范金泉 (江蘇省宿遷市馬陵中學(xué) 223800)

在代數(shù)的解題過程中引入?yún)?shù)幫助解題，就猶如幾何證明過程中在圖形上添加輔助線一樣，是一個(gè)極為常見的數(shù)學(xué)方法．當(dāng)從條件到結(jié)論之間的過程不明朗或思路受阻的時(shí)候，常常通過一個(gè)“無中生有”的創(chuàng)造性過程，引入?yún)?shù)或添加輔助線，使條件到結(jié)論之間的關(guān)系清晰、過程明朗，從而完成問題的求解．

1 一字之差，由易變難

例已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x2+y2=1，求x2+2xy的最大值．

分析 本題屬于容易題，直接使用不等式2xy≤x2+y2，即可求解．

變題1已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x2+y2=1，求x2+2xy的最小值．

從例題到變題僅一字之差，即由“最大值”變?yōu)椤白钚≈怠?，而題目的難度卻發(fā)生了很大的變化，由一道相當(dāng)容易的習(xí)題變成了一道頗難的習(xí)題，主要是因?yàn)槿绻僭噲D直接使用不等式2xy≤x2+y2求解(比如下列兩個(gè)過程)就會(huì)遇到障礙，使得問題無法求解．

探究1因?yàn)?x∈R，x2≥0，所以應(yīng)當(dāng)在2xy<0即在x與y異號的條件下，x2+2xy才有可能取得最小值．

而當(dāng)x與y異號時(shí)，顯然有-2xy≤x2+y2，即x2+y2≥-2xy，所以x2+2xy≥-y2．又因?yàn)?x2+y2=1，所以y2≤1，所以-y2≥-1．能否說x2+2xy的最小值就是-1呢？顯然不能．因?yàn)楫?dāng)y2=1時(shí)x=0，此時(shí)x2+2xy=0，故無法取得最小值-1．

之前的兩種方法，就是因?yàn)闆]有找到使得x2+2xy取到最小值時(shí)實(shí)數(shù)x,y之間的關(guān)系，從而使得問題求解無法繼續(xù)下去．為此，想到引入?yún)?shù)k幫助問題的求解．

反思1由方程2x2+y2=1確定的是一條封閉的曲線，故代數(shù)式x2+2xy不僅有最大值，也有最小值．但由“最大值”變“最小值”，僅一字之差，為什么求解的方法大相徑庭？有沒有相同或相似的方法，既能求出最大值又可以求出最小值呢？

答案顯然是肯定的！在上述的解題過程中，當(dāng)1+2k>0時(shí)，即可求得x2+2xy的最大值，但和直接使用基本不等式相比顯然太煩瑣，不宜提倡．解決問題的重點(diǎn)是能否像直接使用基本不等式求最大值那樣，比較直接地求出最小值.答案還藏在不等式2xy≤x2+y2里．

2 用活參數(shù)，化繁為簡

2.1 打破剛性約束，拓展思維空間

當(dāng)我們看到式子2xy時(shí)，會(huì)不由自主地想到不等式2xy≤x2+y2．而該不等式中的等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，限制條件過于剛性，不能適用于在y=kx條件下不等式的應(yīng)用．

上述解題過程旨在保持條件2x2+y2=1完整的前提下，將2xy用只含有x2與y2的式子來表示，通過參數(shù)k予以調(diào)整、湊配，思路明晰，方法統(tǒng)一，既求得最大值也求得了最小值，一舉兩得．

2.2 逆向思維，豐富路徑

2.3 從孤立到整體，方法更一般

3 舉一反三，觸類旁通

3.1 改變符號，挖掘結(jié)論的對稱性

變題2已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x2+y2=1，求x2-2xy的取值范圍．

3.2 由點(diǎn)到面，挖掘結(jié)論的一般性

變題3已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x2+y2=1，對任意的實(shí)數(shù)λ，求x2+2λxy的取值范圍．

3.3 加強(qiáng)變式練習(xí)，挖掘結(jié)論的靈動(dòng)性

分析 變題5是將變題4中的z變成了具體的數(shù)字1，本質(zhì)沒變，故方法依舊．又由于將任意實(shí)數(shù)變?yōu)榱苏龑?shí)數(shù)，只需要討論一個(gè)方向．

4 深度反思，山水依舊

宋代禪宗大師青原行思提出參禪的三重境界：參禪之初，看山是山，看水是水；禪有悟時(shí)，看山不是山，看水不是水；禪中徹悟，看山仍然山，看水仍然是水．參禪的三重境界何嘗不是學(xué)習(xí)的三重境界呢？看山是山：在學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上通過歸納推理形成感性認(rèn)識，初步認(rèn)識事物的表象．看山不是山：在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上，通過思維訓(xùn)練、大腦加工、邏輯理解上升到理性認(rèn)識，把握事物本質(zhì)和規(guī)律．看山還是山：將理性認(rèn)識運(yùn)用到實(shí)踐中去，指導(dǎo)行動(dòng)，達(dá)到知行合一．

上述過程中，看到2xy，不由自主地想到不等式2xy≤x2+y2，這只能說是達(dá)到了第一境界，即“看山是山”．為了打破“x=y”的剛性要求而引入正實(shí)數(shù)k，使不等式2xy≤x2+y2變?yōu)?xy≤kx2+y2，應(yīng)該算是進(jìn)入了第二境界，即“看山不是山”，而是“橫看成嶺側(cè)成峰”了，運(yùn)用裕如，游刃有余．如何才能進(jìn)入第三境界，達(dá)到返璞歸真，回歸“看山還是山”呢？要完成這一步，重在反思領(lǐng)悟！

為了解答這個(gè)問題，我們不妨將x2+2xy分解為x(x+2y).顯然，原問題可以看作是研究與揭示x與x+2y之間的和與積的不等式關(guān)系！

設(shè)x2+2xy=k，即x(x+2y)=k，所以λx(x+2y)=λk，其中λ>0．又(λx)2+(x+2y)2=(λ2+1)x2+4xy+4y2=[(λ2-1)x2+4y2]+2(x2+2xy)．令(λ2-1)∶4=2∶1，解得λ=3．即(3x)2+(x+2y)2=4(2x2+y2)+2(x2+2xy)=4+2k．

若x與x+2y同號，(3x)2+(x+2y)2≥6x(x+2y)，即4+2k≥6k．所以k≤1．等號成立的條件是3x=x+2y，即x=y．即x2+2xy的最大值為1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取得．

數(shù)學(xué)之美，在于對真理的不懈追求.透過一道極其簡單的數(shù)學(xué)問題探尋其中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，由簡到繁，再由繁到簡，不僅做到由感性認(rèn)知上升到理性認(rèn)知，而且達(dá)到知行合一的境界.這才是有美、有味、有蘊(yùn)的數(shù)學(xué)！