韓榮

摘? 要 在初中數(shù)學(xué)“角的平分線的性質(zhì)”這一課程中，教師應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)，可以鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶和理解，拓展學(xué)生的思維空間，提高學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力，從而全面達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);角的平分線的性質(zhì);初中數(shù)學(xué);角平分儀

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2020）07-0125-03

1 前言

隨著我國(guó)新課程改革的深入推進(jìn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)被引入初中數(shù)學(xué)教學(xué)中。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種創(chuàng)新的教學(xué)形式，不僅能滿足新時(shí)代初中生多樣化的學(xué)習(xí)需求，還能讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作建立更加完善的幾何觀念。因此，教師應(yīng)該將數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，為學(xué)生打造更有生趣的數(shù)學(xué)課堂。筆者以“角的平分線的性質(zhì)”一課為例，對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在教學(xué)中的應(yīng)用展開論述。

2 分析教材和學(xué)情，確立本課教學(xué)目標(biāo)

教師要想把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)順利應(yīng)用于教學(xué)，對(duì)教材和學(xué)情進(jìn)行全面分析是十分必要的。只有整體把握教材和學(xué)情，才能樹立明確的課堂教學(xué)目標(biāo)。首先，“角的平分線的性質(zhì)”一課是學(xué)生學(xué)習(xí)了角平分線概念和全等三角形之后要學(xué)習(xí)的課程，是全等三角形課程的延伸教學(xué)內(nèi)容。由角的平分線的性質(zhì)可以了解角的平分線的基本特征，此法在證明兩條線段相等時(shí)經(jīng)常被用到。在數(shù)學(xué)問題中，一旦涉及角的平分線，就可以利用角的平分線的性質(zhì)得出一對(duì)線段相等的已知條件。角的平分線的性質(zhì)的研究過(guò)程為學(xué)生以后學(xué)習(xí)線段垂直平分線的性質(zhì)提供了思路和方法。通過(guò)分析教材可以總結(jié)出，角的平分線的性質(zhì)教學(xué)既是對(duì)之前所學(xué)知識(shí)的拓展應(yīng)用，也是學(xué)生順利進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)的先決條件，具有承上啟下的作用，在教材中也是非常有影響力的一課[1]。

至于學(xué)情方面，八年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備一定的幾何基礎(chǔ)，掌握了基本的幾何語(yǔ)言，推理能力也在積極發(fā)展。這個(gè)年齡段的學(xué)生好奇心很強(qiáng)，有濃厚的實(shí)驗(yàn)探究欲望，具有在教師的引導(dǎo)下開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、探索新知的能力基礎(chǔ)。但是他們?cè)跀?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中還缺乏思維的廣闊性和靈活性，需要教師在教學(xué)中合理引導(dǎo)，設(shè)置科學(xué)的實(shí)驗(yàn)流程。

教師對(duì)教材和學(xué)情認(rèn)真分析之后，可將“角的平分線的性質(zhì)”一課的教學(xué)目標(biāo)分解為知識(shí)技能目標(biāo)、教學(xué)過(guò)程與方法目標(biāo)、情態(tài)目標(biāo)。首先，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握用尺規(guī)畫已知角的平分線的方法，了解角的平分線的性質(zhì)并做到初步運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)本課的知識(shí)技能目標(biāo)。其次，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中提高學(xué)生運(yùn)用三角形全等有關(guān)知識(shí)解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的幾何觀念和抽象概括能力，實(shí)現(xiàn)本課的教學(xué)過(guò)程與方法目標(biāo)。最后，教師應(yīng)該在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣，使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中獲取更多探究的信心和成就感，發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的作用，培育學(xué)生的理性精神，實(shí)現(xiàn)本課的情態(tài)目標(biāo)。

3 創(chuàng)設(shè)生活情境，完成新課導(dǎo)入

俗話說(shuō)：“好的開始是成功的一半?！毙抡n導(dǎo)入是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。在本課中，教師在開展新課導(dǎo)學(xué)活動(dòng)時(shí)，先復(fù)習(xí)之前學(xué)過(guò)的“角平分線的定義”和“點(diǎn)到直線的距離”相關(guān)知識(shí)，然后創(chuàng)設(shè)問題情境，利用學(xué)生的好奇心理，激發(fā)學(xué)生對(duì)新課程的探索興趣[2]。問題情境如下：

