宋婭玲 童冬蘭

摘? 要：學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能是與學(xué)生的數(shù)學(xué)思考尤其是深度思考密切相關(guān)的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生辨析內(nèi)容、明晰方法、實(shí)踐反思。通過數(shù)學(xué)思考，生成學(xué)生對數(shù)學(xué)的洞察力、敏感力，催生學(xué)生數(shù)學(xué)的想象力，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);深度思考;深度學(xué)習(xí)

小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個既觸及外在活動因素，又深入學(xué)生數(shù)學(xué)內(nèi)在思維因素、思考因素的緩慢推進(jìn)過程。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能與學(xué)生的數(shù)學(xué)思考尤其是深度思考密切相關(guān)。數(shù)學(xué)思考具有個體性、潛在性、穩(wěn)固性的特質(zhì)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)深度思考。通過學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思考，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)深度思考，不僅能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生，而且能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

一、辨析內(nèi)容：數(shù)學(xué)“深度思考”的根基

從認(rèn)識論的視角來看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)依賴于內(nèi)外兩種因素，其中外在因素是條件，內(nèi)在因素是根據(jù)。外在因素諸如學(xué)習(xí)的內(nèi)容、素材、工具等，內(nèi)在因素諸如學(xué)生的數(shù)學(xué)感知、思維、記憶、想象活動等。在學(xué)習(xí)實(shí)踐中，外在因素和內(nèi)在因素是彼此交織、相輔相成、相互促進(jìn)的。激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思考，首先必須引導(dǎo)學(xué)生辨析學(xué)習(xí)內(nèi)容，即讓學(xué)生正確表征、把握思考的對象，從而更加明晰“思考什么”。

辨析學(xué)習(xí)內(nèi)容，也就是要讓學(xué)生明晰“思考對象”。已故著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生說，教什么永遠(yuǎn)比怎樣教更為重要，因?yàn)榻淌裁礌可娴綄W(xué)生學(xué)習(xí)的方向問題。如果在教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容不合適、不恰當(dāng)，那么教師的教學(xué)就會陷入“南轅北轍”的尷尬。辨析學(xué)習(xí)內(nèi)容，一般地來說，有兩個層面的內(nèi)容：其一是學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)問題，其二是學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)問題。其中第一個問題是實(shí)體性的問題，第二個問題是關(guān)系性的問題。辨析學(xué)習(xí)內(nèi)容，是數(shù)學(xué)深度思考的起點(diǎn)。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”（蘇教版五年級下冊），許多教師只是從結(jié)構(gòu)性、關(guān)系性角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知。如首先讓學(xué)生回憶分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)聯(lián)，然后啟迪學(xué)生除法中的“商不變規(guī)律”，引導(dǎo)學(xué)生類比推理出“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”。這樣的教學(xué)是有失偏頗的，是缺乏學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力、思維力的，是沒有生命力的。事實(shí)上，在“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生直面“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”本身，對這一內(nèi)容進(jìn)行深度思考、探究。如可以讓學(xué)生借助一張紙的平均分操作，來認(rèn)識“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”。學(xué)生將一張紙平均分成2份，表示其中的1份;或者將一張紙平均分成4份，表示其中的2份;或者將一張紙平均分成8份，表示其中的4份，等等。在折紙、涂色等外在的操作活動中，能激發(fā)學(xué)生的“火熱的思考”：分?jǐn)?shù)的大小有沒有變化？為什么平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)發(fā)生了變化，而分?jǐn)?shù)的大小卻能夠保持不變呢？分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和以前學(xué)習(xí)的哪些知識內(nèi)容是密切相關(guān)的？如此，學(xué)生的深度思考就既能觸及知識本質(zhì)，又能觸及知識結(jié)構(gòu)。

美國教育家布魯納深刻地指出：“教學(xué)某些知識領(lǐng)域，并不是帶著學(xué)生去銘記已有的結(jié)果，而是要教他如何去參與知識獲取的過程，其核心要素就是要讓學(xué)生去進(jìn)行深度思考?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思考不僅決定著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形態(tài)，更影響著學(xué)生的問題解決，制約著教學(xué)的變革。引導(dǎo)學(xué)生辨析學(xué)習(xí)內(nèi)容，能有效地夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)深度思考的根基。

二、明晰方法：數(shù)學(xué)“深度思考”的核心

深度思考的過程就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度加工的過程，也是學(xué)生接受、鞏固、轉(zhuǎn)化、內(nèi)化信息的過程。數(shù)學(xué)思考，是通往數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)運(yùn)用的通道。明晰數(shù)學(xué)思考方法是數(shù)學(xué)深度思考的核心。如果說，辨析內(nèi)容是讓學(xué)生認(rèn)識到“思考什么”，那么，明晰方法就是讓學(xué)生掌握“怎樣思考”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生全面覺知，還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)畫圖、轉(zhuǎn)化、比較、分析、綜合等，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題解決策略的遷移，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行同化、聯(lián)結(jié)，等等。

