蔣育芳 鐘 鳴 (江蘇省無錫市西漳中學(xué) 214171)

教材是專家集體智慧的結(jié)晶，是課程標準的載體，給了我們實踐課程理念、實現(xiàn)課程目標以示范和引領(lǐng)．現(xiàn)實中，不少教師缺乏“用好教材培養(yǎng)學(xué)生深度思維”的意識．理解教材結(jié)構(gòu)體系的建構(gòu)意圖，理解教材素材選取的設(shè)計意圖，把教材中“省略”的邏輯關(guān)系和意義找出來，設(shè)計深度思維的教學(xué)資源培養(yǎng)學(xué)生的深度思維，這些是當下數(shù)學(xué)教師要關(guān)注和回歸的基本功．

1 一節(jié)課的深思

“直線與圓的位置關(guān)系(1)”是蘇科版義務(wù)教育教科書九上第七章的內(nèi)容，筆者曾教過多次，也多次聽過這節(jié)的公開課，教學(xué)思路大同小異：感性認知，由日出引出課題“直線與圓的位置關(guān)系”；數(shù)學(xué)抽象，根據(jù)公共點的個數(shù)分為三種位置關(guān)系——相離、相切、相交；數(shù)形結(jié)合，通過圖形直接得出圓心到直線的距離d與半徑r的數(shù)量關(guān)系，反之也成立，于是師生達成共識——直線與圓相交?dr；數(shù)學(xué)運用，進行例題教學(xué)和練習(xí)．總感覺這樣的課堂少了些什么.直到要開設(shè)這節(jié)公開課，筆者再次認真研究教材、深入思考，才知道這樣的課堂缺的是對教材的深度解讀和學(xué)生的深度思維：為什么直線與圓的位置關(guān)系就只有三種？為什么教材特別強調(diào)類比點與圓的位置關(guān)系？為什么用圓心到直線的距離與半徑這兩個數(shù)量的關(guān)系作比較？

2 深度解讀教材

這節(jié)課的課標要求是：“了解直線與圓的位置關(guān)系．”[1]定位比較基礎(chǔ)，思維似乎沒有深度參與的必要．但是，當把這節(jié)課與前后知識相聯(lián)系、與單元課標相結(jié)合，就會發(fā)現(xiàn)有思維深度參與的必要．

“點與圓的位置關(guān)系”是這節(jié)課的知識基礎(chǔ)，這節(jié)課又是“圓與圓的位置關(guān)系”的知識基礎(chǔ)．從圖形直觀的位置關(guān)系到抽象出兩個數(shù)量及其數(shù)量關(guān)系，再到建立位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的對應(yīng)，這三節(jié)課有著共同的認知結(jié)構(gòu)．這個認知結(jié)構(gòu)是學(xué)生可以遷移帶走的東西，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力，是培養(yǎng)學(xué)生深度思維的關(guān)鍵之處．

本章的單元目標要求是：“結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，注重揭示知識的發(fā)生過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷‘觀察、操作—探索、猜想—推理’的認識過程，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題．”因此，教材重點設(shè)置了四個層次的探索活動：直觀感受“直線與圓位置關(guān)系的變化”—探索“直線與圓公共點個數(shù)的變化”與“圓心到直線距離的變化”的對應(yīng)—歸納三種位置關(guān)系并給出相應(yīng)概念—探索“圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系”和“直線與圓的位置關(guān)系”的內(nèi)在聯(lián)系．這樣的“知識的發(fā)生過程”體現(xiàn)了“圖形位置關(guān)系”與“相應(yīng)數(shù)量關(guān)系”相互決定的“數(shù)形結(jié)合”，這個過程中的數(shù)形結(jié)合既是重要的知識內(nèi)容，更是重要的思想方法，也是培養(yǎng)學(xué)生深度思維的關(guān)鍵之處．

3 培養(yǎng)深度思維

3.1 依托教材，前后聯(lián)系，激活學(xué)生深度思維

師：回憶點與圓位置關(guān)系的學(xué)習(xí)過程，從哪些方面探索，得到哪些結(jié)論？相互交流并完成下表．

表1 點與圓的位置關(guān)系研究過程空表

學(xué)生很專注地回憶點與圓的位置關(guān)系，獨立或是通過同桌交流，能夠回憶出研究的過程，從圖形出發(fā)到位置的分類、位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的對應(yīng)等方面．達成共識后，完善表格.

