裴霞 吳曉 郭鵬 王昕 溫昆

摘 要：為了解決單機調(diào)度問題，提高設(shè)備的可靠性和穩(wěn)定性，根據(jù)連續(xù)故障檢測和離散故障檢測的特點，以最小化拖期成本和維護成本為目標(biāo)，建立了考慮分段線性惡化和維護不可用時間的單機調(diào)度模型，基于系統(tǒng)可靠性理論研究考慮機器可靠性的單機調(diào)度問題，采用決策條件統(tǒng)一化處理方法對維護策略進行對比，通過單因素和雙因素調(diào)參分析確定相關(guān)參數(shù)變化對生產(chǎn)調(diào)度優(yōu)化的影響。結(jié)果表明：模型求解時間與單位時間拖期成本的減少呈近似指數(shù)級增長，單位拖期成本越大，求解速度越快;單位時間拖期成本的變化不會引起維護成本的大幅度改變，成本函數(shù)不存在柔性周期維護中的跳躍節(jié)點，不能“自適應(yīng)”調(diào)節(jié);預(yù)防性維護時間與故障小修比值對離散檢測下的維護決策有較大影響。采用決策條件統(tǒng)一化處理方法，可減少計算時間和檢測成本，較好地解決了離散故障檢測中易出現(xiàn)的過度維護或維護不足等問題，有助于降低運營成本，提高經(jīng)濟效益。

關(guān)鍵詞：生產(chǎn)管理;連續(xù)故障檢測;離散故障檢測;工時惡化;單機調(diào)度;整數(shù)規(guī)劃

中圖分類號：TH186 ? 文獻標(biāo)識碼：A ? doi：10.7535/hbkd.2020yx05001

Abstract：In order to solve the single machine scheduling problem， and improve the reliability and stability of the equipment， a single machine scheduling model considering piecewise linear deterioration and maintenance unavailability time was established according to the characteristics of continuous fault detection and discrete fault detection. Based on the system reliability theory， the single machine scheduling problem considering machine reliability was studied， and the advantages and disadvantages of maintenance strategy were compared by unified processing of decision conditions. The influence of related parameter changes on production scheduling optimization was determined by single factor and two factor adjustment analysis. The results show that the solution time of the model increases exponentially with the decreasing direction of unit delay cost， and the greater the unit delay cost， the faster the solution speed. The change of delay cost per unit time will not cause a significant change in maintenance cost， and the cost function does not have jumping nodes in flexible periodic maintenance， so it can not be adjusted adaptively. Ratio of preventive maintenance time to fault minor maintenance time has great influence on maintenance decision under discrete detection. The unified processing method of decision conditions can reduce the calculation time and detection cost， and better solve the problems of excessive maintenance or insufficient maintenance in discrete fault detection. These will help to reduce operating costs and improve economic benefits.

Keywords：production management;continuous fault detection; discrete fault detection; deteriorating jobs; single machine scheduling; integer programming

伴隨著工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)的興起[1]，產(chǎn)業(yè)數(shù)字化轉(zhuǎn)型成為傳統(tǒng)行業(yè)的發(fā)展趨勢，一站式機械零部件制造云平臺應(yīng)運而生[2]，生產(chǎn)調(diào)度與設(shè)備維護相互影響且互為耦合[3]。如何在保證加工質(zhì)量和效率的同時提高設(shè)備的可靠性和穩(wěn)定性已成為制造行業(yè)的熱點之一。生產(chǎn)調(diào)度研究最早可追溯到20世紀(jì)50年代，它是以一個或多個指標(biāo)最優(yōu)為目標(biāo)，在一定約束條件下安排工件加工位置和時間的決策過程，有研究對此進行了探討。鄭先鵬等[4]通過對生產(chǎn)調(diào)度問題中的作業(yè)車間調(diào)度問題目標(biāo)進行分解，設(shè)計改進了自適應(yīng)遺傳算法求解問題，并指出該問題是典型的NP-hard問題。單機調(diào)度模型也是生產(chǎn)調(diào)度模型中的一種，在實際加工過程中工件開工與加工時間不是固定的，由設(shè)備性能衰退或作業(yè)延遲處理帶來的加工懲罰加大了單機調(diào)度問題的難度。如何在考慮工時惡化的情況下，實現(xiàn)生產(chǎn)調(diào)度與設(shè)備維護策略的最佳適配，對于降低車間運作成本和按時交貨至關(guān)重要。