某市有一大型購(gòu)物中心，它建在公路線和鐵路線所成角的平分線上（圖1）。要在購(gòu)物中心所在的點(diǎn)建兩條路，一條直達(dá)公路線，一條直達(dá)鐵路線，怎樣修建才能使路程最短？這兩條路有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

教師聯(lián)系實(shí)際生活為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫出最短的路線，幫助學(xué)生由解決實(shí)際問題抽象出點(diǎn)到直線的距離，使學(xué)生深刻地感知到數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際生活是息息相關(guān)的。同時(shí)以“這兩條路有怎樣的數(shù)量關(guān)系”這一問題引發(fā)學(xué)生的思考，完成新課導(dǎo)入工作。

4 開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，積極探索新知

在新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師直接給出圖1中角的平分線，在接下來(lái)的新知探索環(huán)節(jié)需要通過(guò)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生掌握作角的平分線的簡(jiǎn)易方法，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言書寫能力，幫助學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中推導(dǎo)出角的平分線的性質(zhì)，完成課程知識(shí)的吸納。這一環(huán)節(jié)，教師可以創(chuàng)設(shè)兩個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。

【實(shí)驗(yàn)活動(dòng)一】教師設(shè)問：“你能否利用之前所學(xué)的知識(shí)，確定一個(gè)角的角平分線？不依靠工具輔助，有什么辦法可以將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角？”學(xué)生通過(guò)交流探討和實(shí)驗(yàn)操作，利用之前學(xué)過(guò)的知識(shí)和量角器，確定一個(gè)角的角平分線;采用對(duì)折的方式將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角。這樣，學(xué)生就在實(shí)驗(yàn)中掌握了作角的平分線的簡(jiǎn)易方法。

師：同學(xué)們做得都很好。假如我們把實(shí)驗(yàn)中的紙片改成瓷磚、鋼板等無(wú)法折疊的材質(zhì)，如何確定角的平分線呢？在確定角平分線時(shí)，除了可以用量角器之外，其實(shí)角平分儀也可以。（展示課件，如圖2所示。）屏幕上就是一個(gè)平分角的儀器，其中AD=AB，BC=DC，點(diǎn)A設(shè)置于角的頂點(diǎn)，AD和AB沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個(gè)角的平分線，你們知道這是為什么嗎？

教師利用三角形全等知識(shí)幫助學(xué)生整理分析思路，進(jìn)而列出數(shù)學(xué)語(yǔ)言關(guān)系式（圖3），鍛煉書寫數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力。

接下來(lái)，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察角平分儀，分析角平分儀的制作原理，然后設(shè)置一個(gè)作已知角平分線的問題：已知∠AOB，求作∠AOB的平分線。鼓勵(lì)學(xué)生以小組合作的形式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探討，總結(jié)出作一個(gè)已知角平分線的方法。在這一過(guò)程中，教師要不間斷巡視指導(dǎo)，及時(shí)修正學(xué)生探究過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤。最后，各組學(xué)生得出作圖方法之后，將方法匯總給教師，教師在黑板上進(jìn)行展示（圖4），并復(fù)述畫法：以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N兩點(diǎn)，再以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)相交于C點(diǎn)，從O點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)作射線OC，射線OC就是∠AOB的平分線。

師：在這個(gè)作法中，我們能不能將“大于MN的長(zhǎng)度”改成“小于或者等于MN的長(zhǎng)度”？?jī)苫〉慕稽c(diǎn)一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？

教師在學(xué)生作圖之后提出這兩個(gè)問題，可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)角平分線作法的記憶和理解，讓學(xué)生的思考中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。學(xué)生針對(duì)問題展開思考和探討，可以得到討論結(jié)果。

甲生：不行，將“大于MN的長(zhǎng)度”改成“小于或者等于MN的長(zhǎng)度”，所作的兩弧可能沒有交點(diǎn)，就找不到角的平分線了。

乙生：根據(jù)我們的作圖方法，兩弧的交點(diǎn)可能在∠AOB的內(nèi)部，也可能在∠AOB的外部。題目要求作∠AOB的平分線，所以我們需要的是∠AOB內(nèi)部的交點(diǎn)。如果選擇外部的交點(diǎn)，就無(wú)法得到∠AOB的平分線了。