表2 點與圓的位置關(guān)系研究過程完善表

師：若把點替換成直線，直線與圓的位置關(guān)系又怎樣呢？(引出并板書課題)

師：如果請你設(shè)計研究方案，你會怎樣設(shè)計？在導(dǎo)學(xué)單上空白區(qū)設(shè)計你的方案．

學(xué)生會自然地類比點與圓的位置關(guān)系，將直線與圓的位置關(guān)系從畫圖開始，分別從位置關(guān)系、對應(yīng)的數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的對應(yīng)等方面展開．

設(shè)計意圖有意義的學(xué)習(xí)過程就是新知識被原有知識同化的過程．本節(jié)課的上位知識是點與圓的位置關(guān)系，據(jù)此類比導(dǎo)入本節(jié)課，不僅復(fù)習(xí)相關(guān)知識，也回顧了研究方法和思想，將本節(jié)課的研究轉(zhuǎn)化為“點與圓的位置關(guān)系”研究；通過安排設(shè)計直線與圓的位置關(guān)系方案這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生主動類比點與圓的位置關(guān)系，在參與學(xué)習(xí)中感受類比學(xué)習(xí)方法的好處，揭示相同的研究問題的思想方法．這個情境充分依托教材，從數(shù)學(xué)知識的邏輯性來創(chuàng)設(shè)情境、搭建支架，更有利于本節(jié)課的開展．

3.2 開發(fā)教材，邏輯自然，發(fā)展學(xué)生深度思維

師：直線與圓有幾種位置關(guān)系？畫出圖形，思考分類依據(jù)．

大部分學(xué)生很快就能畫出三種圖形，同時能夠說出分類的依據(jù)是直線與圓的公共點個數(shù)：兩個公共點、一個公共點、沒有公共點，共三種情況(圖1).

圖1

教師要做的是在學(xué)生的直覺思維結(jié)果的基礎(chǔ)上發(fā)展學(xué)生的深度思維，拋出問題：只有三種情況嗎？不會有三個公共點嗎？為什么？

學(xué)生陷入困境，該怎樣說明只有三種情況呢？

教師進一步啟發(fā)：如果從運動的角度看，我們的分類是不是不重不漏呢？

學(xué)生很興奮地提出建議：平移直線(也有學(xué)生提出平移圓).教師總結(jié)：不論哪種平移，都是保持一個對象不動，移動另一個對象．然后學(xué)生動手平移，在平移的過程中，學(xué)生們就直線經(jīng)過圓心位置時公共點的個數(shù)到底是幾個進行了爭論，最終達成共識——兩個公共點．

師：根據(jù)直線與圓公共點的個數(shù)來定義直線與圓的三種位置關(guān)系是合理的．

設(shè)計意圖學(xué)生思維是否能深度參與，一定程度上取決于教師對教材的理解基礎(chǔ)上的開發(fā)．教材中是用平移來發(fā)現(xiàn)直線與圓的公共點個數(shù)，在吃透教材意圖的基礎(chǔ)上，筆者基于學(xué)生的學(xué)情(對三種情況的獲得不存在困難，但對為什么只有三種是缺乏思考的)稍作改動，設(shè)計通過平移直線或平移圓的方式檢驗直線與圓的位置關(guān)系，既就過程中可能出現(xiàn)的認知誤區(qū)進行了辯論，又讓學(xué)生感受到直線與圓的位置關(guān)系有三種情況并且只有這三種情況，從而用直線與圓的公共點的個數(shù)定義它們的位置關(guān)系就水到渠成了．學(xué)生對知識發(fā)生發(fā)展脈略的細膩理解，自然發(fā)展了學(xué)生的深度思維．