工時惡化效應(yīng)自GUPTA等[5]首次提出以來，受到了業(yè)界和學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。其中，GAWIEJNOWICZ等[6]對近40年來在時間依賴調(diào)度領(lǐng)域的研究進行了全面回顧，闡述了不同任務(wù)的處理時間取決于任務(wù)的開始時間，重點討論了時間依賴性調(diào)度問題的計算復(fù)雜度以及求解這些問題的算法。JAFARI等[7]研究了分段線性工時惡化單機調(diào)度問題，證明該問題為NP-hard問題。GUO等[8]研究了以最小化總延遲為目標(biāo)的工時階梯惡化單機調(diào)度問題。隨后，CHENG等[9]研究了以完工時間最小為目標(biāo)的工時階梯惡化單機調(diào)度問題。近年來，LI等[10]提出了同時考慮加工時間可控和工時惡化效應(yīng)的單機調(diào)度問題;LIANG等[11]研究了具有工時惡化效應(yīng)和資源分配的單機調(diào)度問題，并設(shè)計了啟發(fā)式算法與分支定界算法求解相關(guān)問題;陳海潮等[12]研究了具有線性惡化的并行機調(diào)度問題;GUO等[13]研究了具有工時階梯惡化效應(yīng)的并行機調(diào)度問題;在此基礎(chǔ)上，GUO等[14]提出了同時考慮工時階梯惡化和安裝次數(shù)的并行機調(diào)度問題，并設(shè)計了混合離散布谷鳥搜索算法求解。

設(shè)備在生命周期內(nèi)會經(jīng)歷不同的性能衰退狀態(tài)。維護作為一種支持功能，在保證產(chǎn)品質(zhì)量和交貨期、提高滿意度等方面起著重要作用，維護不當(dāng)會產(chǎn)生“過維護”（指過度維護）或“欠維護”（指維護不足）的狀況?！斑^維度”將加大設(shè)備剩余價值浪費，增加維護成本;“欠維護”將影響產(chǎn)品質(zhì)量和實際交付時間，降低顧客的滿意度。因此，如何根據(jù)實際生產(chǎn)情況選擇合適的維護決策方案引起了業(yè)界和學(xué)界的廣泛關(guān)注。KRIM等[15]研究了以完工時間最小為目標(biāo)的定期預(yù)防性維修單機調(diào)度問題，并證明該問題是Np-hard問題;LEE等[16]研究了考慮一次維護的單機調(diào)度問題，設(shè)計了動態(tài)規(guī)劃算法求解相關(guān)問題;JOO等[17-18]引入遺傳算法求解維護次數(shù)受限的生產(chǎn)調(diào)度問題，隨后去掉了維護次數(shù)約束進行拓展研究;王昕等[19]研究了考慮周期性維護與工時惡化的單機調(diào)度問題;ZHANG等[20]研究了考慮惡化效應(yīng)和維護活動的單機調(diào)度問題?；跔顟B(tài)的維護決策研究主要從設(shè)備可靠性約束方面展開討論，崔維偉等[21]在單機系統(tǒng)里引入了故障小修，為保證決策模型有效，設(shè)計了遺傳算法和枚舉算法進行優(yōu)化對比;為說明可靠度隨維護次數(shù)增加而下降的情況，李有堂等[22]在多設(shè)備混聯(lián)系統(tǒng)中引入了役齡遞減因子與故障率遞增因子;楊宏兵等[3]通過建立Markov決策模型獲得模型最優(yōu)方程，設(shè)計了強化學(xué)習(xí)算法求解預(yù)防性維護單機調(diào)度問題。

綜上可知，考慮設(shè)備維護和惡化效應(yīng)的生產(chǎn)調(diào)度研究已較為豐富，但部分研究理論作出的假設(shè)使其成果不能得到很好的應(yīng)用。例如設(shè)備維護策略多樣，而多數(shù)研究集中于單次維護策略下的生產(chǎn)調(diào)度優(yōu)化，忽略了改變維護策略、優(yōu)化建模方向等方式。此外，工時惡化函數(shù)多樣，但多數(shù)研究采用一般線性函數(shù)，使用分段線性惡化描述的還較少，且多數(shù)研究從生產(chǎn)時間角度進行優(yōu)化，忽略了生產(chǎn)與維護之間的矛盾關(guān)系。