最終通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和交流探討，學(xué)生得出結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也即得到過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線垂線的方法。

【實(shí)驗(yàn)活動(dòng)二】教師引導(dǎo)學(xué)生拿出用紙片做的角即∠AOB，在∠AOB的角平分線上任意取一點(diǎn)P，從P點(diǎn)分別向OA和OB做垂線，用尺子量一下P點(diǎn)到兩邊的垂線段的長(zhǎng)度關(guān)系，再在角平分線上任取兩點(diǎn)，以同樣的方式探索這些點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長(zhǎng)度關(guān)系。

學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作、觀察、測(cè)量和對(duì)比，可以得出結(jié)論：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。這是學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論，要進(jìn)一步完善實(shí)驗(yàn)結(jié)論，教師還要引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以證明。證明過(guò)程中要分清題設(shè)和結(jié)論，使學(xué)生的理論思維得到拓展，能夠使用規(guī)范化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言總結(jié)角的平分線性質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)定理的記憶和理解。經(jīng)過(guò)教師的糾錯(cuò)和指導(dǎo)，學(xué)生得出證明過(guò)程：

至此，學(xué)生利用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言證明了實(shí)驗(yàn)結(jié)論，得到角的平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。也明確了此定理證明線段相等的作用。

教師采取數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)和分組探究相結(jié)合的教學(xué)模式，不僅達(dá)成本課的知識(shí)技能目標(biāo)，也實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在本課中的完美應(yīng)用，達(dá)成教學(xué)過(guò)程和方法目標(biāo)，進(jìn)一步完善了學(xué)生的幾何觀念和抽象概括能力，有效培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)探究精神。學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中體驗(yàn)到收獲新知的快樂，進(jìn)而養(yǎng)成優(yōu)良的實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)習(xí)慣，更加積極主動(dòng)地投身于實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，也就實(shí)現(xiàn)了教師將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)用于本課的情態(tài)目標(biāo)。

5 設(shè)計(jì)應(yīng)用練習(xí)，有效鞏固新知

學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中完成對(duì)新知識(shí)的領(lǐng)悟，教師應(yīng)趁熱打鐵，設(shè)計(jì)一些相關(guān)習(xí)題，強(qiáng)化學(xué)生的定理運(yùn)用能力，鞏固學(xué)習(xí)效果。在這一環(huán)節(jié)，教師可設(shè)計(jì)三道判斷題，同時(shí)出示相關(guān)圖片（圖5）。

學(xué)生在應(yīng)用練習(xí)中可以在這三道判斷題的題目中得到已知條件，然后運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)，即在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，進(jìn)而對(duì)題目進(jìn)行正確判斷，實(shí)現(xiàn)新知的應(yīng)用和鞏固。

6 回顧實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，完成課堂總結(jié)

最后，教師要帶領(lǐng)學(xué)生回顧本課的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)內(nèi)容，再次總結(jié)本課的知識(shí)要點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)角的平分線的性質(zhì)定理的掌握，完成課堂總結(jié)的同時(shí)，也讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)貫穿課堂教學(xué)的始終，彰顯數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的優(yōu)越效用。

7 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅可以讓學(xué)生的操作能力和思維能力同步發(fā)展，而且非常適用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)。筆者以“角的平分線的性質(zhì)”一課為例，細(xì)致剖析了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用策略，在提升學(xué)生的實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)能力、鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同時(shí)，也為學(xué)生幾何觀念的養(yǎng)成探求到更有效的途徑。因此，教師應(yīng)該積極將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助學(xué)生在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中獲取更充沛的思維滋養(yǎng)，從而有效提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)

[1]郭小霞.重視圖形性質(zhì) 聚焦基本圖形 培養(yǎng)直觀想象：以人教版八年級(jí)上冊(cè)“垂直平分線的性質(zhì)”的教學(xué)為例[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（12）：28-31.

[2]吳洪飛.創(chuàng)設(shè)有效課堂 引領(lǐng)思維發(fā)展：以人教版教材“角平分線的性質(zhì)”教學(xué)為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（12）：

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