蘇志勇 張飛羽

（蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

微積分學(xué)是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)，以極限為工具，來(lái)研究函數(shù)的分析性質(zhì)，即連續(xù)性、可微性和可積性的理論，其中蘊(yùn)涵著豐富的辯證思想和美妙和諧的表現(xiàn)方式.明白有限與無(wú)限、常量與變量是對(duì)立統(tǒng)一的，可利用有限和常量分別描述、處理無(wú)限和變量，體現(xiàn)了哲學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義.

1 有限與無(wú)限

黑格爾說：“真正的無(wú)限并不僅僅是超越有限，而且包括有限并揚(yáng)棄有限于自身內(nèi).”我們說，有限與無(wú)限是對(duì)立統(tǒng)一的，有限能描述刻畫無(wú)限，無(wú)限可指導(dǎo)有限.微積分內(nèi)容中幾乎所有的概念或定義都是由極限這個(gè)概念來(lái)定義的，而函數(shù)的極限涉及到兩個(gè)無(wú)限，即自變量的無(wú)限（變化）過程和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的無(wú)限變化.人的認(rèn)識(shí)是無(wú)限的，但實(shí)踐是有限的.如果不把我們認(rèn)識(shí)到的無(wú)限用有限來(lái)描述和刻畫，就無(wú)法把握其概念的本質(zhì)和內(nèi)涵，自然也就無(wú)法發(fā)展和應(yīng)用.這里關(guān)于極限定義的柯西語(yǔ)言是一個(gè)很好的示范，它用一系列的有限?ε ＞0 及δ ＞0，刻畫了兩個(gè)無(wú)限ax → 和.)(Axf→據(jù)此，我們了解了極限收斂的本質(zhì)（常用幾何意義揭示）以及其屬性（即唯一性、局部有界性和局部保號(hào)性）.微積分學(xué)定義了許多無(wú)限（無(wú)窮），其公式為：

無(wú)限=有限+極限.

例如，比較直觀的是級(jí)數(shù)、無(wú)窮積分等的定義.極限的偉大意義就在于：把我們認(rèn)識(shí)到的無(wú)限（或蘊(yùn)含無(wú)限思想之概念）無(wú)須轉(zhuǎn)化成可實(shí)踐的有限，就可利用極限直接對(duì)其嚴(yán)格定義、計(jì)算、應(yīng)用，如切線、曲率、幾何體的度量等概念.現(xiàn)舉例說明.

解此類題的切入點(diǎn)是依題意（條件）將無(wú)窮區(qū)間分成有限區(qū)間和條件約束區(qū)間后再分別處理［1］.另外，“數(shù)學(xué)歸納法”和“有限覆蓋定理”也是聯(lián)系有限與無(wú)限的橋梁.

通過對(duì)微積分課程的學(xué)習(xí)，我們也許有以下相應(yīng)的公式：

無(wú)界=有界+極限，變量=常量+極限，精確=近似+極限.

2 局部與整體

函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微等都是局部概念，所屬性質(zhì)也稱為局部性質(zhì)，即在給定點(diǎn)的附近來(lái)討論函數(shù)性質(zhì)的.例如，局部保號(hào)性、局部有界性、極值、曲率、隱函數(shù)的存在性等等.而有界、可積、一致連續(xù)、一致收斂、凸性、單調(diào)性等都是整體概念，所屬性質(zhì)可稱為整體性質(zhì)，即在給定的數(shù)集（特別是區(qū)域）上來(lái)討論函數(shù)性質(zhì)的［2］.例如，最值問題、實(shí)數(shù)連續(xù)性基本定理、微分積分中值定理等.因此，在討論具體問題時(shí)，首先要分清是局部性質(zhì)還是整體性質(zhì)，然后利用各自的屬性進(jìn)行討論，要特別注意兩者之間的關(guān)系和橋梁（轉(zhuǎn)換）.現(xiàn)舉例說明.

局部與整體是對(duì)立統(tǒng)一的.例如，我們?cè)谟懻搩缂?jí)數(shù)在收斂區(qū)間上的連續(xù)性、可導(dǎo)性時(shí)，采用了在點(diǎn)的鄰域內(nèi)構(gòu)造小閉區(qū)間的方法，將局部問題轉(zhuǎn)化成整體問題，然后利用冪級(jí)數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性得到證明.同樣，隱函數(shù)存在定理的證明，也是利用了局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的轉(zhuǎn)換.另外，“區(qū)間套原理”將區(qū)間上的屬性轉(zhuǎn)移到點(diǎn)的局部，以及“有限覆蓋定理”可將區(qū)間上每一點(diǎn)的局部性質(zhì)綜合起來(lái)轉(zhuǎn)化成區(qū)間上的整體性質(zhì)，更是體現(xiàn)了局部與整體的辯證關(guān)系［3］.

