陜西 劉再平

一、函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵、原則與思維模式

1、函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的一類重要模型，是高中數(shù)學(xué)的核心模塊，貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終. 函數(shù)思想是基于對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象、抽象數(shù)量特征并建立函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)的知識(shí)來(lái)觀察、分析和解決問(wèn)題的一種思維方式.方程思想是基于對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，根據(jù)問(wèn)題所表征的意思設(shè)一些未知量，然后根據(jù)題設(shè)中各個(gè)量之間的聯(lián)系，建立變量之間的等量關(guān)系，即列出方程或方程組去分析和轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使得問(wèn)題獲得解決的一種思維方式.

函數(shù)與方程聯(lián)系緊密，可以互相轉(zhuǎn)化. 若一個(gè)函數(shù)有解析式，那么這個(gè)解析式就可以看成一個(gè)方程，反過(guò)來(lái)一個(gè)二元方程中，兩個(gè)非空數(shù)集變量間存在著某種映射關(guān)系，則這個(gè)方程就可以看成一個(gè)函數(shù).如：解方程f(x)=0可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn);方程f(x)=a有解可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)a屬于函數(shù)y=f(x)的值域;方程f(x)=g(x)的解可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的交點(diǎn)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為新函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

2、函數(shù)與方程思想的原則

在運(yùn)用函數(shù)與方程思想時(shí)，需要遵循以下原則：

(1) 轉(zhuǎn)化等價(jià)性原則. 函數(shù)與方程問(wèn)題互相轉(zhuǎn)化的前提是要保證轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，如：在涉及三角換元的轉(zhuǎn)化過(guò)程中要注意三角函數(shù)的有界性，從而避免擴(kuò)大了函數(shù)的定義域.

(2) 簡(jiǎn)單性原則. 數(shù)學(xué)解題中，頻繁的復(fù)雜推理和運(yùn)算會(huì)讓人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣受到消耗，所以要善于對(duì)比和辨析，在可接受的范圍內(nèi)追求其解法的簡(jiǎn)單性. 如：2012年全國(guó)卷文科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題可以通過(guò)變參分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程問(wèn)題，再通過(guò)隱含零點(diǎn)的代換解決，顯然這樣解決比較煩瑣，直接運(yùn)用不等式與函數(shù)的最值解決更為簡(jiǎn)潔.

3、運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的思維程序

評(píng)注：(1)函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線，函數(shù)與方程思想也是中學(xué)階段運(yùn)用最頻繁的數(shù)學(xué)思想，在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)要有運(yùn)用函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化的意識(shí)；

(2)函數(shù)與方程的引入方法有很多，特別是函數(shù)的引入手段非常豐富，如: 整體引入、局部引入、參變分離引入、分離函數(shù)引入、作差引入等；

(3)在解決引入的函數(shù)與方程問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)用到函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)最值或函數(shù)的圖象等.

二、近十年全國(guó)卷壓軸題中的函數(shù)與方程思想統(tǒng)計(jì)與分析

近十年全國(guó)卷共42套試卷，即有42道壓軸題，其中35道是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題，約占總量的83.3%，這也表明函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題承擔(dān)了大部分全國(guó)卷壓軸題的角色，所以下面主要研究近十年全國(guó)卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中的函數(shù)與方程思想，具體如下統(tǒng)計(jì)：

從上表可以獲得以下結(jié)論：

首先，近十年全國(guó)卷35道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題有32道是對(duì)函數(shù)與方程思想的考查，約占91.4%，說(shuō)明函數(shù)與方程思想在全國(guó)卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中考查得十分頻繁，不容忽視.

其次，從上述表格不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)與方程思想在2010年-2018年的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中考查較多，然而在2019年高考?jí)狠S題中出現(xiàn)較少，這是因?yàn)?019年全國(guó)卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的六套數(shù)學(xué)試卷的壓軸題有五道變?yōu)榱藞A錐曲線試題，然而這并不能斷定2020年高考全國(guó)卷不會(huì)以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容命制壓軸題，更不能說(shuō)明高考會(huì)降低對(duì)函數(shù)與方程思想的考查.

最后，近十年文理科全國(guó)卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題對(duì)函數(shù)與方程思想的考查頻率一樣高，這說(shuō)明函數(shù)與方程思想要引起文理科師生的共同重視，具體來(lái)說(shuō)，要重視構(gòu)造函數(shù)和通過(guò)參變分離將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題的能力.

三、十年壓軸題中的函數(shù)與方程的引入方法

如何引入函數(shù)和方程呢？引入函數(shù)和方程的具體方法有哪些呢？下面將以近十年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題為例進(jìn)行闡述，鑒于篇幅，下文只分析函數(shù)與方程的引入思路，不給出詳細(xì)的解答過(guò)程.

1、通過(guò)函數(shù)零點(diǎn)與方程的轉(zhuǎn)化引入

由于函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)解析式等于零的方程的根，也是函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可以通過(guò)分離函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，所以通過(guò)零點(diǎn)與方程的轉(zhuǎn)化是常見的引入方式.

