山東 張邦杰

今年全國(guó)高考模擬試卷第17題首次出現(xiàn)開(kāi)放型試題，形式新穎，很好地考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的熟練程度和分析問(wèn)題的能力.所謂開(kāi)放型試題是指條件不確定或者答案不唯一，具有多種不同的解法、情景新穎，有別于傳統(tǒng)的試題.一般試卷中出現(xiàn)的傳統(tǒng)試題都是已知條件比較充分，研究的結(jié)論也是確定的問(wèn)題，而開(kāi)放型的題目條件可能不確定，其結(jié)論也可能具有不確定性.開(kāi)放型題目的背景新穎、立意深刻，能起到“舉一反三”的效果，這是對(duì)傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”的極大挑戰(zhàn).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)部分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)探究的教育價(jià)值，并且貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，而開(kāi)放型試題不僅考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，同時(shí)也對(duì)高中課程教學(xué)由關(guān)注教到關(guān)注學(xué)的轉(zhuǎn)變起到一定的推動(dòng)作用.結(jié)果顯示學(xué)生在遇到這一類問(wèn)題時(shí)，解答效果并不理想，失分現(xiàn)象嚴(yán)重，為加強(qiáng)對(duì)高考開(kāi)放型試題的分析研究，幫助學(xué)生答疑解惑，現(xiàn)對(duì)典型的開(kāi)放型試題進(jìn)行分類剖析.

題型剖析：(2020·全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷·17)在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的k存在，求k的值;若k不存在，說(shuō)明理由.

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,{bn}是等比數(shù)列，________，b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解題策略】本題中條件不完整，給出三個(gè)條件添加選擇項(xiàng)，構(gòu)建出完整題目后再解決問(wèn)題，因此需要對(duì)題干要進(jìn)行整體詳細(xì)分析，找出條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系是解題關(guān)鍵，最后再?zèng)Q定選哪個(gè)條件是自己比較容易把握和入手的.根據(jù)條件中{bn}是等比數(shù)列，由b2,b5易確定{bn}，從而確定a5，那么三個(gè)條件無(wú)論選擇哪一個(gè)都可確定{an}.再分析使Sk>Sk+1,Sk+1

【詳細(xì)解析】在等比數(shù)列{bn}中，b2=3,b5=-81,因?yàn)閎5=b2·q3，所以其公比q=-3,

所以bn=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2,從而a5=b1=-1.

若存在k,使得Sk>Sk+1,即Sk>Sk+ak+1,從而ak+1<0;

同理，若使得Sk+10.

(方法一)若選①：由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以an=3n-16,當(dāng)k=4時(shí)，滿足a5<0,且a6>0成立;

若選②：由a4=b4=27,且a5=-1,所以等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，故不存在ak+1<0且ak+2>0;

若選②或選③(仿上可解決，過(guò)程略).

【解題反思】從本題的解析中可以看出這種開(kāi)放型試題的解答是多樣性的，更能考查出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，但對(duì)知識(shí)本質(zhì)的考查我們并不陌生，只要熟練得掌握所考查知識(shí)，理解透徹，給出完美的解答并不困難.因?yàn)橥旮呖荚囶}中并沒(méi)有這種形式的開(kāi)放型試題，下面就在剖析2019年全國(guó)卷試題的基礎(chǔ)上，探究新題型的應(yīng)答.

問(wèn)題研究一:(2019·全國(guó)卷Ⅰ文·18)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S9=-a5.

(Ⅰ)若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍.

【解題策略】(Ⅰ)條件中給出了a3=4，S9=-a5．直接設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，易建立關(guān)于a1和d的方程組，求得a1和d的值，從而求出{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)由S9=-a5得a5=0，又a1>0，可知d<0，將Sn≥an，轉(zhuǎn)化為a1和d的形式，得到關(guān)于n的不等式，從而求得結(jié)果.

所以等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n+10.

(Ⅱ)由條件S9=-a5，得9a5=-a5，即a5=0，

因?yàn)閍1>0，所以d<0，并且有a5=a1+4d=0，所以有a1=-4d.

