+1=k時(shí),則有兩種可能使得Xn+1=k,一是Xn=k時(shí),n個(gè)數(shù)字產(chǎn)生(n+1)個(gè)空,要使得Xn+1=k,則此時(shí)將最小數(shù)插入到第1 位數(shù)字后的n個(gè)空中的某一個(gè)空; 二是Xn=k ?1 時(shí),n個(gè)數(shù)產(chǎn)生(n+1)個(gè)空,要使得Xn+1=k,則此時(shí)只能將最小數(shù)插入到第1 位數(shù)字前的位置.則此時(shí)可得遞推關(guān)系:P(Xn+1=k)=×Pk.

此時(shí)分布列為:

Xn+1 1 2 3···n n+1 P nP1 n+1 P1 n+1+ nP2 n+1 P2(n+1)+ nP3 n+1···Pn?1 n+1+ nPn n+1 1 n+1Pn

利用待定系數(shù)法,設(shè):

解得:x=1,y=,故E(Xn+1)=E(Xn)+

思路2(隨機(jī)變量遞推)此時(shí)相當(dāng)于在n個(gè)數(shù)字中再插入一個(gè)數(shù)字,為了簡(jiǎn)便,無(wú)妨設(shè)插入的這個(gè)數(shù)字比之前n個(gè)數(shù)都要小,注意到n個(gè)數(shù)產(chǎn)生(n+1)個(gè)空.則Xn+1的值可能為Xn或Xn+1.若Xn+1=Xn,則相當(dāng)于插入的最小數(shù)字放至第1 位數(shù)字后的n個(gè)空中的一個(gè),對(duì)應(yīng)的概率為:若Xn+1=Xn+1,則相當(dāng)于插入的最小數(shù)字放至第1 位數(shù)字前的空里,對(duì)應(yīng)的概率為:故可得分布列如下:

Xn+1 Xn Xn+1 P n n+1 1 n+1

因此,E(Xn+1)=Xn+則E(E(Xn+1))=E(Xn)+即E(Xn+1)=E(Xn)+

思路3(排列數(shù)遞推)設(shè)N(n,k)為n個(gè)數(shù)排列使得集合A中元素個(gè)數(shù)為k時(shí)的排列數(shù),N(n+1,k)為(n+1)個(gè)數(shù)排列使得集合A中元素個(gè)數(shù)為k時(shí)的排列數(shù)的排列數(shù).要得到N(n+1,k),有兩種構(gòu)成方法.一是由N(n,k)構(gòu)成,此時(shí)數(shù)字個(gè)數(shù)要從原本的n變?yōu)?n+1),但A中元素個(gè)數(shù)不變,即將最小數(shù)字放至第1 位數(shù)字后的n個(gè)空中的某一個(gè)位置;或由N(n,k?1)構(gòu)成,此時(shí)數(shù)字加1 個(gè)且A中元素個(gè)數(shù)增加1,即將最小數(shù)字放至第1 位數(shù)字前的空里.則可得遞推關(guān)系:N(n+1,k)=nN(n,k)+N(n,k?1).由于

綜上結(jié)合思路1,2,3 可以得到期望遞推關(guān)系:E(Xn+1)=E(Xn)+利用累加法可得:E(Xn)=由E(X0)=0,故故A中元素個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為:當(dāng)n=5 時(shí),不被擋住人數(shù)的數(shù)學(xué)期望是:

三、對(duì)于結(jié)果的一點(diǎn)思考

求此類期望的難點(diǎn)在于求得遞推關(guān)系,需要解題者具有一定的遞推思想,而遞推思想的本質(zhì)在于從有限的事件關(guān)系從中找到事件發(fā)展的規(guī)律,進(jìn)而將有限推向無(wú)限,而遞推思想本身也是我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題的一個(gè)重要工具.在我們的平時(shí)教學(xué)中,可以通過(guò)一些有趣且有內(nèi)涵的如切蛋糕問(wèn)題,集齊卡片問(wèn)題,擊鼓傳花等現(xiàn)實(shí)世界學(xué)生熟知的問(wèn)題,有意向滲透遞推思想,進(jìn)而開(kāi)拓學(xué)生視野,提升解決問(wèn)題的能力,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的眼光看世界.

四、練習(xí)

不難看出,得出的期望結(jié)果很巧合的為著名的調(diào)和級(jí)數(shù),事實(shí)上很多有意思的求期望問(wèn)題其結(jié)果都為調(diào)和級(jí)數(shù).下面提供兩道所求期望形式為調(diào)和級(jí)數(shù)的練習(xí)供讀者參考.

練習(xí)1小賣部出售一種外包裝都一樣的卡片,且每個(gè)包裝只有一張卡片.這種卡片共有108 種樣式,如果能湊齊這108 種樣式的卡片即可獲得獎(jiǎng)品.問(wèn)為了得到獎(jiǎng)品平均要買多少?gòu)埧ㄆ? (答案: 108×

練習(xí)2100 人坐飛機(jī),他們分別拿到了從1 號(hào)到100 號(hào)的座位,這些乘客會(huì)按照號(hào)碼順序登機(jī)并對(duì)號(hào)入座,如果他們發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的座位被人坐了,就會(huì)在剩余的空座位隨便挑一個(gè)坐.現(xiàn)在假設(shè)1 號(hào)乘客隨便選一個(gè)座位坐下,問(wèn)平均有多少人沒(méi)有坐到自己的位置? (答案: