樊偉萍 李秦

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

1 引言

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是由Kennedy和Eberhart于1995年通過(guò)觀察鳥群尋找棲息地的行為而簡(jiǎn)化出的群體智能優(yōu)化算法［1］，具有設(shè)置參數(shù)少、易于實(shí)現(xiàn)、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)而備受學(xué)者的青睞，但是PSO算法易陷入局部最優(yōu)值.為了改善這一問(wèn)題，學(xué)者們先后提出了各種應(yīng)對(duì)策略，張迅等［2］人根據(jù)高斯函數(shù)分布特征設(shè)置慣性權(quán)重變化策略，文獻(xiàn)［3］基于文獻(xiàn)［2］提出了慣性權(quán)重對(duì)數(shù)遞減的粒子群算法，并引入對(duì)數(shù)調(diào)整因子α ，有助于粒子跳出局部極值，提高了算法的全局收斂性.Clerc 提出了帶有收縮因子的PSO算法［4］，整體上具有比標(biāo)準(zhǔn)PSO算法更加高效地收斂性能，但在算法后期的精度比標(biāo)準(zhǔn)PSO算法性能差.總結(jié)來(lái)說(shuō)，針對(duì)粒子群算法的改進(jìn)大體上分為參數(shù)設(shè)置的改進(jìn)［5-9］和算法融合改進(jìn)［10-13］，這些策略一定程度上優(yōu)化了算法性能，提高了PSO 算法的尋優(yōu)效率，但時(shí)間和空間消耗比較高，且無(wú)法避免粒子易陷入局部最優(yōu)，易早熟的問(wèn)題.本文在Shi和Eberhart提出的粒子群優(yōu)化算法［2］慣性權(quán)重線性遞減的基礎(chǔ)上，添加了隨迭代次數(shù)線性遞增的調(diào)節(jié)因子p，使算法在局部搜索能力和全局搜索能力之間得到更好的平衡，同時(shí)針對(duì)粒子群算法搜索后期易陷入局部最優(yōu)，影響算法優(yōu)化性能的問(wèn)題，在每次迭代時(shí)，對(duì)種群中的粒子進(jìn)行突變操作，從而增強(qiáng)粒子跳出局部最優(yōu)的能力，最后對(duì)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)操作來(lái)驗(yàn)證改進(jìn)后粒子群優(yōu)化算法（XWPSO）的有效性.

2 粒子群算法

粒子群算法的主要思想是將需要尋優(yōu)的問(wèn)題的解想象成一只鳥，稱為一個(gè)“粒子”，然后讓所有粒子在D 維的搜索空間進(jìn)行搜索，粒子位置的好壞由定義的適應(yīng)度函數(shù)評(píng)價(jià)，并且給每個(gè)粒子賦予記憶功能，能夠記憶粒子搜索過(guò)程中尋到的最佳位置，同時(shí)，各個(gè)粒子之間也可以進(jìn)行信息共享，通過(guò)粒子自身經(jīng)驗(yàn)和同伴的經(jīng)驗(yàn)來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整粒子位置.

粒子群算法中，粒子之間是相互合作，信息互通的，速度更新公式（1）由三部分組成，第一部分是粒子先前的速度，代表粒子的狀態(tài)；第二部分是粒子的“自我認(rèn)知”部分，體現(xiàn)粒子的自我思考；第三部分是“社會(huì)”部分，體現(xiàn)粒子之間信息共享合作.

3 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法

Shi 和Eberhart 提出了粒子群優(yōu)化算法［14］慣性權(quán)重線性遞減的策略，對(duì)粒子群算法進(jìn)行了修改，引入了慣性權(quán)重w.速度公式更改如下：

一定程度上優(yōu)化了文獻(xiàn)［1］粒子的尋優(yōu)性能，但線性遞減的慣性權(quán)重并不能如實(shí)的反映粒子復(fù)雜的搜索過(guò)程，尋到的最優(yōu)解精度也不高，為了更進(jìn)一步優(yōu)化算法性能，文獻(xiàn)［15］在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上將慣性權(quán)重w 修改為

考慮了正弦函數(shù)的周期性，又添加了rand（0～1之間）隨機(jī)數(shù)，來(lái)增加粒子搜索過(guò)程的隨機(jī)性，但時(shí)間損耗較大.

