陳宇 張江濤 夏宗基

摘 要：針對(duì)電容層析成像（ECT）圖像重建的“軟場”效應(yīng)和病態(tài)性問題，提出了基于同倫延拓正則化及自調(diào)比校正（HER-SSM）的ECT圖像重建算法。該算法在ECT理論的基礎(chǔ)上，將同倫延拓思想與正則化方法相結(jié)合，而且結(jié)合自調(diào)比推導(dǎo)出相應(yīng)的校正公式，最終獲得關(guān)于ECT圖像重建反問題的數(shù)學(xué)模型。用該算法進(jìn)行數(shù)字仿真模擬實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證其有效性。仿真實(shí)驗(yàn)通過與經(jīng)典Landweber算法、SD法等其它成像算法結(jié)果的比較分析，表明該算法在解決ECT圖像重建問題上，具有圖像成像質(zhì)量高、收斂速度快、迭代次數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，是一種解決ECT成像問題的有效算法。

關(guān)鍵詞：電容層析成像;圖像重建;同倫延拓;自調(diào)比校正

DOI：10.15938/j.jhust.2020.05.007

中圖分類號(hào)： TN911.73

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2020）05-0047-07

Abstract：In order to solve the “soft field” and uncertainty problems in electrical capacitance tomography， a homotopy extension regularization and self-scaling metric image reconstruction algorithm for electrical capacitance tomography is presented. On the basis of ECT theory， the algorithm combines homotopy continuation with regularization method， and derives the corresponding correction formula combined with self-tuning ratio. Finally， the mathematical model of inverse problem of ECT Image reconstruction is derived. The algorithm is used in digital simulation experiment to verify its effectiveness. The simulation results are compared with the classical Landweber algorithm， SD algorithm and other imaging algorithms. The results show that the algorithm has the advantages of high image quality， fast convergence speed and less iteration times in ECT Image reconstruction. It is an effective algorithm to solve ECT imaging problems.

Keywords：electrical capacitance tomography; image reconstruction; homotopy extension; self-scaling metric

0 引 言

電容層析成像（electrical capacitance tomography， ECT）技術(shù)是借鑒醫(yī)學(xué)發(fā)展而來的一種新的過程層析成像技術(shù)[1-2]，相比于其它過程層析成像技術(shù)來說，具有容易實(shí)現(xiàn)、成本低廉、安全性高、使用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)[3]，已經(jīng)廣泛運(yùn)用于能源、冶金、石油化工、醫(yī)藥、航空等眾多兩相流和多相流檢測領(lǐng)域 [4-5]。由于ECT反問題是一個(gè)高度的非線性問題，介質(zhì)中的物質(zhì)變化與外界的干擾會(huì)造成“軟場”效應(yīng)，而且由于敏感場靈敏度的分布不均勻，給ECT圖像重建帶來較差的穩(wěn)定性和病態(tài)結(jié)果[6]。因此需要尋找更加優(yōu)秀的ECT圖像重建算法。

為了優(yōu)化并解決上述一系列問題，國內(nèi)外學(xué)者和科研人員提出了許多優(yōu)秀的ECT圖像重建算法，目前常用的算法有如下幾種：線性反投影算法（LBP）[7]，該算法具有結(jié)構(gòu)簡單和成像速度快等優(yōu)點(diǎn)，但是成像精度較低，效果不好。Landweber迭代法[8]，該算法在穩(wěn)定性和成像精度方面較為出色，但是由于搜索方向不理想，會(huì)導(dǎo)致有可能迭代不到最優(yōu)解。共軛梯度算法（CG）[9]，由于該算法的系數(shù)矩陣必須是對(duì)稱正定，所以該算法在簡單流型的成像效果較好，精度較高，但是在復(fù)雜的流型中圖像精度誤差較大，效果明顯下降。最速下降算法（SD）[10]，該算法以負(fù)梯度方向作為極小化算法的下降方向，實(shí)現(xiàn)簡單，但在多數(shù)流型中迭代次數(shù)較多，在較為復(fù)雜的流型中誤差較大，尤其是小半徑核心流，效果極差。通過分析上述幾種算法，可以得到每種方法都有自己的優(yōu)勢，但是也相應(yīng)存在著一些局限性。因此，在實(shí)際生活應(yīng)用中，想要找到一種理想的ECT圖像重建算法來解決工業(yè)需求，還需要不斷的深入研究與完善。

