馬 輝，趙百順，皇甫一樊，韓晨怡

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110819；2. 東北大學 航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，遼寧 沈陽 110819)

齒輪在生產(chǎn)生活中的應用比較廣泛.由于制造誤差、安裝不對中以及輪齒受載后產(chǎn)生的彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形等的影響會造成齒輪副嚙合不對中，齒輪沿齒寬方向接觸不均勻產(chǎn)生偏載現(xiàn)象[1-6].這對系統(tǒng)的振動、噪聲和齒輪副的壽命等會產(chǎn)生很大的影響.對輪齒進行適當?shù)墓南蛐扌慰梢杂行Ь徑恺X輪不對中對系統(tǒng)的不利影響[7-10].

對于不對中齒輪副，Li等[1]分析了直齒輪角不對中對于輪齒微點狀裂紋形核接觸疲勞壽命的影響.Zhang等[2]分析了直齒不對中對于齒面磨損的影響，輪齒不對中會加劇載荷的分布狀態(tài)，加速表面的磨損.在此之后，Wang等[3]和Elsayed等[4]分析了不同形式的不對中對于斜齒輪副嚙合特性的影響，研究發(fā)現(xiàn)一個很小的不對中量變化可以導致接觸應力的顯著變化.Pham等[5]對內(nèi)齒圈不對中進行了理論和實驗研究.輪齒不對中在設計初期是必須考慮的.為了有效緩解不對中的影響，Li[7]研究了齒廓修形、鼓向修形和傳遞轉(zhuǎn)矩對齒輪嚙合應力、載荷分配和嚙合剛度的影響.其研究發(fā)現(xiàn)齒廓修形對輪齒的載荷分配和嚙合剛度有顯著的影響，鼓向修形可以有效緩解由于不對中造成的邊緣應力集中.Yuan等[8]建立了考慮不對中以及鼓向修形的斜齒輪副嚙合模型，其研究發(fā)現(xiàn)鼓向修形可以有效緩解由于不對中所加劇的系統(tǒng)振動.袁冰等[9]基于齒面承載分析方法分析了斜齒輪修形對負載扭矩和嚙合錯位的敏感性，并對修形參數(shù)進行了優(yōu)化，有效降低了系統(tǒng)共振轉(zhuǎn)速.賈超等[10]建立了內(nèi)嚙合人字齒輪不對中模型，通過遺傳優(yōu)化算法進行修形優(yōu)化來降低承載傳動誤差幅值并避免邊緣接觸.

基于上述研究，本文基于MATLAB軟件自編建立了考慮修形的不對中齒輪副嚙合模型，分析了不同條件下齒輪副的時變嚙合剛度及接觸狀態(tài)，并利用有限元方法驗證了本文方法的有效性.同時本文對不同不對中量下的鼓向修形量進行了優(yōu)化來消除不對中的不利影響，給出了最佳修形量與不對中角之間的關(guān)系.對不對中齒輪副修形優(yōu)化設計具有指導意義.

1 考慮不對中的嚙合特性分析模型

1.1 不對中模型

不對中分為角不對中和平行不對中.不對中的產(chǎn)生原因主要是安裝誤差，軸承與箱體在嚙合過程中發(fā)生變形.本文主要討論角不對中的情況.角不對中是指主動輪和從動輪發(fā)生一定的角度錯動(見圖1).

不對中會使齒輪由線接觸變?yōu)辄c接觸，引發(fā)齒輪邊緣的應力集中，惡化接觸狀態(tài)(見圖2).在工程上，通常使用接觸斑點來判斷接觸狀態(tài).在本文的仿真中，以齒面接觸應力的形式展現(xiàn)齒面的接觸狀態(tài).輪齒基本參數(shù)如表1所示.在本文中，鼓向修形量Cβ=10 μm(只修主動輪)，不對中角度θ=0.028 6°.有限元模型圖如圖3所示.

1.2 解析-有限元方法

輪齒承載接觸分析方法的主要思想是利用有限元方法計算齒輪的剛體柔度，利用解析公式計算局部接觸柔度.基于MATLAB軟件對齒面上節(jié)點采用循環(huán)加載法施加單位力獲得嚙合齒面柔度矩陣，柔度矩陣形成過程如圖4所示.為了避免局部變形失真，提取施力點下方節(jié)點的變形存入柔度矩陣.

表1 齒輪副主要參數(shù)

單對齒彎曲剪切柔度矩陣為

(1)

(2)

(3)

(4)

齒輪副整體變形協(xié)調(diào)為

(5)

式中:F為接觸力載荷向量;ε為齒廓偏差向量,由于齒輪不對中以及輪齒修形造成的齒廓偏差作為初始齒廓偏差量引入齒廓偏差向量ε中；ste為靜態(tài)傳遞誤差；Q為齒輪嚙合力.