3.3 挖掘教材，問題驅(qū)動，促進學(xué)生深度思維

按照學(xué)生自己設(shè)計的方案，接下來就要類比點與圓的位置關(guān)系抽象和選擇能夠刻畫相應(yīng)位置關(guān)系的數(shù)量．以“點心距”類比抽象“線心距”(圓心到直線的距離d)，從選擇“點心距”與半徑比較類比選擇“線心距”與半徑比較，這樣的抽象和選擇是自然的．對于少部分不太理解的學(xué)生，筆者仍舊采用平移直線的方式幫助他們直觀理解位置關(guān)系變化帶來的數(shù)量關(guān)系變化．學(xué)生容易通過圖形直觀得到“直線與圓的位置關(guān)系”與“線心距d與圓的半徑r的數(shù)量關(guān)系”之間的對應(yīng)．

學(xué)生比較容易接受作為“知識內(nèi)容”的數(shù)形結(jié)合，但是作為“思想方法”的數(shù)形結(jié)合是要深入體會的．從知識到方法、到能力、到思想，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正有價值的地方，更是培養(yǎng)學(xué)生深度思維的基本途徑．沿著這樣的基本路徑，通過問題串驅(qū)動，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的深度思維．

師：你為什么會選擇垂線段長度與半徑作比較呢？

學(xué)生明顯頓了一下，這個問題讓學(xué)生從“是什么”的形象思維、直覺思維中走出，不得不進行“為什么”的抽象思維、理性思維．原本抬頭看著老師的一張張臉立馬轉(zhuǎn)向?qū)W(xué)單，靜靜思考起來，深度思維悄悄地發(fā)生著．

生1：垂線段最短．

師：是的，再仔細觀察這條垂線段，還有什么特征？

生2：一個端點是圓心，一個端點是垂足.

師：很好！這個垂足在直線的位置上有什么特點呢？

生3：離圓心最近．

師：那就是說我們在直線上找到了一個特殊點，離圓心最近的一個點，就是我們畫垂線段的垂足，也就是說我們把直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成——

生：垂足與圓的位置關(guān)系．

師：非常棒！那我們再來看看這個垂足能否代表直線？

這樣的問題串追問驅(qū)動著學(xué)生深入理解垂足的代表性、轉(zhuǎn)化的合理性，進而達成共識：相離時，直線上所有的點都在圓外，自然最近的點即垂足也在外面，點在圓外，自然有d>r；相切時，有唯一的公共點，那這個點自然是離圓心最近的點即垂足，所以有d=r；相交時，垂足點D在圓O內(nèi)，所以有d

反之，當d>r時，離圓心最近的點都在外面，直線上的其他點也就都在圓外面，那么直線與圓沒有交點，所以直線與圓的位置關(guān)系是相離；當d=r時，垂足D在圓上，直線上其他的點到圓心的距離都大于r，都在圓外，只有點D在圓上，根據(jù)定義可知直線與圓相切；當d

顯然，這樣的共識既形象生動又有著嚴謹?shù)倪壿嫞畬W(xué)生不僅經(jīng)歷了“是什么”的知識學(xué)習(xí)，經(jīng)歷了“怎么辦”的方法操作，也經(jīng)歷了“為什么”的思想體驗，學(xué)生的思維在三層遞進中獲得了深度鍛煉．

設(shè)計意圖在本環(huán)節(jié)研究過程中，筆者并沒有在學(xué)生由直覺思維得到結(jié)論后直接進行練習(xí)教學(xué)，而是緊緊圍繞教材的意圖，拋出問題，激發(fā)學(xué)生深度思維的參與；設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生自然參與、主動參與，教師適時點撥，在深度思維的過程中，學(xué)生的思維能力得到提高，同時在思維深度參與中真切體會到類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合給學(xué)習(xí)帶來的優(yōu)勢．