例1(2018·全國(guó)卷Ⅱ理·21)已知函數(shù)f(x)=

ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

運(yùn)用思路：(Ⅰ)證明略.

(Ⅱ)由題函數(shù)f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)=0在(0,+∞)只有一個(gè)根，通過(guò)代數(shù)變形后則方程1-ax2e-x=0在(0,+∞)只有一個(gè)根，所以引入函數(shù)g(x)=1-ax2e-x，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)在(0,+∞)上與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).

2、通過(guò)隱含零點(diǎn)與方程的轉(zhuǎn)化引入

函數(shù)的隱含零點(diǎn)與方程的轉(zhuǎn)化是全國(guó)卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中的重點(diǎn)、熱點(diǎn)與難點(diǎn)，主要是要運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理準(zhǔn)確的找到隱含的零點(diǎn)，再將其轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)有效的代數(shù)變換，如：2019年全國(guó)卷Ⅱ文科壓軸題、2017年全國(guó)卷Ⅱ理科壓軸題、2016年全國(guó)卷Ⅱ理科壓軸題等.

例2(2015·全國(guó)卷Ⅰ文·21)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(Ⅰ)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

運(yùn)用思路：(Ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)存在唯一零點(diǎn);

3、通過(guò)函數(shù)極值與方程的轉(zhuǎn)化引入

函數(shù)極值問(wèn)題也是全國(guó)卷高考常見的壓軸題，由于函數(shù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值必然為零，所以函數(shù)極值問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)由題f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，因?yàn)闃O值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零，所以函數(shù)極值問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化：方程f′(x)=0存在兩個(gè)根x1,x2，通過(guò)代數(shù)變形知方程x2-ax+1=0存在兩個(gè)根x1,x2，再結(jié)合一元二次方程的韋達(dá)定理等知識(shí)解決問(wèn)題.

4、通過(guò)不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化引入

函數(shù)與不等式綜合問(wèn)題是近十年全國(guó)卷中出現(xiàn)頻率最高的壓軸題類型，函數(shù)與不等式壓軸題通常可以結(jié)合函數(shù)思想，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題.

例4(2016·全國(guó)卷Ⅲ文·21)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅲ)設(shè)c>1，證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，1+(c-1)x>cx.

運(yùn)用思路：(Ⅰ)當(dāng)01時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；

(Ⅲ)由題要證1+(c-1)x>cx，即證cx-1-(c-1)x<0，引入函數(shù)m(x)=cx-(c-1)x-1，x∈(0,1)，即轉(zhuǎn)為證明函數(shù)m(x)<0.

5、通過(guò)絕對(duì)值與函數(shù)最值的轉(zhuǎn)化引入

例5(2015·全國(guó)卷Ⅱ理·21)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

(Ⅰ)證明：f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(Ⅱ)若對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍.

運(yùn)用思路：(Ⅰ)證明略；

(Ⅱ)由題對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，可以將絕對(duì)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題：對(duì)于任意x∈[-1,1]，都有f(x)max-f(x)min≤e-1.

四、教學(xué)建議

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的教學(xué)中,函數(shù)與方程思想是師生不得不重視的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)然同一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解決方法不同，其函數(shù)與方程的引入視角也有區(qū)別,這需要師生的辨析與優(yōu)化.那么，在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的教學(xué)中如何滲透函數(shù)與方程思想呢？筆者建議如下：

(1)充分挖掘教材上的函數(shù)與方程思想. 如教材在探究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，將函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)定義為方程f(x)=0的根，反過(guò)來(lái)方程f(x)=0的根也可以視為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)等，這些教材核心內(nèi)容都是培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想的好素材.

(2)教師要上好數(shù)學(xué)概念課以及章末復(fù)習(xí)課，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的生成往往滲透著數(shù)學(xué)思想，章末復(fù)習(xí)課不僅僅是組織學(xué)生做大量的習(xí)題，而是要突出章末復(fù)習(xí)課的兩個(gè)核心功能：一是構(gòu)建本章節(jié)知識(shí)的思維聯(lián)系，二是滲透數(shù)學(xué)思想方法.

(3)有目的有意識(shí)的滲透、介紹和突出與函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題有關(guān)的函數(shù)與方程思想，展示函數(shù)與方程思想在指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題方面的魅力，再通過(guò)講練結(jié)合、合作探究與歸納領(lǐng)悟等多種方式促進(jìn)學(xué)生感悟函數(shù)與方程思想，提高學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的能力.

(4)有計(jì)劃、有步驟循序漸進(jìn)的滲透函數(shù)與方程思想. 由于數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)具有隱晦性、活動(dòng)性、主觀性和差異性，所以數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)一般都不是一蹴而就、一氣呵成的，它需要教師長(zhǎng)期的滲透，學(xué)生慢慢的感悟和運(yùn)用，這將是一個(gè)靜等花開的過(guò)程.