甘肅 張建文

直觀想象素養(yǎng)是高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一,而空間圖形是培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)的主要素材.直觀想象包括圖形的構(gòu)建與分解,還包括利用圖形進行的相關推理與運算.本文依托不同的圖形情境,重點舉例說明空間圖形中的變化問題、函數(shù)問題、軌跡問題、截面問題以及最值問題等.依托空間圖形進行學生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)重在以問導學、以題引路,使得學生在感受圖形變化的同時,學會反思總結(jié).下面筆者就依托空間圖形訓練學生直觀想象，并進行實例簡述.

1.折疊中的變化問題

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分析:此題是訓練或考查學生直觀想象素養(yǎng)的良好素材,包含圖形的動態(tài)變化過程,涉及變量的有效選擇,不等式的構(gòu)造.解答的關鍵在于控制變量單獨分析.

問題1.體會翻折過程，我們怎么將D在AB上的位置轉(zhuǎn)化為角度？(設∠BCD=α)

問題2.在B′C變化的過程中，異面直線B′C與AD的夾角如何用圖形直觀表示？

問題3.異面直線B′C與AD的夾角是如何刻畫的？

問題4.在翻折過程中θ和∠B′CE是連續(xù)變化的嗎？

問題5.可以明確說明θ和∠B′CE的變化關系嗎？

問題7.那臨界狀態(tài)是什么？

問題8.通過此練習題你有什么收獲？(旨在促進學生進行反思)

學生總結(jié)：①要體會圖形的折疊過程，從中發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口；

②要理解變與不變的辯證關系，變化中有不變，不變中有變化；

啟示：以問題促進學生思維發(fā)展，可以引導學生找準思維基點，發(fā)現(xiàn)知識的聯(lián)系點，在學生會與不會處設置引導性問題，助力學生形成良好的思維習慣，獲得思維經(jīng)驗，培養(yǎng)辯證思維和數(shù)學核心素養(yǎng).

2.變動中的函數(shù)問題

例2.如圖為正方體ABCD-A1B1C1D1，動點M從點B1出發(fā)，在正方體表面沿逆時針方向運動一周后,再次回到B1的運動過程中,點M與平面A1DC1的距離保持不變,運動的路程x與l=MA1+MC1+MD之間滿足函數(shù)關系式l=f(x),則此函數(shù)圖象大致是

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分析：體會動點M的運動過程，確定點M的運動軌跡,從中直觀感受點M與三點A1,D,C1的距離變化,體會在點M運動變化過程中的變化與不變.

師生互動過程：在引導學生確定點M的運動軌跡后,找準學生的思維障礙點,以問題為索引引導學生進行量化分析,掌握通性通法,特別是選擇題的解答方法,最后引導學生進行自我評價和總結(jié),達到觸類旁通的效果.

問題1.如何理解題目中的“點M與平面A1DC1的距離保持不變”？

問題2.體會動點M的運動過程,能畫出動點M的軌跡嗎？

學生操作：以線面平行的判定定理為依據(jù),在平面ABB1A1內(nèi),過B1有B1A∥平面A1DC1，

同理可得AC∥平面A1DC1,CB1∥平面A1DC1,所以動點M的軌跡是△B1AC的三邊.

問題3.設正方體的棱長是1,根據(jù)題型來看,要構(gòu)造函數(shù)還是取特殊點分析比較好.

學生思考：取特殊點分析驗證,排除不合理選項.

問題4.取哪些特殊點進行？

問題5.通過此題的解答你有什么收獲？

學生總結(jié)：①選擇題的解答應該是小題巧做,不要小題大做;

②此題的“題眼”是動點的軌跡，解題方法是排除法；

③在變化中構(gòu)造函數(shù)關系,體會變化與不變的辯證關系.

啟示：課堂上的解題教學要以問題背景為情境，通過恰到好處的問題引導使得學生思維能夠經(jīng)歷整個分析過程，體會動點的運動過程，直觀感受變動過程中的各種數(shù)量關系，為問題的有效解決提供方向．這使得學生能抓住問題的本質(zhì)，進而產(chǎn)生“頓悟”.

3.空間軌跡判斷:轉(zhuǎn)化與化歸

例3.已知異面直線a,b的夾角是60°,其公垂線段為EF,|EF|=2,長為4的線段AB的兩端分別在直線a,b上運動,則AB中點的軌跡為

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A.橢圓 B.雙曲線

C.圓 D.以上都不是

分析：此題屬于立體幾何中的動點軌跡判斷問題,關鍵要合理作圖,在圖形中觀察出線段之間的數(shù)量關系,將空間動點轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)動點問題,建立恰當?shù)淖鴺讼到鉀Q問題.

師生互動過程：在通讀題目的基礎上,引導學生在腦海中想象線段AB的運動過程,體會AB中點P的運動過程,大致確定動點P所在的平面.之后引導學生畫出簡圖,將問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)動點的軌跡問題,最后通過定義確定曲線或選擇方程確定曲線解決問題．

問題1.你能直觀感受到AB中點P的軌跡嗎?

學生思考:在腦海中感受圖形的運動過程.

問題2.你可以畫出簡圖進行量化分析嗎？

學生操作：設EF的中點為O，過O作EF的垂面α，

可知AB中點P必在面α上，同時設M,N為A,B在平面α內(nèi)的射影點.