由于接觸柔度依賴于接觸力，求解得到接觸力矩陣F中小于零的位置為虛假接觸點，將虛假接觸點所在的行和列抹去，隨后進行下一輪迭代求解.當?shù)蠼獾慕佑|力矩陣F滿足收斂準則‖F(xiàn)(k)-F(k-1)‖<εF(εF為收斂容差)后，迭代停止.齒輪副的嚙合剛度k可以表示為

(6)

式中,空載傳遞誤差nlste=min(ε).

2 修形對不對中齒輪副嚙合特性的影響

2.1 鼓向修形對不對中齒輪副的影響

圖5為理想接觸狀態(tài)下的齒輪副齒面接觸應力，圖中向徑rk的定義見圖1.在此狀態(tài)下，載荷沿齒寬近似均勻分布，接觸區(qū)域遍布整個齒寬.同時由圖可以看出，由本文方法和有限元方法得到的接觸應力吻合很好，這表明本文方法對于齒面接觸應力的計算具有較高的計算精度.

圖6為鼓向修形齒輪副齒面接觸應力.在此狀態(tài)下，齒面的兩側(cè)端面不承擔載荷，載荷主要由齒寬的中間位置承擔.在不對中工況下，接觸應力和接觸斑點如圖7所示.在此狀態(tài)下，齒輪呈現(xiàn)明顯的偏載，在右側(cè)端面出現(xiàn)很大的接觸應力，使齒輪邊緣有明顯的應力集中.在這種情況下，非常容易引發(fā)齒輪的點蝕，剝落以及崩角等故障.圖8為不對中工況下的鼓向修形齒輪副齒面接觸應力.鼓向修形補償了一定的不對中量，使邊緣的集中載荷轉(zhuǎn)移到齒面的中間部位.通過與上例的對比可以清楚地看到，鼓向修形可以使不對中工況下的齒面接觸應力分布更加均勻.

從圖6～圖8可以看出:對于處于理想嚙合狀態(tài)的齒輪副，鼓向修形反而會使應力增大；但是對于含有不對中誤差的齒輪副，鼓向修形能對不對中起到明顯的補償作用.

圖9為不同接觸狀態(tài)下的齒輪副時變嚙合剛度.對于各種接觸狀態(tài)，本文方法和有限元方法所得的嚙合剛度均能很好地吻合，這進一步說明了本文方法的有效性.不對中使嚙合剛度急劇下降，利用鼓向修形對不對中進行補償，可以使其嚙合剛度與健康狀態(tài)相近.

2.2 修形量優(yōu)化

在工程中，鼓向修形的一個主要用途就是降低不對中工況下的齒面接觸應力，但是不合適的鼓向修形量反而會增加齒面接觸應力.以降低齒面接觸應力為優(yōu)化目標，進行最佳鼓向修形量的優(yōu)化.為了研究不同不對中角度下的最佳修形量，求取不同鼓向修形量和不對中量下的最大接觸應力(見圖10a).不對中角度與最佳鼓向修形量之間近似為線性關(guān)系，其擬合曲線及近似關(guān)系式見圖10b.

優(yōu)化過程中需要大量地求解計算接觸應力，如將鼓向修形量離散為30份，將不對中角度離散為20份，則一共需要600次接觸應力計算.有限元方法計算一次(一個嚙合周期)接觸應力的時間需要7 h，因此肯定無法勝任如此大規(guī)模的計算.本文方法計算1個嚙合周期需要60 s(57 s用于生成柔度矩陣，3 s用于求解載荷分配).對于同一齒輪副而言，修形和不對中只會改變齒廓偏差向量，柔度矩陣不會改變，因此在優(yōu)化過程中不需要重復計算柔度矩陣.本文方法只需30 min便可完成600次接觸應力計算，相比有限元方法極大地提升了計算效率.

3 結(jié) 論

1) 通過與有限元方法的對比可知，本文方法與有限元方法有著相當?shù)木?誤差在5%以內(nèi))，但計算效率遠遠高于有限元方法.以計算一個嚙合周期為例，本文方法和有限元方法分別耗時4 s和2 h.

2) 對于處于理想嚙合狀態(tài)的齒輪副，鼓向修形反而會使齒面接觸應力增大.在不對中的情況下，輪齒邊緣會出現(xiàn)明顯的應力集中.鼓向修形可以有效地補償不對中量，改善偏載導致的應力集中，使齒面接觸應力分布更加均勻.

3) 鼓向修形常常被用來降低不對中工況下的齒面接觸應力，但是不合適的鼓向修形量反而會增加齒面接觸應力.以降低齒面接觸應力為優(yōu)化目標，進行最佳鼓向修形量的優(yōu)化.結(jié)果表明，最佳鼓向修形量與不對中角度之間近似為線性關(guān)系，可為不對中齒輪副的修形優(yōu)化設計提供理論依據(jù).