因?yàn)閐<0，所以n2-9n≤2n-10，即n2-11n+10≤0，

解得1≤n≤10，所以n的取值范圍是1≤n≤10(n∈N*).

【解題反思】本題考查的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的求和公式，在解題的過(guò)程中，需要認(rèn)真分析題意，重視對(duì)數(shù)列基本量的分析并能正確求解不等式，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵.下面將該題改編成一道開(kāi)放型試題，從而體會(huì)新題型與傳統(tǒng)題型考查的異同點(diǎn).

題型探析：在①S9=-a5,②S7=S2,③當(dāng)n=4或n=5時(shí)，Sn均取最大值,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的n存在，請(qǐng)求出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1>0，若________，是否存在n使得Sn≥an？

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解題策略】本題給出的三個(gè)供選擇的條件都涉及了等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，那么an與Sn之間的聯(lián)系及性質(zhì)將是本題考查的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn).

②由S7=S2，知S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=0，所以a5=0；

③由n=4或n=5時(shí)，Sn均取最大值，且a1>0，易知等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減，S4=S5，所以a5=0.

【詳細(xì)解析】請(qǐng)參考本題解題策略及2019年全國(guó)卷Ⅰ文科第18題第(Ⅱ)問(wèn)的解答過(guò)程，此處略.

【解題反思】由此題的設(shè)計(jì)可見(jiàn)，雖然題目的呈現(xiàn)方式有所變化，但與原高考題所考查的知識(shí)方面差別不大，所以對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)要關(guān)注知識(shí)的本質(zhì)及知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，重視對(duì)問(wèn)題的探究，不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，就能做到以不變應(yīng)萬(wàn)變，追根溯源，遇新不驚，得到完美的解答.全國(guó)高考模擬試卷中的開(kāi)放題在第一道解答題位置上，此處往往考查數(shù)列或三角函數(shù)及三角恒等換、解三角形等知識(shí)，下面針對(duì)三角函數(shù)這個(gè)板塊探究一下本題型.

問(wèn)題研究二:(2019·全國(guó)卷Ⅰ理·17)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(Ⅰ)求A；

即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,

由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,

(Ⅱ)本文不探討此問(wèn)題，解析略.

【解題反思】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題，同時(shí)涉及兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.下面對(duì)這道高考題改編成一道開(kāi)放型試題，從而思考與原高考題考查知識(shí)及能力方面的異同點(diǎn).

若問(wèn)題中的C存在，請(qǐng)求出C的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解題策略】本題給出的三個(gè)供選擇的條件都可以通過(guò)正弦定理或余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而求出A的值，然后再對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決.

【詳細(xì)解析】(Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,

即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,

由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,

∴2 sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA, ∴2 sinB· cosA=sin(A+C)= sinB，

下面的解答過(guò)程請(qǐng)參考選擇①的解答過(guò)程，不再重述.

【解題反思】本題所提供的三個(gè)添加條件無(wú)論選擇哪一個(gè)，所考查的知識(shí)與技能都與2019年全國(guó)卷Ⅰ理科17題相似，解題的關(guān)鍵都是對(duì)正弦正理和兩角和與差公式的熟練應(yīng)用，但在考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面，新題型有較好的區(qū)分度.如果將本題中“是否存在C使得f(C)存在最大值？”改為“是否存在C使得f(C)存在最小值？”也是利用類似方法求解，在此不再贅述.

從以上兩個(gè)知識(shí)板塊的分析來(lái)看，新高考題型雖然在問(wèn)題呈現(xiàn)方式上與往年高考題有所不同，更具有開(kāi)放性和多樣性，但只要我們?cè)谘芯扛呖荚囶}時(shí)能多思考和總結(jié)所考查知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵及重視知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)問(wèn)題分析透徹，我們就能做到從容應(yīng)答.這種題目形式的出現(xiàn)也體現(xiàn)了新高考趨勢(shì)和《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的要求，希望在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，能拋開(kāi)“題海戰(zhàn)術(shù)”，重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，就可以以不變應(yīng)萬(wàn)變，做到遇新不驚！