問題3.原問題可以進行怎樣轉(zhuǎn)化？

學生操作:可以將問題轉(zhuǎn)化為“已知在平面α內(nèi),兩直線之間的夾角是60°,且相交于點O,M,N是兩直線上的兩個動點,判斷M,N中點P的軌跡.”

問題4.通常情況下,我們是怎么判斷動點的軌跡問題的？

學生思考：根據(jù)定義或是借助方程.

問題5.若是借助方程,該怎么求解點P的軌跡方程？

學生操作：在平面α內(nèi)建立坐標系,求出動點P的軌跡方程.

問題6.怎么建系比較好？為什么？

學生操作：以O為坐標原點,∠MON的角平分線為x軸,建立平面直角坐標系,如圖所示.這樣建系可以得到標準方程,便于判斷軌跡.

問題7.如何建立點P的坐標與MN之間的關系？

學生操作：設OM=m,ON=n,由余弦定理可知,MN2=12=m2+n2-2mncos60°,

即m2+n2-mn=12(*),

問題8.你從中有什么收獲？

學生總結(jié)：①空間軌跡問題通常要轉(zhuǎn)化到某個平面內(nèi)研究；

②軌跡判斷問題通?？梢酝ㄟ^先求曲線方程再判斷軌跡.

啟示：轉(zhuǎn)化與化歸思想也是立體幾何常用到的思想,就是要將空間內(nèi)比較復雜的問題轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)分析研究.我們研究習題不光是為了掌握知識的應用，更是為了鍛煉思維，提高分析問題和解決問題的能力，形成數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

4.空間幾何體的截面問題

例4.已知正方體的體積為1,點M在線段BC上(點M異于B,C兩點),點N為線段CC1的中點,若平面AMN截正方體ABCD-A′B′C′D′所得的截面為四邊形,則線段BM的取值范圍為

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分析：此題屬于動態(tài)變化中的截面問題,通過點的運動變化，直觀想象截面的動態(tài)圖形并判斷其形狀.解答的關鍵在于合理借助圖形進行準確作圖,找準圖形變化的臨界狀態(tài),抓主抓重.

師生互動過程：教師首先要營造思維環(huán)境,引導學生在腦海中直觀感受圖形的變化過程,其次要作圖分析,增強學生的動手能力,找準截面是四邊形與五邊形的臨界狀態(tài).最后，再次清晰經(jīng)歷圖形的動態(tài)變化過程,確定動點M的范圍.

問題1.可以作出簡圖,感受動點M的變化過程嗎？

學生操作：根據(jù)題意作簡圖,并讓點M在BC上運動,直觀想象截面圖形.

問題2.可以取特殊點作出四邊形截面或五邊形截面嗎？

學生操作：取靠近B的點M可以得到截面是四邊形,取靠近C的點M可以得到截面是五邊形.

問題3.截面圖形的對邊之間有什么關系？對你有什么啟示？

學生觀察思考：兩個平行平面內(nèi)的直線平行,如四邊形中MN∥AP,五邊形中MN∥AH,AM∥HQ.由此可知只要作出對應的邊，找到對應的點就可以確定截面圖形的形狀.

問題4.四邊形與五邊形的臨界狀態(tài)是怎樣的？

問題5.你從中有什么收獲？

學生總結(jié)：①截面問題的關鍵是要確定截面圖形的邊和頂點;

②思路上的突破要通過取特殊點進行觀察比較；

③體會圖形變化過程,學會將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.

5.空間最值問題

例5.(2017·全國卷Ⅰ理·16)如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________.

分析：先體會圓形紙片上剪出來的三棱錐的大小變化過程,大小是由三角形ABC的邊長來控制,同時要確定邊長為何值時構(gòu)造的三棱錐的體積最大.要通過觀察或構(gòu)造函數(shù)來確定三棱錐的最大體積.

師生互動過程：首先教師引導學生感受圖形的變化過程,在腦海中構(gòu)造三棱錐,并使得三棱錐的大小隨著三角形ABC的邊長變化而變化;其次嘗試探尋求解三棱錐體積最大的方法(構(gòu)造函數(shù));最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進行解答.

問題1.你能直觀想象三棱錐的形成過程嗎？

學生思考：形成的三棱錐是正三棱錐(底面是正三角形，側(cè)棱長都相等),其圖形變化始終保持以下三點：①必須是圓形紙板裁剪出來的;②圓心O是三角形ABC的中心;③延伸出來的三角形是等腰三角形.

問題2.三棱錐的體積怎么確定？

問題3.通常通過什么方法來確定一個量的最值？三棱錐的最大體積怎么確定？

學生操作：通常情況下確定一個量最值的方法有觀察法和構(gòu)造函數(shù)法.由于三棱錐底面積和高都在變化,通過觀察來確定三棱錐的體積最大值行不通,所以只能通過構(gòu)造函數(shù)來實現(xiàn).

問題4.觀察圖形,三棱錐的底面邊長與高有什么關系？

問題5.選擇哪個量作為函數(shù)的自變量比較好？為什么？

學生操作：從計算過程的簡潔度來看,因為每一個量都與OG有直接聯(lián)系,所以選擇OG作為自變量最好.

問題6.怎么來求這個函數(shù)的最值？

問題7.怎么確定定義域？

問題8.怎么求三棱錐體積的最大值？

問題9.從中你有什么收獲？

學生總結(jié)：①要體會圖形的變化過程，感受變化中的不變性;

②學會通性通法，掌握最值問題的常見處理方法;

③學會轉(zhuǎn)化與化歸思想，將復雜問題簡單化.

6.思考與展望