本文提出了基于同倫延拓正則化及自調(diào)比校正的ECT圖像重建算法，目的是加強(qiáng)ECT圖像重建時(shí)的穩(wěn)定性，獲得更好的圖像重建效果。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，該算法作用于低層流型、中位層流型和小半徑核心流型的重建圖像時(shí)，其圖像精度明顯高于LBP、Landweber、CG和SD算法，同時(shí)該算法在迭代次數(shù)方面也表現(xiàn)得較為出色，為電容層析成像圖像重建領(lǐng)域提供了一個(gè)有效的新途徑。

1 ECT技術(shù)原理概要

ECT圖像重建系統(tǒng)的主要組成為三大部分：電容傳感器裝置，數(shù)據(jù)采集與測量系統(tǒng)以及負(fù)責(zé)成像的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)[11-12]，如圖1所示。

在ECT圖像重建研究中，經(jīng)常使用8、12、16電極板數(shù)量的電容傳感器裝置。本文選用的是經(jīng)典12電極的ECT系統(tǒng)作為實(shí)驗(yàn)裝置[13]。

電容層析成像的工作原理[14-15]：由于不同介質(zhì)在一定頻率下的介電常數(shù)不同，對(duì)電容傳感器施加激勵(lì)后，監(jiān)測對(duì)象內(nèi)部多相流體的分布隨之發(fā)生變化。根據(jù)測量電極間的電容敏感原理，電容傳感器極板間的值也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化[16]，通過電容傳感器測量被測物體截面區(qū)域上的數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集數(shù)據(jù)，經(jīng)過濾波、變換、放大等一系列相關(guān)操作，然后把處理之后的數(shù)據(jù)傳給成像計(jì)算機(jī)，經(jīng)過圖像重建系統(tǒng)建立被測物體截面內(nèi)部的介質(zhì)實(shí)時(shí)分布圖，最終由成像裝置反饋給用戶。

測量極板間電容值流程如下：首先，將1號(hào)電極當(dāng)作源極板，施加交流激勵(lì)電壓，剩余2，3，…，12號(hào)電極作為檢測電極，進(jìn)行接地處理，依次對(duì)1-2，1-3，1-4，…，1-12電極對(duì)之間進(jìn)行測量電容值。然后，按照上述方式，再將2號(hào)電極作為源極板，同時(shí)施加交流激勵(lì)電壓，剩余3，4，…，12號(hào)電極作為檢測電極，也進(jìn)行接地處理，獲得2-3，2-4，…，2-12電極對(duì)之間的電容值。以此類推，最后將11號(hào)電極作為源極版，施加交流激勵(lì)電壓，12號(hào)電極作為檢測電極，獲得11-12號(hào)電極之間的電容值?？偣怖塾?jì)獲得66組獨(dú)立的電容值。

大多數(shù)ECT圖像重建的數(shù)學(xué)模型都是以電容值到介質(zhì)分布映射模型為基礎(chǔ)，經(jīng)過線性化、離散化以及歸一化處理后的最終的ECT系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如式（2）所示：

式（2）中， C∈Rm表示電容傳感器測得的歸一化電容向量， S∈Rm×n表示靈敏度矩陣， G∈Rn表示流體內(nèi)各介質(zhì)分布的歸一化圖像向量。因此，ECT圖像重建的目的就是通過測量的電容值，結(jié)合靈敏度矩陣解出流體內(nèi)各介質(zhì)的分布，獲得介質(zhì)分布圖像。

2 基于同倫延拓及自調(diào)比的ECT反問題求解

2.1 非線性不適定方程求解介紹

首先，設(shè)電容層析成像反問題求解的非線性不適定算子方程如式（3）所示：

由于真解G*不連續(xù)依賴于右側(cè)數(shù)據(jù)C，在計(jì)算過程中可能導(dǎo)致矩陣奇異，得不到最終解，所以本文通過增加一個(gè)正則化參數(shù)α來解決在計(jì)算過程中可能會(huì)出現(xiàn)矩陣奇異的問題，正則化參數(shù)表達(dá)式如式（5）所示：

通過上述迭代公式，不難看出，解決上述問題的關(guān)鍵是如何選擇合理的正則化參數(shù)。如果正則化參數(shù)α值太小，正則化效果不明顯，在計(jì)算過程中矩陣仍有可能出現(xiàn)奇異的情況。如果α值太大，有可能過分正則化，導(dǎo)致得到的介質(zhì)分布解不準(zhǔn)確，誤差較大。在式（13）中，可以發(fā)現(xiàn)正則化參數(shù)α與同倫參數(shù)λk密切相關(guān)，因此將參數(shù)α與λk放在一起考慮。本文采用后驗(yàn)正則參數(shù)選擇方法Morozov偏差原則[18]，即選取α=α（k）使得：

3 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

上文中給出了同倫延拓及自調(diào)比校正的理論以及公式，為接下來的ECT圖像重建反問題提供基礎(chǔ)。本次仿真實(shí)驗(yàn)的硬件如下：12電極的ECT系統(tǒng)，測試管道的橫截面被分成32×32小型像素點(diǎn)。用于仿真實(shí)驗(yàn)成像的計(jì)算機(jī)配置如下：Intel（R） Core（TM）i7-8700 CPU @3.20GHz處理器，RAM大小為16.0G，系統(tǒng)類型為基于x64處理器的Windows 64位系統(tǒng)，使用MATLAB軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的圖像成像與分析。

本次仿真實(shí)驗(yàn)主要對(duì)低位層流，中位層流，小半徑核心流以及柱狀流型進(jìn)行預(yù)先設(shè)定，其中低位層流和中位層流都屬于層流型，本文將整個(gè)管道抽象為半徑為0.0768m的圓，圓心坐標(biāo)為（0，0），那么低位層流是指水的高度低于水平高度為-0.0512m的水平流型，中位層流是指水的高度低于水平高度為-0.0256m的水平流型，小半徑核心流則屬于核心流型。采用本文主要研究的HER-SSM算法進(jìn)行圖像的重建。同時(shí)采用SD法，CG法，LBP法和經(jīng)典Landweber算法進(jìn)行圖像重建，將HER-SSM算法與其他算法的重建圖像結(jié)果進(jìn)行對(duì)比和分析。

其中：n表示成像區(qū)域單元總數(shù);gimg表示重建圖像向量;ginit表示介質(zhì)分布原型圖像向量;i表示成像區(qū)域剖分單元索引。

實(shí)驗(yàn)中以迭代次數(shù)作為此次實(shí)驗(yàn)速度優(yōu)劣的判定標(biāo)準(zhǔn)。迭代次數(shù)N越大，表示電容層析成像圖像重建所花的時(shí)間越長，當(dāng)實(shí)驗(yàn)的迭代誤差達(dá)到一定值的時(shí)候就停止迭代，停止迭代的條件如下：

同倫延拓正則化及自調(diào)比算法與其它4種經(jīng)典算法的圖像重建效果對(duì)比如圖2所示（其中深色區(qū)域表示水，淺色區(qū)域表示變壓器油）。

根據(jù)上表的對(duì)比分析可以得出，每種算法的圖像重建結(jié)果都比較接近原始圖像，但是都與原始圖像存在視覺上的誤差。其中，在低位層流中，HER-SSM算法與Landweber算法重建圖像結(jié)果與原始圖像最為接近，但是HER-SSM算法重建效果更好。并且在小半徑核心流型中，HER-SSM算法重建圖像最接近于原始圖像。而在柱狀流型中，HER-SSM算法的重建圖像與原始圖像存在一定誤差，但是在視覺效果上大體上接近于原始圖像。綜上所述，本文所論述的HER-SSM算法在直觀的圖像重建方面對(duì)比于其他四種經(jīng)典算法，它的成像質(zhì)量高，最為接近原始流型，在忽略其小缺點(diǎn)基礎(chǔ)上，是能夠較好的應(yīng)用于電容層析成像圖像重建領(lǐng)域。

為了方便起見，采用字母（a），（b），（c），（d）來表示低位層流、中位層流、小半徑核心流與柱狀流型。表1中展示了每種算法在不同的流型中重建的圖像與原始圖像的誤差百分比。

表1中列出的是上述幾種算法的圖像重建誤差。通過觀察誤差率，可以發(fā)現(xiàn)本文提出的HER-SSM算法相對(duì)于其他幾種經(jīng)典的算法在低層流型、中位層流型和小半徑核心流型中有著非常好的表現(xiàn)，其誤差率能夠達(dá)到最小。但是對(duì)于柱狀流型來說，其誤差相對(duì)較大，成像效果一般。

同倫延拓正則化及自調(diào)比算法與其他算法的范數(shù)殘量誤差比較如圖3所示。

圖3對(duì)于仿真實(shí)驗(yàn)的4種流型，將HER-SSM算法分別與CG、SD和Landweber 3種經(jīng)典算法0～20步迭代的二范數(shù)殘量誤差進(jìn)行對(duì)比，其中藍(lán)色曲線表示HER-SSM算法的范數(shù)殘量誤差曲線。從圖2中可以得到，在4種流型中，HER-SSM算法的范數(shù)殘量誤差在前期都優(yōu)于其他3種算法，雖然后續(xù)迭代范數(shù)殘量誤差不斷變大，但最終也都趨于穩(wěn)定達(dá)到最小。范數(shù)殘量誤差僅是判斷算法優(yōu)劣的其中一個(gè)指標(biāo)，而且算法本身的迭代就是一個(gè)向最優(yōu)解靠近的過程，但是由于算法初始值的不同，可能會(huì)導(dǎo)致在迭代過程的前期出現(xiàn)范數(shù)殘量誤差不穩(wěn)定的現(xiàn)象。隨著算法迭代步數(shù)的不斷增加，恰好在10次左右介質(zhì)分布的圖像向量G迭代到最優(yōu)值，而達(dá)到最優(yōu)值以后范數(shù)殘量誤差降到最小，最終趨于穩(wěn)定;在小半徑核心流型中，CG算法參數(shù)值波動(dòng)太大，HER-SSM算法在第10次迭代時(shí)范數(shù)殘量誤差達(dá)到最高值，后續(xù)迭代又逐漸減小。對(duì)于柱狀流型，HER-SSM算法在起初優(yōu)于其他3種算法，范數(shù)殘量誤差最小，但中間幾次迭代時(shí)，范數(shù)殘量誤差都明顯大于其它3種算法，在第11次迭代之后又逐漸趨于平穩(wěn)，達(dá)到最優(yōu)。

通過表2可見，在柱狀流型中，HER-SSM算法迭代步數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其它3種經(jīng)典算法;在其它3種流型中，該算法也領(lǐng)先于SD 算法和Landweber算法這兩種經(jīng)典的迭代算法，這是因?yàn)镠ER-SSM算法改善了算法的單步收斂速度，而且設(shè)置了正則化參數(shù)αk，優(yōu)化了迭代初值G0。因此，HER-SSM算法能夠有較快的收斂性，迭代次數(shù)相對(duì)較少。

綜上，可以證明同倫延拓正則化及自調(diào)比算法在ECT圖像重建領(lǐng)域是一種比較優(yōu)秀的算法，該算法在低位層流以及小半徑核心層流的圖像重建結(jié)果中，成像質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他的幾種算法，而且在收斂速度上也具有很大優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

本文提出了基于同倫延拓正則化及自調(diào)比校正方法的ECT圖像重建算法，在ECT圖像重建領(lǐng)域?qū)ER-SSM算法進(jìn)行理論推導(dǎo)，然后結(jié)合ECT系統(tǒng)推導(dǎo)出了算法的最終迭代公式和自調(diào)比因子的校正公式。最后，將HER-SSM算法與LBP算法、經(jīng)典Landweber算法、CG算法和SD算法一起進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。通過5種算法仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)HER-SSM算法在ECT重建圖像領(lǐng)域的低位層流以及小半徑核心流型具有最好的成像精度，并且該算法所需的迭代次數(shù)也少于其他算法，是一種可行有效的ECT圖像重建算法。

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（編輯：溫澤宇）