姜忠宇，江 莉，趙 創(chuàng)

(1.安徽工程大學 建筑工程學院，安徽 蕪湖 241000；2.安徽工程大學 力學重點實驗室，安徽 蕪湖 241000)

嵌巖樁以其低沉降、高承載力、工程適應性強等優(yōu)點，在高層建筑、重型廠房及橋梁工程中得到了廣泛的應用[1]。但由于其承載力大，試驗耗費高，難以進行破壞性試驗，制約了人們對嵌巖樁破壞模式的認識。而且樁基的性質多種多樣，樁基強度取決于巖體強度、嵌巖深度與樁徑等，因而樁基的破壞模式與承載力也有所不同，對不同樁基應有不同破壞模式[2]。張建新[3]等對嵌巖樁的荷載試驗研究表明，嵌巖樁的破壞特性和樁身與樁周巖體的相對強度與剛度有關；當樁身承載力比基巖承載力低時，破壞發(fā)生在樁體；當樁身承載力比基巖高時，破壞發(fā)生在樁底基巖及樁與周圍巖土界面上。因而，探究樁端處的應力與端部約束間的關系，對提高樁的承載力，改善端部應力分布有至關重要的影響。以往參考資料多從實驗或數(shù)值模擬的角度分析端部約束效應，沒有從理論上揭示其本質規(guī)律，給出合理的解釋[4-6]。

目前盡管有許多精確且易于使用的有限元計算程序，使得嵌巖樁應力變形分析變得更加容易；但追求基本理論解依舊是工程技術人員堅持不懈努力的目標[7]。這是因為理論解可以為設計工程師提供一個寶貴的手段對數(shù)值分析結果進行評估，而且理論解可以更直觀地揭示各變量之間的關系[8]。辛彈性力學通過將原來的位移變量與其對偶變量組成的狀態(tài)空間引入彈性力學，完成了拉格朗日體系向哈密頓體系的過渡，從傳統(tǒng)的歐幾里得空間進入到了辛空間，使得對偶的混合變量方法進入到應用力學的廣大領域[9]。應用辛彈性力學方法可以進行理性的推導求解，而不必采用傳統(tǒng)的應力函數(shù)；針對端部復雜邊界，只用圣維南原理予以覆蓋的部分，也能推導出理論解[10]。

1 基本力學原理

圖1 平面矩形區(qū)域

根據(jù)平面彈性力學的靜力平衡方程、幾何方程和物理方程，得到哈密頓對偶方程組：

(1)

引入相空間向量v=(q,p)T，式(1)可以表示為

(2)

式中，H為哈密頓矩陣;f為非齊次項。

2 辛彈性力學求解

2.1 齊次方程的分離變量法

討論算子的性質與外荷載無關，即先討論式(2)的齊次線性微分方程

(3)

及齊次側邊界條件

(4)

采用分離變量法求解，即令v(z,x)=ξ(z)ψ(x)，并將其代入齊次方程，可得ξ(z)=eμz和本征方程

Hψ(x)=μψ(x),

(5)

式中，μ表示沿z的本征值；ψ(x)表示本征向量。

該方程的本征解可分為兩類，一類為零本征值的本征解(全局解)，它們不隨坐標z的變化而衰減，是問題的基本本征解，對應的是圣維南問題的解(即邊界條件通過等效形式提出)；另一類為非零本征值的本征解(局部解)，它們隨坐標z的變化而衰減，對應的是圣維南原理所覆蓋的部分(即嚴格滿足邊界條件下的解)。

2.2 零本征值的本征向量

由于哈密頓矩陣H不是對稱陣，因此可能出現(xiàn)重本征值，而且還可以有約當型的本征向量。μ=0零本征解是一類特殊的解，有特殊的物理意義，代表了圣維南問題的解。約當型零本征值存在兩條本征解鏈。

Hψ(x)=0,

(6)

基本本征向量和約當型本征向量

(7)

約當解并不是本征向量，對應原本征問題的本征向量實際上是

(8)

這6個零本征值的本征向量組成了一組共軛辛正交的向量組，每個本征向量都有相應的物理含義，這些本征解就是二維圣維南問題的基本解，可以張成一個完備的零本征值辛子空間。

2.3 非零本征值的本征向量

在討論邊界上的局部效應或域內有荷載突變時，零本征解就不能有效地描述問題了，這時需要更精確的解來描述邊界效應，這就是非零本征解μ≠0。滿足齊次方程和齊次側邊界條件的通解可直接求出[11]：

(9)

從結果中可以看出，A組、C組的解是對于z軸為對稱變形的解，而B組、D組的解對于z軸為反對稱變形的解。再根據(jù)方程存在非平凡解以及齊次側邊界條件，可以確定出A、B、C、D各組的系數(shù)。

(10)

非零本征值μn一般是復數(shù)，對于每個μn可以構造對應的本征函數(shù)，這些本征函數(shù)隨著離開邊界的距離而衰減，符合圣維南原理。解的構造如下：

vn=eμnzψn,

(11)