本文根據(jù)連續(xù)故障檢測（通常根據(jù)設(shè)備狀況設(shè)置故障率閾值Zcm，根據(jù)故障率閾值比對決策預(yù)防性維護位置）和離散故障檢測（通常根據(jù)最優(yōu)設(shè)備利用率下的維護周期T來設(shè)置維護決策）的特點，以最小化拖期成本和維護成本為目標(biāo)，建立考慮分段線性惡化和維護不可用時間的單機調(diào)度模型，基于系統(tǒng)可靠性理論，研究了考慮機器可靠性的單機調(diào)度問題，采用決策條件的統(tǒng)一化處理實現(xiàn)維護策略的優(yōu)劣對比，通過單因素和雙因素調(diào)參分析確定相關(guān)參數(shù)變化對生產(chǎn)調(diào)度優(yōu)化的影響。

1 問題描述

假設(shè)生產(chǎn)車間中有n個工件集合為Jj={J1，J2，…，Jn}在機器M上加工，工件基本加工時間aj={a1，a2，…，an}，惡化率bj={b1，b2，…，bn}，交貨期dj={d1，d2，…，dn}，機器在同一時刻只能加工一個工件且在加工過程中不允許中斷?？紤]機械加工設(shè)備性能衰退造成的工時惡化效應(yīng)，將加工設(shè)備分為正常作業(yè)、惡化作業(yè)、失效3個作業(yè)狀態(tài)。pj為實際加工時間，sj為連續(xù)加工時間，h為設(shè)備惡化期，σ為設(shè)備惡化系數(shù)，α為單位時間拖期懲罰成本，Δ為極大常數(shù)。一旦該設(shè)備連續(xù)加工時間超過設(shè)備惡化期，將面臨加工性能惡化。采用分段線性函數(shù)表述工時惡化情況，表達式如下：pj=aj， sj≤h，

aj+bj×（sj-h）， s>h。

故障率能較好地表征設(shè)備狀態(tài)條件?；诠收下实木S護策略，可通過采用連續(xù)故障檢測或離散故障檢測獲取故障率數(shù)據(jù)，從而對設(shè)備故障率作出準(zhǔn)確評估。維護成本主要分為維護動作成本和維護時間成本，維護動作成本MM包含故障小修、預(yù)防性維護及維護檢測的操作成本，維護時間成本MT用停機時間表示，故障小修和預(yù)防性維護會導(dǎo)致停機。

假設(shè)所有工作均在零時刻準(zhǔn)備就緒，設(shè)備完成維護活動后，性能可恢復(fù)至初始狀態(tài)。采用GRAHAM等[23]提出的三參數(shù)表示法描述狀態(tài)維護策略下考慮工時惡化的單機生產(chǎn)調(diào)度問題：1|nr，pj=aj+max{0，bj×（sj-h）}，dpm|ω1Dmax+ω2Mmax。（1） ?式中：1表示單機;nr表示工件加工和設(shè)備維護均不可中斷;dpm表示基于條件的動態(tài)維護;ω1 和ω2分別是生產(chǎn)部門和維護部門的權(quán)重系數(shù);ω1Dmax+ω2Mmax表示將從成本角度出發(fā)，以最小化工件延誤成本和設(shè)備維護成本為目標(biāo)。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 連續(xù)故障檢測維護模型的建立

n個工件調(diào)度后有n個位置，位置下標(biāo)為l，其他模型符號與定義如表1所示。

3.1 連續(xù)/離散檢測策略比較

兩種策略決策條件不同，通過決策條件“統(tǒng)一化”（連續(xù)故障檢測根據(jù)設(shè)備狀況設(shè)置故障率閾值Zcm，通過對故障率與故障率閾值進行比較來決策預(yù)防性維護位置;離散故障檢測是根據(jù)最優(yōu)設(shè)備利用率下的維護周期T來決策維護位置。為了對兩種檢測方法進行對比，通過系統(tǒng)故障率分布函數(shù)，將離散故障檢測的維護周期T轉(zhuǎn)化為故障率，該轉(zhuǎn)化過程定義為決策條件“統(tǒng)一化”）實現(xiàn)T與故障率的轉(zhuǎn)化。