例3 利用區(qū)間套原理（或有限覆蓋定理）證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界.（略證）

比較直觀地體現(xiàn)局部與整體關(guān)系的內(nèi)容有：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、泰勒公式、微分積分中值定理、單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)等等.

3 具體與抽象

數(shù)學(xué)是以抽象的形式，追求高度精確和可靠的知識(shí).不僅概念抽象，而且其方法亦然.與抽象性相聯(lián)系的數(shù)學(xué)的另一特點(diǎn)是，在對(duì)自然界和人類社會(huì)的探索中追求最大限度的一般模式和算法.從數(shù)學(xué)的發(fā)展史來(lái)看，處處彰顯著特殊與一般的辯證關(guān)系.以微積分為例，從極限概念的建立開始，各種形式的微分積分定義以及各類級(jí)數(shù)概念的建立，都是從具體事例出發(fā)，利用極限進(jìn)行了從量變到質(zhì)變的過程，然后抽象到一般.以定積分為例：從“計(jì)算曲邊梯形的面積”出發(fā)，經(jīng)過：①分割閉區(qū)間，將整體問題局部化；②在局部以直代曲，以常量代替變量；③做和，用近似代替精確；④取極限，從量變到質(zhì)變等過程后，抽象成定積分定義.注意：這里的量變到質(zhì)變涵蓋：有限到無(wú)限、有界到無(wú)界、常量到變量、近似到精確等等.

順便提一下，另一寓意下的特殊與一般.例如，關(guān)于初等函數(shù)連續(xù)性的論述，以及其導(dǎo)數(shù)公式，就是以三至四個(gè)基本初等函數(shù)為討論對(duì)象，具體證明了它們的連續(xù)性，以及求得其導(dǎo)數(shù)公式，再根據(jù)“連續(xù)和可導(dǎo)這兩種函數(shù)屬性經(jīng)過四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和反轉(zhuǎn)運(yùn)算保持不變”，從而獲得了一般初等函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)公式.

具體與抽象是對(duì)立統(tǒng)一的.因?yàn)閷?duì)具體的深入認(rèn)識(shí)才能更好地抽象，因?yàn)槌橄蠖芨玫匕盐站唧w.在微積分學(xué)理論中，同樣的內(nèi)容，隨著目的或要求的不同，具體與抽象的概念也在轉(zhuǎn)換.例如，我們有時(shí)將函數(shù)表示成冪級(jí)數(shù)是為了便于求極限，或近似計(jì)算，或建立數(shù)學(xué)用表；反之，我們又希望求出冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，以了解其幾何特征，或分析性質(zhì).

在“微積分”一些內(nèi)容的教與學(xué)中，把具體與抽象的關(guān)系視為實(shí)與虛之關(guān)系，可加深對(duì)這些內(nèi)容和所用方法的理解.例如，在計(jì)算方程（實(shí)在）決定的函數(shù)（虛擬）的導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們“虛擬”了該函數(shù)參與相應(yīng)的運(yùn)算和理論推導(dǎo)，只要在結(jié)論中沒有該函數(shù)的“身影”，那么，所用方法就是成功的.著名拉格朗日乘數(shù)法，就是虛擬了條件關(guān)系的隱函數(shù)，將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值來(lái)處理，利用關(guān)系式消去表達(dá)式中隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)而得，這種思想手段有點(diǎn)像做輔助線.

4 常量與變量

微積分學(xué)的任務(wù)就是研究函數(shù)，而函數(shù)則是變量與變量之間的一種關(guān)系.有時(shí)我們無(wú)法把握變量，需要借助于常量，特別是運(yùn)用“可在局部以直代曲，以常量代替變量”的思想.而常量這一概念可廣義化，如直、平、平均、常規(guī)等等.據(jù)此我們建立了積分理論，也嚴(yán)格定義了切線、曲率等概念.反之，在解決具體問題時(shí)，需要我們化常量關(guān)系為變量關(guān)系，實(shí)際上就是歸結(jié)成一個(gè)函數(shù)問題.例如，在計(jì)算一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和時(shí)，將其轉(zhuǎn)換成函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與積分運(yùn)算的互逆性求出和函數(shù)而得之.類似地還有，二元泰勒公式的證明、施瓦茲不等式的證明、一些橢圓積分的計(jì)算等等.特別值得一提的是，定積分的變上限手段.偏導(dǎo)數(shù)概念、含參積分理論、微元法思想等，更是體現(xiàn)了常量與變量的辯證關(guān)系.

5 內(nèi)容與形式

黑格爾說：“內(nèi)容既在其自身中具有形式，同時(shí)形式對(duì)于內(nèi)容也是一種外在的東西，……，存在著內(nèi)容與形式的相互轉(zhuǎn)化.”我們說，內(nèi)容決定形式，形式是內(nèi)容的表現(xiàn).從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，恰當(dāng)?shù)男问接兄趦?nèi)容的應(yīng)用與發(fā)展.例如，積分符號(hào)的設(shè)制，給積分內(nèi)容中命題論證和計(jì)算提供了極大的方便，可以說是內(nèi)容與形式完美結(jié)合的典范.