式中，μn是本征值；ψn是對應的本征向量。根據(jù)μ實部符號的不同，劃分為兩類：符號為正的α類解沿z軸的負方向衰減；符號為負的β類解沿z軸的正方向衰減，它們反映了不同端部的分布情況。

2.4 非齊次方程的特解

由于本征解之間存在辛正交歸一關系，根據(jù)本征向量展開定理，將非齊次方程的非齊次項按本征解展開可得：

(12)

非齊次方程特解為

(13)

2.5 邊值問題

方程的廣義解由零本征解、非零本征解以及非齊次特解三部分構成[12]。

(14)

用Hamilton混合能變分原理求解待定參數(shù)ai。Hamilton混合能變分式為:

(15)

(16)

與圣維南原理不同的是，變分式從能量的角度給出了一個更加合理的邊界條件。特別地，通過非零本征向量的引入，在固定端附近的位移和應力分布可以得到更加精確的分析結果。

將式(14)代入式(16)，可以得到關于δai的變分方程，對于任意的δai都成立，由此得到一個關于ai的N維線性方程組[13]：

(17)

表達式中的矩陣元素為

3 模型計算及實例

嵌巖樁的直徑1 m、長度10 m，樁底進入持力層深度0.8 m，土層與持力層的交界面即為巖-土交界面。樁身材料選用C30混凝土，其彈性模量30 GPa，泊松比0.2；粘土層的容重γ=18.4 kN/m3，泊松比vr=0.38。

嵌巖樁受力簡圖如圖2所示。樁側壓力沿樁長按線性變化。靜止水平側壓力系數(shù)K0=0.45，荷載集度qz=K0γh=82.8 kN/m，樁側摩阻力荷載集度qt=25 kN/m。樁頂豎向線荷載Pd=4×103kN/m。

圖2 嵌巖樁的受力圖

依據(jù)計算參數(shù)分別采用有限元ANSYS軟件和辛彈性力學方法在Matlab中進行求解。用辛彈性力學方法計算的嵌巖樁位移場和應力場云圖如圖3所示。為作比較給出了ANSYS計算的有限元結果如圖4所示。通過對比可以看出，兩種方法均能對嵌巖樁力學問題進行全面的分析，且計算結果基本一致，云圖分布大體相同(樁身處云圖的差異是由于兩種方法色帶選取不同造成的，不影響計算數(shù)值)，保證了辛算法計算結果的可靠性。

圖3 辛彈性力學計算的嵌巖樁位移場和應力場

圖4 有限元方法計算的嵌巖樁位移場和應力場

進一步詳細地繪制了兩種方法在嵌巖樁巖-土交界面處的應力值如圖5、圖6、圖7所示。由圖5、圖6、圖7比較可以看出，兩種方法的變化趨勢一致，在邊角處應力值都有較大突變，這正與工程實際中的角點處應力集中現(xiàn)象相吻合。圖5～圖7中辛彈性力學解答的波動主要是截取非零本征向量數(shù)目造成的，隨非零本征向量數(shù)目的增加，曲線將趨于平滑。辛算法不僅能準確地計算出問題的全局解，也能合理有效地處理邊界條件得到問題的局部解，在全場范圍內對問題進行精確、可靠的分析。

圖5 比較兩種算法在巖-土交界面處的σx 圖6 比較兩種算法在巖-土交界面處的σy

圖7 比較兩種算法在巖-土交界面處的τxy

4 結論

傳統(tǒng)彈性力學解析法通常采用圣維南原理，將復雜邊界條件通過靜力等效形式提出，雖然可以準確地計算出彈性體的全局解，卻無法計算出嚴格滿足邊界條件的局部解，這使得彈性體在邊角處的應力數(shù)值與工程實際不相符。辛彈性力學有別于傳統(tǒng)的逆解法和半逆解法，它能夠在嚴格滿足邊界條件的基礎上，計算出圣維南原理所覆蓋部分的解(這部分解正是傳統(tǒng)方法所缺失的解)，通過一步步地理論推導得到最終結果，它更加深刻地揭示彈性問題的本質。通過算例證實了辛方法是一種合理、有效的解析方法，為解決平面矩形域問題提供了一套新的理論方法。

利用辛算法可以計算出平面矩形域的基本本征向量，這些基本本征向量張成一個完備的零本征值辛子空間，再根據(jù)具體的兩端邊界條件，確定零本征向量和非零本征向量的待定系數(shù)，最后疊加上非齊次問題的特解，即可求出嵌巖樁端部約束問題的精確解。算例中辛算法精確地描繪出嵌巖樁在土-巖交界面處的應力分布情況，其計算結果與有限元軟件模擬結果一致。這為深入研究嵌巖樁的破壞模式、提升承載力等，提供了新理論、新思路。

辛算法的不足之處在于計算推導過程繁瑣，僅能計算一些規(guī)則區(qū)域、簡單邊界的特殊問題，對于一般工程問題適用性差。有限元法是一種數(shù)值算法，適用性強，它把復雜的整體結構離散為有限個單元體，在單元內用形函數(shù)插值近似表達單元內部任意一點的結果，缺點是無法準確找出各個變量之間的相互關系，兩種方法如能有機結合，則對解決工程實際問題大有幫助。