將離散檢測策略最優(yōu)維護周期代入T=100×tc/tr，得T=200，令t=200，代入λ（t）=t/5 000中得故障率為0.04。因此，在算例對比分析中，連續(xù)故障率檢測策略設(shè)置故障率閾值Zcm=0.04，離散故障率檢測策略設(shè)置最優(yōu)維護周期T=200?；炯庸r間aj服從[1，100]的均勻分布，交貨期dj服從aj+U（0，3aj]，n∈{5，10}，保持加工環(huán)境不變，各生成5組算例。計算結(jié)果如表4所示，其中，CD表示連續(xù)檢測，DD表示離散檢測。

對表4分析可知：同一算例連續(xù)檢測和離散檢測所得的最優(yōu)調(diào)度方案相同，拖期成本也相同，而離散檢測的成本總是少于連續(xù)檢測的成本。模型運算時間上，離散檢測模型計算時間比連續(xù)檢測模型的計算時間長，特別是算例規(guī)模變大時，區(qū)別更為明顯。為了同時優(yōu)化計算時間和成本，可采取決策條件“統(tǒng)一化”方法。通過數(shù)值仿真計算得出連續(xù)檢測策略下的調(diào)度序列，再用離散檢測的最優(yōu)維護周期進行檢測并決策維護操作點，實現(xiàn)計算時間和檢測成本的減少。

3.2 單位時間拖期成本的影響

針對同一算例，采用單因素控制法調(diào)整單位時間拖期成本參數(shù)。大量數(shù)據(jù)實驗結(jié)果顯示，在調(diào)整α參數(shù)時，兩種方案所表示的趨勢相同，故選取一種進行分析。當(dāng)α足夠小時，Gurobi求解器不能在限定時間內(nèi)獲得規(guī)模為10的小規(guī)模算例的最優(yōu)解。圖1和圖2分別顯示了2個算例單位時間拖期成本對總成本目標(biāo)和運算時間的影響情況。

對圖1分析可知：總成本和拖期成本與單位時間拖期成本α呈線性相關(guān)，線性函數(shù)斜率與算例中的作業(yè)數(shù)據(jù)有關(guān)。維護成本基本無變化，不存在周期性維護[19]中的多個跳躍點節(jié)點（跳躍點節(jié)點是指在某一個參數(shù)比值對應(yīng)的節(jié)點，目標(biāo)函數(shù)值會往靠近固定周期維護目標(biāo)值的方向突變）。圖2顯示了模型求解時間與α的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：單位時間拖期成本α越大，求解速度越快。

3.3 維護與小修時間比值的影響

離散故障率檢測的決策條件T對tc/tr比值依賴性強，為探究該參數(shù)比值對兩種方案的影響，需進行調(diào)參分析。保持tr=5，Zcm=0.04不變，令tc={1，5，10，15，20，25，30，35，40}，改變維護時間參數(shù)進行實驗，得到如表5所示的調(diào)度方案成本。將總成本進行分解，得到tc/tr比值變化下的各項成本情況，如圖3所示。

由表5可知：維護時間tc的增加不影響連續(xù)檢測CD維護決策下的調(diào)度方案，但對離散檢測DD維護決策有較大影響。CD維護決策由故障率閾值決定，因此維護位置不發(fā)生改變。若以CD調(diào)度方案為標(biāo)準(zhǔn)，DD調(diào)度方案則存在過維護或欠維護的情況。例如表5中tc=1為過維護，tc=35和tc=40為欠維護。

圖3為tc/tr比值變化下的各項成本情況。通過分析可知，tc主要影響DD的維護成本，對拖期成本影響不大。當(dāng)tc=1時，使用離散檢測策略導(dǎo)致了過維護，但各項成本值均低于使用連續(xù)檢測策略下的情況，這說明基于故障率閾值條件決策維護得到的結(jié)果并不總是最優(yōu)的。

4 結(jié) 論

本文研究了狀態(tài)維護策略與工時惡化作用下的單機調(diào)度問題，基于連續(xù)故障檢測和離散故障檢測兩種維護策略的特點，分別以最小化最大拖期成本和維護成本為目標(biāo)，建立了考慮分段線性惡化和維護不可用時間的單機調(diào)度模型。通過對計算結(jié)果進行分析，得到如下結(jié)論。

1）離散檢測模型運算時間比連續(xù)檢測長，但成本更少，采用決策條件“統(tǒng)一化”處理，可減少檢測成本與模型運算時間。

2）維護成本基本不隨單位時間拖期成本發(fā)生變化，不存在周期性維護中的多個跳躍節(jié)點，不能“自適應(yīng)”調(diào)節(jié)，模型運算時間隨單位時間拖期成本的減少呈指數(shù)級增長。

