時 存，古思勇，王 瑩

（1.鄭州電力高等?？茖W(xué)校，河南 鄭州 450000；2.廈門理工學(xué)院，福建 廈門 361000）

1 引言

在復(fù)雜未知的太空環(huán)境中，機器人由于其能代替宇航員執(zhí)行一些較為危險的在軌操作，近年來得到國內(nèi)外航天研究人員廣泛關(guān)注，并已實際應(yīng)用于空間站建設(shè)、衛(wèi)星在軌維修、太空目標(biāo)捕獲等任務(wù)。而雙臂機器人因其具有更好的操作性、靈活性和精確度，在應(yīng)用范圍和發(fā)展前景上較單臂機器人更廣，因此逐步成為空間機器人項目的研究熱點[1-4]。

與地面機器人不同，空間機器人由于處于失重環(huán)境而呈現(xiàn)基座不受外力作用的自由漂浮狀態(tài)，機械臂與基座之間耦合，使得其動力學(xué)建模、軌跡規(guī)劃和運動控制更為復(fù)雜，引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究[5-8]。

文獻[9]通過建立參數(shù)線性化的空間機器人動力學(xué)模型，把空間機器人控制問題轉(zhuǎn)化為類似地面固定基座機器人控制問題，設(shè)計了一種關(guān)節(jié)空間PD 控制器，實現(xiàn)了機械臂關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制；文獻[10]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性逼近特性、并行分布處理能力及學(xué)習(xí)適應(yīng)能力，設(shè)計了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，實現(xiàn)了空間機器人的軌跡跟蹤任務(wù)；文獻[11]設(shè)計了一種軌跡跟蹤自適應(yīng)控制方法，在保證控制系統(tǒng)魯棒性的同時，解決了參數(shù)不確定性的問題，并降低了數(shù)據(jù)計算量。然而上述研究均只能在理論上實現(xiàn)對機械臂的有效控制和軌跡跟蹤，未考慮實際工程中各關(guān)節(jié)控制力矩輸出受限和能量優(yōu)化的問題，有待進一步研究。

針對雙臂空間機器人（Dual-Arm Free-Floating Space Robot）機械臂關(guān)節(jié)控制力矩受限條件下的軌跡跟蹤控制問題，設(shè)計了一種基于狀態(tài)依賴Riccati 方程的優(yōu)化控制器。在建立機器人動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，首先，借助增廣變量法，將系統(tǒng)動力學(xué)方程擴展描述成以各關(guān)節(jié)角度和角速度為狀態(tài)變量的偽線性表達形式，獲得 SDC（State-dependent Coefficient）矩陣；由此，基于狀態(tài)依賴Riccati 方程，選取一組合適的權(quán)值矩陣，設(shè)計優(yōu)化跟蹤控制器；進而，在控制器中加入飽和約束，以解決實際應(yīng)用過程中關(guān)節(jié)控制器輸入力矩幅值受限的問題；SDRE 穩(wěn)定性引理保證了所設(shè)計控制器的漸進穩(wěn)定性，并通過數(shù)值仿真，驗證所設(shè)計控制器的有效性。

2 動力學(xué)建模

DFFSR 系統(tǒng)由一個不受外力作用的自由漂浮基座（忽略微重力環(huán)境）M0及四個機械臂 M1、M2、M3、M4組成，如圖 1 所示。設(shè)該系統(tǒng)各關(guān)節(jié)均主動受控，且在同一平面運動，建立各分體Mi（i=0，1，2，3，4）的主軸坐標(biāo)系為 xi軸的基矢量，其中：O0與 M0的質(zhì)心 Oc0重合，O1，O2，O3，O4分別為連接M1與 M0、M2與 M1、M3與 M0、M4與 M3的 轉(zhuǎn) 動 幅 中 心 ，xi（i=1，2，3，4） 為機械臂的對稱軸。設(shè)軸上與O1的距離為l0，M（ii=0，1，2，3，4）沿軸的長度為l（ii=1，2，3，4）；質(zhì)心Oci在軸上與Oi的距離為a（ii=1，2，3，4）；各分體的質(zhì)量和中心慣量張量分別為mi和Ji，M=Σm（ii=1，2，3，4）為系統(tǒng)總質(zhì)量，O為系統(tǒng)總質(zhì)心。

圖1 DFFSR 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 System Topology of DFFSR

由系統(tǒng)的動量守恒關(guān)系及Lagrange 第二類方程，可導(dǎo)出自由漂浮狀態(tài)下，該系統(tǒng)的動力學(xué)方程[12]：

為了克服初始誤差帶來的較大沖擊力矩的影響，并使得機械臂各關(guān)節(jié)控制器輸出力矩始終保持在一可控范圍內(nèi)，可在控制器末端引入雙曲函數(shù)：

使得輸出力矩滿足飽和約束特性：

聯(lián)立式（1）、式（2），則可得到力矩受限條件下的動力學(xué)方程：

動力學(xué)方程式（1）具備如下性質(zhì)：

（1）慣性矩陣 M（q）∈R4×4為對稱正定矩陣。

3 相關(guān)知識介紹

考慮仿射非線性系統(tǒng)：

當(dāng)式（5）滿足：f（0）=0 且在正常的取值范圍內(nèi)，f（x）具有一階連續(xù)微分時，可將該狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)依賴參數(shù)SDC（Sdate Dependent Coefficient）的類線性結(jié)構(gòu)方程[13]：

