黃騰達(dá)

（仙游縣第二中學(xué)，福建 莆田 351200）

一、試題展示

問題：已知△ABC 的每個(gè)內(nèi)角都小于120°，如何在三角形內(nèi)部找一點(diǎn)P，使PA+PB+PC 的和最??？數(shù)學(xué)家們是怎樣解決這個(gè)問題的？法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬是這樣想的：如圖1，將△APC 繞A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′,則△APP′為等邊三角形，PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′ ≥BC′,當(dāng)且 僅 當(dāng)B、P、P′、C’四 點(diǎn)共線時(shí)取最小值。該點(diǎn)也稱為這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。小明同學(xué)在研究該問題時(shí)發(fā)現(xiàn)，若改變旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，就可以產(chǎn)生aPA+PB+PC 的最值問題。

（1）如圖2，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,P 為三角形內(nèi)部一點(diǎn)。將△APC 繞A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′C′,請(qǐng)畫出△AP′C′，并求2 PA+PB +PC 的最小值。

（2）若P 為平面內(nèi)的一點(diǎn)，過P 點(diǎn)引出三條線段：PA、PB、PC，若PA+PB+PC 為定值m,猜想△ABC 面積的最大值，并直接寫出答案。

（3）如圖3，已知：四邊形ABCD 中，AB=AD=2，連接AC，求AC 的最大值。

二、設(shè)計(jì)過程

（一）命題意圖

這是一道以數(shù)學(xué)文化為背景的考題，以閱讀理解形式出現(xiàn)，結(jié)合相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形的旋轉(zhuǎn)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，在滲透數(shù)學(xué)文化的同時(shí)考查學(xué)生的自學(xué)能力、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和直觀想象等學(xué)科素養(yǎng)。

學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)及其級(jí)別

（二）命題過程

1.立意與選材：各地中考以數(shù)學(xué)文化為背景的試題在難度的設(shè)置上大多為中等偏易，較少出現(xiàn)以數(shù)學(xué)文化有關(guān)的綜合題。能否嘗試命制以數(shù)學(xué)文化為背景的幾何綜合題，引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用價(jià)值？需要選取什么素材？“求線段和差的最值問題”一直是中考命題的熱門問題。初中教材中出現(xiàn)過借助軸對(duì)稱求解的“將軍飲馬問題”，也出現(xiàn)過借助平移求解的“修橋定址問題”，若選取費(fèi)馬點(diǎn)問題恰好可以作為教材知識(shí)的補(bǔ)充和拓展，同時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)問題綜合性強(qiáng)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，能夠比較全面考查學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，發(fā)揮試題的選拔功能。［1］

2.聯(lián)系與搭架：費(fèi)馬點(diǎn)問題，作為一個(gè)歷史名題，近幾年來在各地中考中也頻頻出現(xiàn)，如2010 寧德中考、2013 常州中考、2016 鹽城中考等。例：（2010 寧德中考摘錄）如圖4，正方形ABCD 中，以AB 為邊向外作等邊△ABE，點(diǎn)M 是對(duì)角線BD（不含B 點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，將BM 繞點(diǎn)B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，①當(dāng)M 點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；②若AM＋BM＋CM 的最小值為+1 時(shí)，求正方形ABCD 的邊長。

常州中考題與鹽城中考題與這道題目類似，在條件中都預(yù)設(shè)了旋轉(zhuǎn)的條件或者構(gòu)造了等邊三角形，借助全等三角形鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三條線段的轉(zhuǎn)化方法。這樣，在對(duì)費(fèi)馬點(diǎn)問題改造的同時(shí)保留費(fèi)馬點(diǎn)問題的本質(zhì)，同時(shí)降低入口的難度，呈現(xiàn)自然，思路順暢，深入淺出，體現(xiàn)了命題者高超的命題技巧。那么他山之石如何借鑒？又如何創(chuàng)新？

3.加工與調(diào)整：能不能把問題反過來呢？在學(xué)校九年級(jí)數(shù)學(xué)課外興趣小組的活動(dòng)課上，筆者給同學(xué)們留下這樣一道思考題：（第一稿）從平面上一點(diǎn)P 引三條線段PA、PB、PC，若PA+PB+PC=m，則△ABC 面積的最大值是__。

猜想：當(dāng)且僅當(dāng)P 為△ABC 的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA=PB=PC 時(shí)，△ABC 的面積最大。此時(shí)△ABC 為等邊三角形，面積為但是如何證明這個(gè)結(jié)論？

（1）考慮用代數(shù)法：如何構(gòu)建函數(shù)模型或不等式模型？題目中的變量太多了，顯然難度太大了，棄之！

（2）還是考慮用幾何法：任取一點(diǎn)P，過P 點(diǎn)任意引出PA、PB、PC，設(shè)PA+PB+PC=m，得到△ABC。若點(diǎn)P 不是該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)，設(shè)該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)為D，則必有DA+DB+DC＜m.設(shè)則k＞1。如圖5，以D 為位似中心，將△ABC 放大k 倍，得到△EFG，則 必 有DE+DF+DG=k（DA+DB+DC）=m,且S△EFG=k2S△ABC＞S△ABC。由此可知，點(diǎn)P 為△ABC 的費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，該三角形的面積最大。以下探究當(dāng)PA、PB、PC 的長度各為多少時(shí)面積最大。