另一方面，對(duì)不同內(nèi)容，探索其本質(zhì)，用同一形式表現(xiàn)，更是對(duì)內(nèi)容的深刻反映.例如，在用柯西語(yǔ)言表示函數(shù)極限的收斂時(shí)，依據(jù)自變量的七種變化過程，相應(yīng)有柯西語(yǔ)言的七種表示形式，這七種表示形式可歸結(jié)為一個(gè)形式：

lim X=A ??ε ＞0,?時(shí)刻T ，T 之后，有||X-A ＜ε.

上式將極限的收斂性聚焦于時(shí)刻的存在性.

綜觀數(shù)學(xué)的創(chuàng)造與發(fā)展，形式化語(yǔ)言和模式相當(dāng)普遍，如代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)等.四元數(shù)、非歐幾何的創(chuàng)造與發(fā)展就是典型.那么在微積分中，我們是不是也從這個(gè)角度來(lái)看一下呢?例如，記yx ΔΔ ,分別是自變量的改變量與函數(shù)值的改變量，考察下列情形：

6 一元與多元

在微積分學(xué)里，“一”與“二”是有本質(zhì)區(qū)別的.例如，相對(duì)于一元函數(shù)，二元函數(shù)不再有單調(diào)、反函數(shù)等概念；“二”與“多”沒有本質(zhì)區(qū)別，所以對(duì)多元函數(shù)的研究，主要以二元函數(shù)為主.進(jìn)一步，對(duì)二元成立的結(jié)論，特別是一些（不）等式，可直接推廣到相應(yīng)的多元形式；當(dāng)然，“多”與無(wú)窮是有本質(zhì)區(qū)別的［4］!

怎樣利用一元函數(shù)的理論來(lái)研究多元函數(shù)呢？常見的有以下幾種方法：

（1）累次法.即轉(zhuǎn)化成若干個(gè)一元函數(shù)的問題，做累次處理.例如，多元函數(shù)的微分積分中值公式、重積分計(jì)算、多元函數(shù)的極值和復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t等.

（2）折線法.即將所討論的有關(guān)點(diǎn)用直線或折線連接起來(lái)，在其上構(gòu)造一元函數(shù)來(lái)討論問題.例如，多元函數(shù)的中值定理及泰勒公式的證明、用第二類曲線積分計(jì)算原函數(shù)等.

例5 證明二元函數(shù)的泰勒公式.

（3）統(tǒng)一符號(hào)法.在表達(dá)方式上采用統(tǒng)一的符號(hào)，可將一元函數(shù)的一些成果直接平行地轉(zhuǎn)移到多元函數(shù)方面.例如，極限、連續(xù)性、可微性、泰勒公式等.一般情況下，只要是關(guān)于局部問題的討論，都可考慮該法.

例6 試建立二元函數(shù)的泰勒公式.

（4）變量替換法.對(duì)一些特殊的多元函數(shù)，通過變量替換直接化成一元函數(shù)的形式.

反過來(lái)，利用多元函數(shù)的理論來(lái)研究一元函數(shù)，可解決許多問題.例如，隱函數(shù)存在定理的論證、含參積分理論的建立、討論由方程決定的一元函數(shù)的分析性質(zhì)、極值、凸性等.

7 創(chuàng)造與重復(fù)

數(shù)學(xué)是人類精神世界的產(chǎn)物，可以說是天才們“憑空”創(chuàng)造的.數(shù)學(xué)史就是創(chuàng)造與重復(fù)的歷史.“微積分”課程一般分成兩部分：一元函數(shù)微積分學(xué)和多元函數(shù)微積分學(xué).顯然，無(wú)論從形式還是概念與方法方面來(lái)看，前者是創(chuàng)造，后者是重復(fù).當(dāng)然，前者蘊(yùn)含著重復(fù)，后者蘊(yùn)含著創(chuàng)造.上面第6節(jié)展示的就是這種關(guān)系的一點(diǎn)細(xì)節(jié).關(guān)于重復(fù)，柏拉圖、尼采等哲學(xué)家賦予了深刻內(nèi)涵，并分成若干層次.我們?cè)谶@里暫停留在第一層面：重復(fù)就是重復(fù).比較直觀的案例就是在解決具體問題時(shí)，某一方法的累次使用.常見的此類方法如：洛必達(dá)法則、微分中值定理、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)等.例如，利用洛爾定理證明：若區(qū)間上n 階可導(dǎo)函數(shù)有n+1個(gè)零點(diǎn)，則其n 階導(dǎo)數(shù)必有零點(diǎn).一般情況下，命題中只要有關(guān)鍵詞函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)可考慮這類方法.