4 用好教材的反思

自課程標準提出信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教育融合的理念以來，PPT、導(dǎo)學(xué)單等手段使教學(xué)越來越便利的同時，也讓師生越來越遠離教材．教材遵循課標理念，匯聚專家智慧，沿著科學(xué)育人方向，執(zhí)行國家教育方針，是學(xué)生學(xué)習(xí)的根本素材，也是教師教學(xué)的基本素材．身處大數(shù)據(jù)時代，信息技術(shù)與教學(xué)深度融合也需要首先回歸教材、用好教材．

4.1 用好教材基于深度解讀

教材由于篇幅限制、簡約性要求等原因，會簡化或舍棄一些內(nèi)容，這就產(chǎn)生了許多學(xué)生看不見的留白．這正是需要學(xué)生“于無字處讀書”的原因，也是需要教師對教材進行深度解讀的地方．另一方面，教材中的內(nèi)容盡管簡單，但卻是一個內(nèi)涵豐富的綜合體：不僅有顯性的知識結(jié)果，還有隱性的方法過程；不僅有知識之間的關(guān)聯(lián)，還有本質(zhì)之中的思想；不僅有知識運用的技能，還有能力之上的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2]．

用好教材首先要通過深度解讀，研究教材的編排意圖，挖掘上述的豐富內(nèi)涵，設(shè)計成具有育人價值的數(shù)學(xué)活動，學(xué)生的深度思維才能獲得有效培養(yǎng)．本節(jié)課在深度解讀中確定了兩處需要深度思維的地方，從認知結(jié)構(gòu)和思想方法的角度將本節(jié)課置于單元的整體課標要求系統(tǒng)中，充分挖掘課時的育人價值．

4.2 用好教材圍繞深度思維

在深度解讀教材的基礎(chǔ)上，將靜態(tài)的教材素材轉(zhuǎn)化為師生共同參與的動態(tài)生成過程，就是帶領(lǐng)學(xué)生體驗知識學(xué)習(xí)從“是什么”到“為什么”到“怎么用”以及“怎么想到這么用”的過程．“為什么”之后的過程，需要學(xué)生深度思維的參與．這就要求我們在用好教材的時候要緊緊圍繞深度思維開發(fā)教材、拓展教材，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的深度思維真正發(fā)生，鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力．

本節(jié)課從認知結(jié)構(gòu)的角度創(chuàng)設(shè)更具數(shù)學(xué)味的情境，幫助學(xué)生體驗數(shù)學(xué)研究的一般認知模式；在“直線與圓的位置關(guān)系”的定義處設(shè)置操作活動，讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成過程及其細節(jié)；在“直線與圓的位置關(guān)系”與“線心距d與圓的半徑r的數(shù)量關(guān)系”之間的對應(yīng)處設(shè)計問題串，促進學(xué)生深度思考對應(yīng)的合理性．這些都是圍繞深度思維培養(yǎng)對教材的再開發(fā)和拓展．

4.3 用好教材培養(yǎng)深度思維

培養(yǎng)深度思維是用好教材的最終旨歸．課堂上教師設(shè)置符合學(xué)生認知規(guī)律的數(shù)學(xué)活動，提出引領(lǐng)學(xué)生進行深度思維的問題，鼓勵學(xué)生積極參與，以自主探索、合作交流等方式發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、定理等數(shù)學(xué)結(jié)論，感受類比、轉(zhuǎn)變、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法在知識形成過程中的無限魅力，激活深度思維意識；讓學(xué)生經(jīng)歷分析問題、解決問題的過程，感受知識運用的方法和條件，感悟數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，領(lǐng)悟破解困難的指導(dǎo)思想，鍛煉創(chuàng)造性想象力，培養(yǎng)深度思維習(xí)慣．

愛因斯坦曾說:“提出一個問題往往比解決一個問題更重要．因為解決問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏?，而提出新的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學(xué)的真正進步．”[3]我們堅信：用好教材培養(yǎng)深度思維，一定能夠產(chǎn)生這樣的“創(chuàng)造性的想象力”．