當(dāng)式（8）中的SDC 矩陣 A（x）和 B（x）滿足｛A（x），B（x）｝逐點可控且｛A（x），Q1/2（x）｝逐點可觀時，則針對由非線性狀態(tài)方程（5）和性能指標(biāo)函數(shù)（6）描述的無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)問題，可設(shè)計局部漸進穩(wěn)定優(yōu)化控制律為[14]：

式中：P（x）滿足代數(shù) Riccati 方程：

4 考慮力矩受限的優(yōu)化控制器設(shè)計

證明（1）將空間機器人動力學(xué)方程式（4）轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)表達形式：

選取關(guān)節(jié)角度和角速度x=［x1x2］作為系統(tǒng)的增廣變量，則該系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

從上式中直接獲得SDC 矩陣為：

則由性質(zhì)（1）可知空間機器人慣性矩陣M 為對稱正定矩陣，可得出｛A（x），B（x）｝滿足逐點可控條件；

（2）由于權(quán)值矩陣Q（x）為一組可調(diào)整的常值矩陣，因此總能通過選取合適的 Q（x）陣，使得｛A（x），Q1/2（x）｝滿足逐點可觀條件。證畢。

將式（12）描述的類線性問題可轉(zhuǎn)化為SDRE 參考軌跡積分跟蹤問題，選取優(yōu)化指標(biāo)為：

則由引理2 可設(shè)計優(yōu)化跟蹤控制律為：

進一步由式（2）可得力矩受限條件下的跟蹤控制律為：

式中：τmax—所設(shè)定的機械臂各關(guān)節(jié)最大輸出力矩；qd—雙臂空間機器人系統(tǒng)機械臂各關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間的期望運動軌跡，P（x）滿足代數(shù)Riccati 方程：

Remark 1.定理1 證明所設(shè)計的控制律式（17）滿足局部漸進穩(wěn)定性。

選取狀態(tài)誤差權(quán)值矩陣Q（x）和控制力矩權(quán)值矩陣R（x）均為對角正定常值矩陣，且由性能指標(biāo)函數(shù)式（12）可以看出，當(dāng)Q（x）矩陣權(quán)對應(yīng)的對角元素越大時，跟蹤誤差越小，但輸出控制力矩較大；當(dāng)R（x）矩陣權(quán)對應(yīng)的對角元素越大時，輸出控制力矩就較小，而跟蹤精度就變低。

5 仿真實例與分析

以文中所提DFFSR 為對象，具體慣性參數(shù)，如表1 所示。

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model Parameters

設(shè)DFFSR 系統(tǒng)機械臂各關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間的期望運動軌跡為：

系統(tǒng)運動的初始值為：

選取權(quán)值矩陣：

仿真算例1.不考慮機械臂各關(guān)節(jié)輸出力矩受限情況，使用控制律式（16）對機械臂軌跡跟蹤運動情況進行仿真，總時長為20s。仿真算例2.考慮機械臂各關(guān)節(jié)輸出力矩受限情況，使用控制律式（17）對機械臂軌跡跟蹤運動情況進行仿真，整個追蹤過程耗時 20s。綜合圖 2（a）、圖 2（b）和圖 4（a）和圖 4（b）來看，所設(shè)計的SDRE 控制器能夠使DFFSR 系統(tǒng)各關(guān)節(jié)實現(xiàn)對期望軌跡的跟蹤；對比圖2（c）和圖4（c），可以看出改進后的控制器穩(wěn)定性更好，跟蹤誤差保持在±0.01rad 以內(nèi)，且具有一定抗干擾能力；對比圖 3（a）、圖 3（b）和圖 5（a）、圖 5（b）），可以看出在加入力矩飽和約束后，能有效克服初始誤差帶來的較大沖擊力矩的影響，使得輸出力矩保持在一可控范圍內(nèi)。從對比試驗結(jié)果可以看出，相比于不考慮力矩受限的情況，所設(shè)計的優(yōu)化控制器以犧牲一定的跟蹤速度為代價，在保證跟蹤誤差保持在一較小范圍的前提條件下，有效的克服了初始沖擊力矩過大的缺陷，具有較強的理論意義和實際價值。

圖2 DFFSR 軌跡跟蹤結(jié)果Fig.2 Trajectory Tracking Result of DFFSR

圖3 DFFSR 各關(guān)節(jié)力矩Fig.3 Control Torque of DFFSR

圖4 DFFSR 軌跡跟蹤結(jié)果Fig.4 Trajectory Tracking Result of DFFSR

圖5 空間機器人系統(tǒng)各關(guān)節(jié)輸出力矩Fig.5 Control Torque of Each Joints on Space Robot System

6 結(jié)論

考慮DFFSR 系統(tǒng)的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制問題，設(shè)計了一種SDRE 優(yōu)化控制方法，能夠在保持系統(tǒng)穩(wěn)定的同時，優(yōu)化各關(guān)節(jié)控制力矩，同時為了克服由初始誤差帶來的沖擊力矩，在控制器中加入飽和約束，解決了實際應(yīng)用過程中關(guān)節(jié)控制器輸出力矩受限問題，數(shù)值仿真驗證了所設(shè)計控制器的穩(wěn)定性。