3）預(yù)防性維護時間與故障小修時間比值對離散檢測維護決策有較大影響，存在過維護或欠維護狀態(tài)，但基于故障率閾值條件的連續(xù)檢測維護決策得到的調(diào)度方案不一定最優(yōu)。

本文基于系統(tǒng)可靠性理論，探討了考慮機器可靠性的單機調(diào)度問題，但研究中也存在著不足之處。在模型建立方面，僅考慮了分段線性惡化和維護不可用時間，有必要考慮負載、可變時長維護等因素帶來的成本不確定性，在維護策略的選擇上應(yīng)設(shè)計算例與其他策略進行優(yōu)劣對比;在數(shù)據(jù)來源方面，僅參考相關(guān)文獻隨機生成數(shù)據(jù)。未來應(yīng)與機械加工企業(yè)合作，獲取真實的生產(chǎn)數(shù)據(jù)，使研究結(jié)果更能直接反映實際情況，進一步探索將狀態(tài)維護策略與兩階段線性工時惡化應(yīng)用到更為復(fù)雜的生產(chǎn)系統(tǒng)中。

參考文獻/References：

[1] 姚錫凡，景軒，張劍銘，等.走向新工業(yè)革命的智能制造[J/OL].計算機集成制造系統(tǒng)，2020：1-30[2020-03-12]. http：//kns.cnki.net/kcms/detail/11.5946.TP.20200312.1339.010.html.

YAO Xifan， JING Xuan，ZHANG Jianming，et al.Towards smart manufacturing for the new industrial revolution[J/OL].Computer Integrated Manufacturing Systems， 2020：1-30[2020-03-12]. http：//kns.cnki.net/kcms/detail/11.5946.TP.20200312.1339.010.html.

[2] 孫學(xué)珊，楊欣，李民.工業(yè)云平臺的構(gòu)建與服務(wù)新模式研究[J].中國市場， 2019（2）： 191-192.

SUN Xueshan， YANG Xin， LI Min.Research on the construction of industrial cloud platform and new service mode[J]. China Marketing，2019（2）： 191-192.

[3] 楊宏兵，沈露，成明，等. 帶退化效應(yīng)多態(tài)生產(chǎn)系統(tǒng)調(diào)度與維護集成優(yōu)化[J]. 計算機集成制造系統(tǒng)， 2018， 24（1）： 80-88.

YANG Hongbing，SHEN Lu，CHENG Ming，et al.Integrated optimization of scheduling and maintenance in multi-state production systems with deterioration effects[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems， 2018，24（1）： 80-88.

[4] 鄭先鵬， 王雷.面向作業(yè)車間調(diào)度問題的遺傳算法改進[J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報， 2019， 40（6）： 496-502.

ZHENG Xianpeng，WANG Lei.Improved genetic algorithm for job shop scheduling[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology， 2019， 40（6）： 496-502.

[5] GUPTA J N D， GUPTA S K. Single facility scheduling with nonlinear processing times[J].Computers & Industrial Engineering， 1988， 14（4）： 387-393.

[6] GAWIEJNOWICZ S. A review of four decades of time-dependent scheduling： Main results， new topics， and open problems[J].Journal of Scheduling， 2020. doi：10.1007/s10951-019-00630-w.

[7] JAFARI A A， LOTFI M M. Single machine scheduling to minimize the maximum tardiness under piecewise linear deteriorating jobs[J]. Scientia Iranica， 2017. doi：10.24200/sci.2017.4408.

[8] GUO P， CHENG W M， WANG Y. A general variable neighborhood search for single-machine total tardiness scheduling problem with step-deteriorating jobs[J]. Journal of Industrial Management Optimization， 2017， 10（4）： 1071-1090.

[9] CHENG T C E， KRAVCHENKO S A， LIN B M T. Scheduling step-deteriorating jobs to minimize the total completion time[J].Computers Industrial Engineering， 2020. doi：10.1016/j.cie.2020.106329.

[10] LI L， WANG J J. Scheduling jobs with deterioration effect and controllable processing time[J].Neural Computing Applications， 2016， 29： 1163-1170.

[11] LIANG X X， LIU M， FENG Y B， et al. Solution algorithms for single-machine resource allocation scheduling with deteriorating jobs and group technology[J]. Engineering Optimization， 2020， 52（7）： 1184-1197.