如圖6，設(shè)點(diǎn)P 為△ABC 的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA=a，PB=b，PC=c，且a+b+c=m。由已知可得：∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，所以：因?yàn)閍+b+c=m,故(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=m2又a2+b2+c2≥ab+bc+ca，所以m2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca)。

對(duì)于這道試題，學(xué)生反饋的信息是刺窩里摘花——無從入手。有個(gè)別學(xué)生猜出了問題的答案，但具體原因卻說不清。主要原因是孤立地出現(xiàn)這個(gè)問題，學(xué)生很難聯(lián)系與之相關(guān)的知識(shí)。但從另一角度看，這道題恰好可以考查學(xué)生直觀想象的素養(yǎng)，有助于鼓勵(lì)學(xué)生勇于猜想的思維品質(zhì)。這串貌似觸手可及的“葡萄”，驅(qū)動(dòng)著他們積極地“跳躍”。

為了讓問題的呈現(xiàn)更加自然，筆者對(duì)題目進(jìn)行了改編。（第二稿）問題：已知△ABC 的每個(gè)內(nèi)角都小于120°，如何在三角形內(nèi)部找一點(diǎn)P，使PA+PB+PC的最小？數(shù)學(xué)家們是怎樣解決這個(gè)問題的？法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬是這樣想的：如圖7，將△APC 繞A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′,則△APP′為等邊三角形，PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′ ≥BC′,當(dāng) 且 僅 當(dāng)B、P、P′、C’四點(diǎn)共線時(shí)取最小值。該點(diǎn)也稱為這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。

如圖8，在△ABC 中，AB=AC=6，P 為三角形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且PA+PB+PC 的最小值是求此時(shí)線段PA 的長。

如圖9，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,P為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，試求的最小值及此時(shí)線段PA 的長。

若P 為平面內(nèi)的一點(diǎn)，過P 點(diǎn)引出三條線段：PA、PB、PC，若PA+PB+PC 為定值m,直接寫出△ABC 面積的最大值。

通過把試題設(shè)計(jì)成閱讀理解的形式，融入數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家解決問題的方法，建立數(shù)學(xué)模型。而求費(fèi)馬點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和的問題，實(shí)質(zhì)上就是旋轉(zhuǎn)后求解三角形的問題。第（1）問應(yīng)用材料的方法，把△ABP 繞A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，變成已知三邊求解三角形的問題。第（2）問，只要把旋轉(zhuǎn)角改成90°，就可以構(gòu)建PA，從而進(jìn)一步求解。對(duì)于第（3）問，有了（1）、（2）問的鋪墊，學(xué)生容易猜想當(dāng)點(diǎn)P 為三角形費(fèi)馬點(diǎn)，接著只要考慮PA、PB、PC 取何值面積最大的問題，降低了思考的難度。

試題分析：（1）問屬于方法的直接運(yùn)用，（2）問是（1）問的變式，但改變的只是旋轉(zhuǎn)的角度，與材料中的問題變化不大，學(xué)生的解題基本上還停留在模仿的層面上，并沒有實(shí)現(xiàn)從一個(gè)問題到一類問題的突破。（3）問由于只要直接寫出答案，大大降低了難度，所以這道試題不能較好地考查出學(xué)生思維的深度。

費(fèi)馬點(diǎn)問題求解的實(shí)質(zhì)，是借助于旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，［2］利用線段的等量關(guān)系，優(yōu)化線段的位置，從而把共頂點(diǎn)的三條線段的最小值問題轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的幾何模型求解。［3］涉及的基本圖形手拉手模型（如圖10）。觀察手拉手模型的基本圖形，由△ABD 與△ACE 的全等（或相似），若已知線段AE、CE 的長度，即可求出線段AD、BD 的長度，再借助△ADE 和△ABC 的相似，進(jìn)一步求線段DE 長度，從而可以求出BE 的最值。這樣恰好與費(fèi)馬點(diǎn)問題的求解思路互逆，可以更好地看出學(xué)生對(duì)模型的理解程度。為了能體現(xiàn)方法普遍性，讓學(xué)生體會(huì)這類問題的通法，故把△ABC 設(shè)置成一個(gè)一般的三角形，最終定稿為文初試題。

