黃麗麗

（吉首大學(xué)師范學(xué)院，湖南吉首 416000）

1 主要結(jié)果

本文考慮如下系統(tǒng)

周期解的存在性，其中p＞1，V∶[0，T]×RN→R，f∈L1（[0，T]；RN），▽V（t，x）是V關(guān)于x的梯度，且V滿(mǎn)足如下假設(shè)

（A）對(duì)?x∈RN，V（t，x）關(guān)于t可測(cè)，對(duì)于a.e.t∈[0，T]，V（t，x）關(guān)于x連續(xù)可微，且存在a∈C（R+，R+），b∈L1（[0，T]；R+）使得

大多數(shù)學(xué)者研究了p=2且f=0的情形，見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3]，文獻(xiàn)[4]和[5]研究了f=0的情形，本文受文獻(xiàn)[4]和[5]的啟發(fā)，利用鞍點(diǎn)定理研究系統(tǒng)（HS）在文獻(xiàn)[5]中的局部漸進(jìn)p-二次條件下的周期解的存在性，推廣了文獻(xiàn)[5]的結(jié)果，得到新的存在性定理.

定理1.1 若V滿(mǎn)足（A）及以下條件

2 預(yù)備知識(shí)

又由文獻(xiàn)[6]可設(shè)系統(tǒng)（HS）對(duì)應(yīng)的泛函為

易知其是連續(xù)可微的，且其臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)（HS）的T-周期解，且對(duì)?u，v∈W1，pT有

定義2.1[6]設(shè)X是實(shí)Banach空間，φ∈C1（X，R），若{un}?X，φ（un）有界，φ′（un）→0（n→∞）蘊(yùn)含{un}有收斂的子列，則稱(chēng)φ滿(mǎn)足Palais-Smale條件（簡(jiǎn)稱(chēng)PS條件）.

定義2.2[6]設(shè)X是實(shí)Banach空間，φ∈C1（X，R），若{un}?X，φ（un）有界，||φ（un）||（1+||un||）→0（n→∞）蘊(yùn)含{un}有收斂的子列，則稱(chēng)φ滿(mǎn)足Cerami條件（簡(jiǎn)稱(chēng)C條件）.

定理2.1[7]（Fatou引理）若｛fk（x｝）是E上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則

定理2.2[8]（鞍點(diǎn)定理）設(shè)X是實(shí)的Banach空間，φ∈C1（X，R），X=X1⊕X2，X1≠{0}是X的有限維子空間，若φ∈C1（X，R）滿(mǎn)足（PS）條件以及：

則φ在X上必有臨界點(diǎn).

注2.1 鞍點(diǎn)定理在更弱的C條件下仍然成立，見(jiàn)文獻(xiàn)[8].

3 定理1.1的證明

第一步，證明φ滿(mǎn)足C條件.令{φ（un）}是空間中的C序列，則存在常數(shù)L＞0，使得對(duì)任意的n∈N有

由（V2）可知存在常數(shù) M1＞0，使得對(duì)所有的|x|≥M1，a.e.t∈[0，T]有

又由（V1）有，對(duì)任意的 β＞0，存在常數(shù) M2＞M1＞0，使得對(duì)所有|x|≥M2，a.e.t∈[0，T]，有

即當(dāng) ||u||→+∞ 時(shí)，φ（u）→-∞.