[12] 陳海潮， 程文明， 郭鵬， 等. 混和進化算法求解具有分段惡化效應(yīng)的并行機調(diào)度問題[J]. 計算機系統(tǒng)應(yīng)用， 2020， 29（4）： 10-17.

CHEN Haichao，CHENG Wenming，GUO Peng，et al.Hybrid evolutionary algorithm for solving parallel machine scheduling problems with step-piece deteriorating processing time[J].Computer System & Applications，2020， 29（4）： 10-17.

[13] GUO P， CHENG W M， ZENG M. Scheduling step-deteriorating jobs on parallel machines by mixed integer programming[J]. Journal of Donghua University（English Edition）， 2015， 32（5）： 709-714.

[14] GUO P， CHENG W M， WANG Y. Parallel machine scheduling with step-deteriorating jobs and setup times by a hybrid discrete cuckoo search algorithm[J]. Engineering Optimization， 2015， 47（11）： 1564-1585.

[15] KRIM H， RACHID B， DUVIVIER D， et al. Heuristics for the single machine weighted sum of completion times scheduling problem with periodic maintenance[J]. Computational Optimization and Applications， 2020，75（1）： 291-320.

[16] LEE C Y， LEON V J. Machine scheduling with a rate-modifying activity[J]. European Journal of Operational Research， 2001， 128（1）： 119-128.

[17] JOO C M， KIM B S. Genetic algorithms for single machine scheduling with time-dependent deterioration and rate-modifying activities[J]. Expert Systems with Applications， 2013， 40（8）： 3036-3043.

[18] JOO C M， KIM B S. Machine scheduling of time-dependent deteriorating jobs with determining the optimal number of rate modifying activities and the position of the activities[J]. Journal of Advanced Mechanical Design Systems & Manufacturing， 2015. doi：10.1299/jamdsm.2015jamdsm0007 .

[19] 王昕， 吳曉， 郭鵬， 等. 考慮周期性維護與工時惡化的單機調(diào)度研究 [J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報， 2020， 41（3）： 201-209.

WANG Xin， WU Xiao， GUO Peng， et al. Single machine scheduling with time-based maintenance and step-deteriorating jobs[J].Journal of Hebei University of Science and Technology， 2020， 41（3）： 201-209.

[20] ZHANG X， YIN Y， WU C C. Scheduling with non-decreasing deterioration jobs and variable maintenance activities on a single machine[J]. Engineering Optimization， 2017，49（1）：84-97.

[21] 崔維偉， 陸志強. 單機系統(tǒng)的生產(chǎn)調(diào)度與預(yù)防性維護的集成優(yōu)化[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報， 2012， 46（12）： 2009-2013.

CUI Weiwei，LU Zhiqiang. Integrating production scheduling and preventive maintenance planning for a single machine[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University， 2012， 46（12）： 2009-2013.

[22] 李有堂， 程鑰， 任澤海.基于可靠性的混聯(lián)系統(tǒng)的動態(tài)預(yù)防性維護策略[J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報， 2018， 44（6）： 35-38.

LI Youtang，CHENG Yue，REN Zehai.Dynamic preventive maintenance strategy for hybrid system based on reliability[J].Journal of Lanzhou University of Technology，2018， 44（6）： 35-38.

[23] GRAHAM R L， LAWLER E L， LENSTRA J K， et al. Optimization and approximation in deterministic sequencing and scheduling： A survey[J]. Annals of Discrete Mathematics， 1979， 5（1）： 287-326.

[24] 金琳， 黃開敏， 周曉軍.租賃設(shè)備的多階段預(yù)防性維護策略及優(yōu)化[J]. 計算機集成制造系統(tǒng)， 2013， 19（12）： 2947-2953.

JIN Lin， HUANG Kaimin，ZHOU Xiaojun.Multi-period preventive maintance policy and optimization for leased equipment[J].Computer Integrated Manufacturing Systems，2013， 19（12）： 2947-2953.

[25] 于捷， 申桂香， 賈亞洲.基于三參數(shù)威布爾分布的數(shù)控機床的可靠性評價[J]. 現(xiàn)代制造工程， 2007（5）： 26-28.

YU Jie， SHEN Guixiang，JIA Yazhou.Reliability evaluation on CNC lathes based on the three Weibull distributions[J].Modern Manufacturing Engineering， 2007（5）： 19-20.