三、解答分析

解：（1）如圖11，△AP′C′如圖所示。

連 接BC′、PP′,C′D ⊥BC,交BC延長線于點(diǎn)D，則當(dāng)且僅當(dāng)B、P、P′、C’四點(diǎn)共線時(shí)最小。

由已知可得：四邊形ACDC′為正方形

（3）如圖12，作DF⊥BC于F，連 接BD，作∠EBC=∠ABD、∠ECB=∠ADB,連 接AE。設(shè)DC 的長度為2k，則BC=3k。

∵∠DCB=60°

∵∠EBC=∠ABD ∠ECB=∠ADB

∴△ABD∽△EBC

∵∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE

即∠ABE=∠DBC

四、試題評(píng)析

試題提供費(fèi)馬點(diǎn)問題的相關(guān)材料，在介紹問題的背景的同時(shí)提供了解決共頂點(diǎn)的三條線段求和的最值的方法。讓學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上抽象出數(shù)學(xué)模型，考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。問題分三個(gè)層次，（1）問通過作圖的預(yù)設(shè)，降低了難度，求解過程只需模仿材料提供方法即可，（1）問的設(shè)置面向全體，旨在完成達(dá)到下要保底的目標(biāo)。（2）問鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，考查直觀想象能力。猜出答案并不困難，但要得出其中的原因卻不易，期待學(xué)生能在課后延續(xù)問題的思考，體會(huì)“猜想—論證—再猜想—再論證”的科學(xué)探究方法。（3）問是方法的應(yīng)用和拓展，考查學(xué)生對(duì)模型的理解程度，融入相似三角形、勾股定理、基本圖形的構(gòu)造等，考查學(xué)生的邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)。總之,整道試題層次鮮明，綜合性強(qiáng)，以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，突出對(duì)四基四能的考查，注重學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，同時(shí)試題中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)文化背景，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)文化。

五、命題拓展

（一）第（1）問的拓展與變式：

1.如圖13：△ABC 中，設(shè)AB=m,AC=n,∠BAC=β,對(duì)于任意給定的滿足條件的正實(shí)數(shù)a,aPA+PB+PC 的最小值問題可以先將△APC 繞A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)特定的角度θ，得到△AP′C′,使PP′=aAP，當(dāng)且B、P、P′、C’四點(diǎn)共線時(shí)aPA+PB+PC 取最小值。

（1）旋轉(zhuǎn)角θ 由圖中的△APP′確定，滿足cos θ=θ 應(yīng)滿足θ+β ＜180°。

（2）實(shí)數(shù)a 應(yīng)滿足條件受到△APP′存在條件限制和（1）中旋轉(zhuǎn)角的限制，θ+β ＜180°?＜90°-

（3）aPA+PB+PC 的最小值可以在在△ABC′中求解。結(jié)論為：

2.如圖14，△ABC中,設(shè)AB=m,AC=n,∠BAC=β，對(duì)于滿足條件的正實(shí)數(shù)a、b，要求aPA+bPB+PC的最小值，可以先將△ABP 繞A 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)特定的角度θ，得到△AB′P′,再以A 為位似中心，將△AB′P′放縮成原來的b 倍，得到△AB″P″,其中PP″=aPA,PB,P″B″=bPB,故當(dāng)且僅當(dāng)B″、P″、P、C 四點(diǎn)共線時(shí)，aPA+bPB+PC 有最小值，最小值即線段B″C的長。

（2）實(shí)數(shù)a、b 應(yīng)滿足條件受到△APP″存在的限制和（1）中旋轉(zhuǎn)角的限制。具體為：a+b ＞1且-1 ＜a -b ＜1且1+b2-a2+2bcsoβ ＞0。

（3）aPA+bPB+PC 的最小值可以在△AB″C 中求解。結(jié)論為：

3.aA+bPB+cPC 型的最小值問題只需提取系數(shù)c，即可轉(zhuǎn)化成上面雙系數(shù)型的方法求解。

（二）第（2）問中蘊(yùn)含的不等式：

2.ab sin α+bc sin β -ac sin(α+β)≤(a+b+c)2（其中a、b、c 為正數(shù)，0 ＜α、β ＜180°），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 且α=β=120°取等。

（三）第（3）問的拓展：

如圖15，△ABC 中，BC:AC:AB=a:b:c，D 為平面內(nèi)一點(diǎn)，且DB=m，DA=n。由（3）問證明可知，當(dāng)∠ADB+∠ACB=180°時(shí)DC 有 最 大值。此時(shí)A、B、C、D 共圓，由托勒密定理可得DC 最大值為：

六、命題反思

試題不足之處：費(fèi)馬點(diǎn)作為一個(gè)擁有300 多年歷史的名題，吸引著無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者的目光，相關(guān)的研究成果可汗牛充棟。故以該題材為背景的試題，總感覺新意不足，擺脫不了套題的嫌疑。但個(gè)人認(rèn)為：一道試題，在考查知識(shí)方法的同時(shí)，能夠引導(dǎo)學(xué)生去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法，激起學(xué)生追根溯源的探知欲望，就是一道好的試題。

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求，要把數(shù)學(xué)文化融入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中去，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。近年來，以數(shù)學(xué)文化為背景的試題己成為中考命題的新亮點(diǎn)。在數(shù)學(xué)文化試題的命制過程中，我們要深入挖掘素材里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，通過合理的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生能盡可能地體會(huì)數(shù)學(xué)文化的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)文化的博大精深和無窮魅力。