數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思考方法是豐富的，其中最為重要的方法是分析法和綜合法。所謂“分析”就是“執(zhí)果索因”，也就是從問題出發(fā)，逐步去思考解決這個問題所需要的條件，其語法形式就是“要求什么，必須先求什么”“要求什么，必須已知什么”;所謂“綜合”就是“由因?qū)Ч?，也就是從條件出發(fā)，逐步思考根據(jù)這個條件可以得出的結(jié)論、可以解決的問題，其語法形式就是“通過什么，可以求出什么”“通過什么，可以得出怎樣的結(jié)論”，等等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要抓住數(shù)學(xué)思考的語法形式，通過語言去激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象。比如教學(xué)蘇教版五年級上冊“解決問題的策略——‘一一列舉”，首先讓學(xué)生感知問題，理解題意?！巴醮笫逵?2根1米長的木條圍一塊長方形花圃，怎樣圍面積最大？”學(xué)生展開自主思考、合作交流，形成了多向交互的分析思路。如有學(xué)生認(rèn)為，根據(jù)“怎樣圍面積最大”，可以想到圍法不止一種;有學(xué)生認(rèn)為，根據(jù)“圍成長方形花圃”，可以想到“與長方形周長相關(guān)”;有學(xué)生認(rèn)為，根據(jù)“22根1米長的木條”，可以得出這樣的結(jié)論，即“圍成的長方形的長或?qū)捯欢ㄊ钦麛?shù)，因?yàn)槟緱l不可以鋸斷”，等等。在對題意進(jìn)行深度表征、分析思考之后，學(xué)生逐步清晰了問題解決策略，即運(yùn)用“列舉法”，找尋出所有可能的圍法。據(jù)此，“解決問題的策略——列舉法”的誕生就呼之欲出、水到渠成。這是基于問題解決策略內(nèi)容層面的分析。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生分析解決問題的形式，有學(xué)生建議，根據(jù)周長是22米，可以先求出長方形的長寬之和;有學(xué)生建議，列舉時要從小到大或者從大到小，也就是讓列舉更有序，既不遺漏也不重復(fù);有學(xué)生建議，可以用表格的形式來列舉，這樣讓列舉更清晰、更一目了然，等等。數(shù)學(xué)的深度思考，讓學(xué)生的問題解決更為精致、更為有效。

著名數(shù)學(xué)家笛卡爾說，最優(yōu)價值的知識就是關(guān)于方法的知識。數(shù)學(xué)教學(xué)，不只是讓學(xué)生掌握知識，更為重要的是生成學(xué)生的問題解決智慧。作為教師，要激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的共鳴點(diǎn)，化解學(xué)生數(shù)學(xué)思考的“矛盾點(diǎn)”，把握學(xué)生數(shù)學(xué)思考的“關(guān)鍵點(diǎn)”，消弭學(xué)生數(shù)學(xué)思考的“薄弱點(diǎn)”，進(jìn)而不斷地助推學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

三、實(shí)踐反思：數(shù)學(xué)“深度思考”的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)思考力是一種隱性的學(xué)力，是一種比較深刻、周全的思維活動。日本學(xué)者細(xì)野真宏認(rèn)為，“數(shù)學(xué)思考力”是一種邏輯運(yùn)用、本質(zhì)關(guān)聯(lián)、建立信息的能力。有深度的數(shù)學(xué)思考，不僅是指學(xué)生的正向性思考，還指學(xué)生的反向性思考（反思）。反思分為實(shí)踐中的反思和實(shí)踐后的反思，反思應(yīng)當(dāng)貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。通過反思，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考會更靈動、更敏捷、更深刻、更富有創(chuàng)造力。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)反思，可以幫助學(xué)生建立初步的數(shù)感、符號感，幫助學(xué)生建立初步的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計觀念等。數(shù)學(xué)反思，既是學(xué)生對自我學(xué)習(xí)的清晰體認(rèn)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力生成、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的重要標(biāo)識、有效路徑。反思的過程是一個自覺審視、追問、評價的過程。從這個層面上說，反思是一種高階思維。比如教學(xué)蘇教版三年級上冊的“軸對稱圖形”，在引導(dǎo)學(xué)生了解“軸對稱圖形的特征”之后，筆者相繼出示了一般的平行四邊形、長方形、菱形、一般三角形、等腰三角形、等邊三角形、梯形、等腰梯形、圓等圖形，讓學(xué)生判斷這些圖形是否是軸對稱圖形。在判斷辨析的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生依托直覺進(jìn)行判斷，有些學(xué)生則展開理性的判斷，即根據(jù)軸對稱圖形的定義進(jìn)行判斷。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思：判定一個圖形是否是軸對稱圖形應(yīng)當(dāng)怎樣做？在教師的問題驅(qū)動下，學(xué)生會積極反思、內(nèi)省、審視，會自覺地反芻、反躬自問：兩邊完全相同的圖形一定是軸對稱圖形嗎？軸對稱圖形就是左右兩邊的圖形形狀一樣嗎？借助反思，學(xué)生對一些“看似軸對稱圖形”而實(shí)質(zhì)上不是“軸對稱圖形”的圖形進(jìn)行深度操作、探究，從而對軸對稱圖形的本質(zhì)形成更為深刻的認(rèn)知。

美國著名的教育家杜威說：“所謂‘反思，就是對經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重構(gòu)或重組，從而讓增加的經(jīng)驗(yàn)形成能指導(dǎo)后續(xù)經(jīng)驗(yàn)方向的能力?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)之中，教師要對學(xué)生頭腦之中比較模糊、似是而非的內(nèi)容諸如一些迷思概念、相異構(gòu)想等進(jìn)行追問。通過教師的追問、閃回等教學(xué)技巧、藝術(shù)，誘發(fā)學(xué)生思考的疑點(diǎn)，弄清學(xué)生思考的斷點(diǎn)，架構(gòu)學(xué)生思考的支點(diǎn)。

奧地利著名的思想家維特根斯坦說：“洞察矛盾是困難的。因?yàn)槿绻窃诒砻嫔献プ∷?，困難依舊原封不動，得不到改變。必須是連根拔起……才能形成一種新的眼光。”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的深度思考，能讓學(xué)生生成一種對數(shù)學(xué)的洞察力、敏感力，能催生學(xué)生數(shù)學(xué)的想象力，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧。