劉厚良，吳小太

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

時(shí)變系統(tǒng)在自然界與工程界中廣泛存在，需要建立時(shí)變的系統(tǒng)模型，并分析其性質(zhì)特征。時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究受到了專家學(xué)者們的廣泛關(guān)注。由于系統(tǒng)的時(shí)變特征導(dǎo)致現(xiàn)有文獻(xiàn)中時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關(guān)研究方法不能被應(yīng)用到時(shí)變系統(tǒng)上來(lái),這給時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn)。近年來(lái),線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定化研究取得了一定的進(jìn)展，例如：Zhou[1]給出了線性時(shí)變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性、指數(shù)穩(wěn)定性和一致指數(shù)穩(wěn)定性的充要條件。Yu[2]等總結(jié)了研究時(shí)變系統(tǒng)的幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題,隨后給出了兩種不同的時(shí)變系統(tǒng)模型描述方法并分析討論了不同的時(shí)變系統(tǒng)控制方法,最后就時(shí)變系統(tǒng)研究趨勢(shì)及核心問(wèn)題探討了時(shí)變系統(tǒng)控制問(wèn)題的研究方向。Date[3]等研究了一類線性時(shí)變控制系統(tǒng),并且給出了一種設(shè)計(jì)線性狀態(tài)反饋控制器和Luenberger觀測(cè)器的方法。Zhou[4]等在Razumikhin定理和Krasovskii定理?xiàng)l件下對(duì)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析,并推廣了經(jīng)典Razumikhin和Krasovskii條件下時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理。

由于對(duì)系統(tǒng)的所有狀態(tài)進(jìn)行連續(xù)時(shí)間的觀測(cè)反饋非常困難,近年來(lái)離散時(shí)間的反饋控制受到了廣大學(xué)者們的重視。例如:Krishnasamy[5]等在Wirtinger不等式的基礎(chǔ)上,構(gòu)造分段Lyapunov-Krasovskyii泛函,研究了基于采樣-數(shù)據(jù)控制的切換中立型系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題。Briat[6]將確定性脈沖系統(tǒng)的結(jié)論推廣到隨機(jī)集上,利用駐留時(shí)間的工具給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件,并將所得結(jié)果應(yīng)用于隨機(jī)采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的分析與控制。Wang[7]等通過(guò)構(gòu)造一類分段Lyapunov-Krasovskii泛函，解決了基于狀態(tài)量化的采樣數(shù)據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題。Zhao[8]等研究了具有異步切換與量化輸入的切換中立系統(tǒng)的采樣控制問(wèn)題，并最終設(shè)計(jì)了一種基于采樣數(shù)據(jù)的具有傳輸延遲的控制器。Zhang[9]等研究了一類線性時(shí)變系統(tǒng)的采樣數(shù)據(jù)控制問(wèn)題，首先將Halanay不等式擴(kuò)展到時(shí)變采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)，然后基于比較原理和擴(kuò)展的Halanay不等式，給出了相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的全局一致指數(shù)穩(wěn)定性和全局一致漸近穩(wěn)定性的新判據(jù)，接著提出了一種求解增益矩陣問(wèn)題的算法，最終給出了一個(gè)例子以證明所得到結(jié)果的有效性。

在現(xiàn)實(shí)中系統(tǒng)往往會(huì)受到隨機(jī)因素的干擾，需要建立隨機(jī)微分系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)進(jìn)行建模分析。例如：Wu[10]等研究了具有時(shí)變時(shí)滯的切換隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性。利用數(shù)學(xué)歸納法、分段李雅普諾夫函數(shù)和平均駐留時(shí)間方法研究了具有穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換隨機(jī)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。Florchinger[11]利用LaSalle不變性原理，設(shè)計(jì)出隨時(shí)間變化的反饋定律，證明了系統(tǒng)依概率漸近穩(wěn)定。

綜上所述，雖然對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)采樣控制的研究取得了豐富的成果，但對(duì)于隨機(jī)時(shí)變系統(tǒng)采樣控制的研究仍需進(jìn)一步完善。文獻(xiàn)[9]對(duì)確定性時(shí)變系統(tǒng)的采樣控制問(wèn)題進(jìn)行了深入地探討，而對(duì)隨機(jī)時(shí)變系統(tǒng)的采樣控制問(wèn)題有待于進(jìn)一步去探索。同時(shí)，文獻(xiàn)[9]中的方法并不能被直接應(yīng)用到隨機(jī)時(shí)變系統(tǒng)的采樣控制研究。對(duì)于隨機(jī)時(shí)變系統(tǒng)的采樣控制，需要使用隨機(jī)分析的方法進(jìn)行研究，其分析方法遠(yuǎn)比確定性系統(tǒng)復(fù)雜。因此，研究了一類線性時(shí)變系統(tǒng)的采樣控制問(wèn)題，相關(guān)理論結(jié)果可以拓廣文獻(xiàn)[9]的部分結(jié)論。

1 模型構(gòu)建

研究如下線性隨機(jī)時(shí)變微分系統(tǒng)：

dx(t)=[A(t)x(t)+B(t)u(t)]dt+C(t)x(t)dW(t)。

(1)

式中，x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；A(t)∈Rn×n以及B(t)∈Rn×m為時(shí)變矩陣；W(t)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)；u(t)∈Rm為控制輸入；記系統(tǒng)初值x(t0)?x(0)。假定采樣控制器滿足

u(t)=K(tk)x(tk),t∈[tk,tk+1)。

(2)

式中，K(tk)為控制增益矩陣。樣本序列tk(k=0,1,2,…)滿足t0

將系統(tǒng)(2)代入系統(tǒng)(1)，可得到如下離散時(shí)間采樣的閉環(huán)系統(tǒng)：

dx(t)=[A(t)x(t)+B(t)K(tk)x(tk)]dt+C(t)x(t)dB(t)。

(3)

下面將對(duì)系統(tǒng)(3)的穩(wěn)定性進(jìn)行討論。在此之前，需要一些相關(guān)定義。對(duì)于每一個(gè)V∈C1,2，針對(duì)系統(tǒng)(1)，定義算子LV:[t0,∞)×Rn。

LV(t,x(t))=Vt(t,x(t))+Vx(t,x(t))[A(t)x(t)+B(t)u(t)]+

(4)

在證明主要結(jié)論前需要給出一些相關(guān)定義和引理。

定義1[9]假定函數(shù)β(·，·)為KL函數(shù)，對(duì)于?t≥t0滿足

‖x(t)‖≤β(‖x(t0)‖,t-t0),

則稱系統(tǒng)(2)滿足全局一致漸近穩(wěn)定性。進(jìn)一步，如果存在兩個(gè)正常數(shù)M0和α滿足

‖x(t)‖≤M0e-α(t-t0),

則稱系統(tǒng)(3)滿足全局一致指數(shù)穩(wěn)定性。

引理1[9]若l(t)為[t0,+∞)上的全局一致穩(wěn)定函數(shù)，則存在3個(gè)非負(fù)常數(shù)c,d與T，使得對(duì)?t≥t0有

(5)

假設(shè)1 對(duì)于線性隨機(jī)時(shí)變系統(tǒng)(3)，存在可導(dǎo)對(duì)稱矩陣值函數(shù)P(t)，全局一致穩(wěn)定函數(shù)l(t)以及一個(gè)常量0≤p1≤p2滿足

(6)

和

p1In≤P(t)≤p2In。

(7)

(8)

證明由常數(shù)變易法可知：

2 主要結(jié)果

下面將使用引理2來(lái)研究線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

定理1 設(shè)l(t),h(t)為[t0,+∞)上的連續(xù)函數(shù)，|l(t)|≤γ。若存在函數(shù)y(t)∈R+滿足

y(t)≤l(t)y(t)+h(t)y(tk),t∈[tk,tk+1)。

(9)

記

②若u(t)為全局一致穩(wěn)定函數(shù)，則

這里c,d為非負(fù)常數(shù),如引理1定義。

證明首先，構(gòu)造方程

(10)

這里y1(tk)=y(tk),k∈N。注意到系統(tǒng)(9)與系統(tǒng)(10)的形式，由比較定理可得：

y(t)≤y1(t)。

(11)

此時(shí)根據(jù)引理2可得：

也即

(12)

由式(12)有

(13)

與

(14)

將式(14)代入(13)可得：

(15)

(16)

結(jié)合式(11)，有

(17)

由式(12)，有

(18)

以及

(19)

推論1 設(shè)l(t),h(t)為[t0,+∞)上的連續(xù)函數(shù)，|l(t)|≤γ。若存在函數(shù)y(t)∈R+滿足

(20)

記

②若u(t)為全局一致穩(wěn)定函數(shù)，則存在常數(shù)c,d使得

證明注意到ln(1+x)≤x,對(duì)于x>0,可得：

ln(1+ak)

(21)

(22)

同理，由定理1的證明可知推論1成立。

注1：由推論1可知，定理1拓廣了文獻(xiàn)[9]中定理1的假定條件，可以有效降低文獻(xiàn)[9]中結(jié)論的保守性。

定理2 在假設(shè)1成立的條件下，

①存在一個(gè)正常量η使得：

②若存在一個(gè)正常數(shù)η使得l(t)+η+h(t)e(γ+η)h為全局一致穩(wěn)定函數(shù)，則系統(tǒng)(3)滿足全局一致指數(shù)穩(wěn)定。

證明①對(duì)于系統(tǒng)(3),由依藤公式可得：

(23)

對(duì)上式兩邊同時(shí)取期望可得：

(24)

于是，對(duì)于t,t+Δt∈(tk,tk+1)，有

(25)

注意到LV(x,x(t))的連續(xù)性，可得：

ELV(t,x(t)),t∈[tk,tk+1)。

(26)

假定V(t,x(t))=xT(t)P(t)x(t),t∈[tk,tk+1)。注意到xT(t)cT(t)P(t)c(t)x(t)是一維變量，由于

LV(t,x(t))=Vt(t,x(t))+Vx(t,x(t))((A(t)x(t)+B(t)K(tk)x(tk))+

xT(t)cT(t)P(t)c(t)x(t)，

代入可得：

xT(tk)KT(tk)BT(t)P(t)x(t)+xT(t)P(t)B(t)K(tk)x(tk)≤l(t)V(t,x(t))+

(27)

有

由定理1可知系統(tǒng)(3)滿足全局一致穩(wěn)定。

②參考定理2的證明可以很容易得出該結(jié)論。

注2:根據(jù)文中定理2的結(jié)論，結(jié)合文獻(xiàn)[9]中的時(shí)變系統(tǒng)采樣控制器設(shè)置的方法，可以類似給出相應(yīng)系統(tǒng)(3)的采樣控制器。由于文章篇幅有限，不再對(duì)控制器的設(shè)置進(jìn)行贅述。