為了進(jìn)一步提高算法的尋優(yōu)性能和收斂精度，將慣性權(quán)重w 調(diào)整為

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 測(cè)試函數(shù)

（1）Rastrigin函數(shù)：具有大量極值的多峰函數(shù)，其全局最優(yōu)解和最優(yōu)位置分別為

（2）Griewank函數(shù)：多峰函數(shù)，且其局部極小值均勻分布，全局最優(yōu)解和最優(yōu)位置分別為

（3）Ackley函數(shù)：復(fù)雜的多峰函數(shù)，有無(wú)數(shù)個(gè)極小值點(diǎn)，其全局最優(yōu)解和最優(yōu)位置分別為

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文提出的XWPSO算法的有效性，采用XWPSO、PSO［1］、LPSO［14］、NXPSO［15］四種優(yōu)化算法分別對(duì)Rastrigin、Griewank、Ackley三種經(jīng)典函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，其中在PSO、LPSO、NXPSO優(yōu)化算法中，2=2=1 cc，而在XWPSO 優(yōu)化算法中05.2=2=1 cc，四種算法維度2=D，粒子數(shù)目40=N，搜索范圍［-5，5］，慣性權(quán)重w 的變化范圍［0.4，0.9］， 1r ， 2r 在［0，1］之間服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，在Matble2016a環(huán)境中運(yùn)行20次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示

表1 尋優(yōu)結(jié)果對(duì)比

由表1可以看出，在對(duì)Rastrigin函數(shù)優(yōu)化時(shí)，基本粒子群算法PSO最優(yōu)值8.0912e-04，平均值為0.036055456；LPSO算法最優(yōu)值1.9263e-05，平均值為0.038160856；NXPSO算法最優(yōu)值1.4231e-05，平均值為8.0043445e-04.而改變慣性權(quán)重的XWPSO算法最優(yōu)值6.6352e-07，平均值為2.52246296e-04，在Rastrigin函數(shù)極值的優(yōu)化方面明顯優(yōu)于其他三種算法，更貼近函數(shù)最優(yōu)解0，所以改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法較其他三種方法更優(yōu).同時(shí)對(duì)多峰函數(shù)Griewank、Ackley 的優(yōu)化結(jié)果可以看到，從得到的最優(yōu)值結(jié)果的平均值上來(lái)看，XWPSO算法也是明顯優(yōu)于其他算法的，從而驗(yàn)證了算法的有效性.

圖1 Rastrigin函數(shù)在優(yōu)化算法下的適應(yīng)度曲線

圖2 Griewank函數(shù)在優(yōu)化算法下的適應(yīng)度曲線

圖3 Ackley函數(shù)在優(yōu)化算法下的適應(yīng)度曲線

Rastrigin、Griewank、Ackley 函數(shù)在PSO、LPSO、NXPSO、XWPSO 優(yōu)化算法下的適應(yīng)度曲線圖如圖1～3所示，XWPSO算法的適應(yīng)度函數(shù)選用的是測(cè)試函數(shù)表達(dá)式本身，所以算法尋找到的適應(yīng)度值就是要尋找的測(cè)試函數(shù)極值，從圖中可看出，改進(jìn)的粒子群算法較其他三種優(yōu)化算法更早地收斂于函數(shù)的最優(yōu)值，并且收斂精度也更高.在Rastrigin函數(shù)優(yōu)化時(shí)，PSO算法在第17次迭代時(shí)趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值，LPSO算法在第10次迭代時(shí)趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值，NXPSO算法在第4次迭代時(shí)趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值，XWPSO算法在第3次迭代時(shí)就趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值；在Griewank函數(shù)優(yōu)化時(shí)，PSO算法在第12次迭代時(shí)趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值，LPSO算法在第18次迭代時(shí)趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值，NXPSO算法在第11次迭代時(shí)趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值，XWPSO算法在第3次迭代時(shí)趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值；在Ackley函數(shù)優(yōu)化時(shí)，PSO算法在第8次迭代時(shí)趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值，LPSO算法在第4次迭代時(shí)趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值，NXPSO 算法在第16 次迭代時(shí)趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值，XWPSO 算法在第5次迭代時(shí)趨于測(cè)試函數(shù)最優(yōu)值.

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法XWPSO較其他幾種優(yōu)化算法具有較強(qiáng)的收斂性和收斂精度，尤其在Rastrigin、Ackley函數(shù)的優(yōu)化效果更明顯，從而也驗(yàn)證了XWPSO算法的有效性.

5 結(jié)語(yǔ)

本文應(yīng)用的改進(jìn)粒子群慣性權(quán)重的XWPSO在Shi和Eberhart提出的慣性權(quán)重線性遞減的基礎(chǔ)上添加了隨迭代次數(shù)線性遞增的調(diào)節(jié)因子p，使得改進(jìn)之后的XWPSO在尋優(yōu)能力和收斂精度上都有所提高，同時(shí)將XWPSO 算法與經(jīng)典的PSO、LPSO、NXPSO 算法進(jìn)行比較，該算法具有更快跳出局部極值，且收斂點(diǎn)更貼近函數(shù)最優(yōu)解，與傳統(tǒng)的PSO、LPSO、NXPSO算法相比較，XWPSO算法在測(cè)試函數(shù)維度2=n時(shí)尋優(yōu)能力和收斂精度更高.