谷昱良，羿旭明

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 武漢 430072)

圖像分割在目標(biāo)檢測與分類、跟蹤運動目標(biāo)、場景理解等領(lǐng)域起著關(guān)鍵性的作用，已成為計算機(jī)視覺領(lǐng)域重要研究內(nèi)容之一。與其他圖像分割模型相比，活動輪廓演化模型能夠得到光滑且閉合的分割曲線，已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用到圖像分割問題之中?；顒虞喞莼Ｐ涂煞譃閰?shù)活動輪廓模型[1-2]和幾何活動輪廓模型[3-10]。幾何活動輪廓模型采用水平集方法，能夠適應(yīng)曲線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化，數(shù)值計算精度高、穩(wěn)定性好[3]。其可以分為基于邊緣的模型[4-5]和基于區(qū)域的模型[6-10]?；谶吘壍哪Ｐ屠脠D像邊緣信息引導(dǎo)曲線朝著目標(biāo)輪廓演化?；趨^(qū)域的模型利用輪廓內(nèi)部和外部區(qū)域的統(tǒng)計信息來引導(dǎo)曲線演化。CHAN和VESE[6]提出了基于區(qū)域的Chan-Vese (CV)模型，該模型利用圖像全局灰度信息，對初始輪廓具有較強的魯棒性且能夠分割弱邊界圖像，但該模型是基于目標(biāo)和背景是同質(zhì)區(qū)域且平均灰度值相差較大的假設(shè)。

為了解決灰度不均勻圖像的分割問題，眾多學(xué)者從不同角度提出了一些有效的分割模型。文獻(xiàn)[11-12]提出了分段平滑(piecewise smooth, PS)模型，但其計算效率較低。LI等[9]提出了局部二值擬合(local binary fitting, LBF)模型，利用高斯核函數(shù)將圖像局部灰度信息融入到能量泛函中，可有效分割灰度不均勻的圖像。受LBF模型的啟發(fā)，ZHANG等[10]提出了局部圖像擬合(local image fitting, LIF)模型并利用局部灰度信息分割圖像。WANG等[13]指出LBF模型對初始輪廓位置和形狀較為敏感，從而提出將全局灰度信息與局部灰度信息融合起來的局部與全局灰度擬合(local and global intensity fitting, LGIF)模型，增強了LBF模型對初始輪廓位置和形狀的魯棒性。LGIF模型中的局部能量項與全局能量項的權(quán)重系數(shù)為常數(shù)，很難人工選擇，而且圖像中不同像素點的局部能量項和全局能量項在能量泛函中應(yīng)該占有不同的權(quán)重，這限制了LGIF模型的應(yīng)用。為了靈活的組合局部能量項和全局能量項，文獻(xiàn)[14]提出了局部對比度的概念，并利用局部對比度構(gòu)造了權(quán)重可變的自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)。文獻(xiàn)[15]利用圖像梯度和演化曲線內(nèi)外局部均值構(gòu)造了隨迭代次數(shù)而改變的自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)。

為了分割含有強噪聲的圖像，文獻(xiàn)[16]將像素局部鄰域內(nèi)的灰度值與區(qū)域平均灰度值的差作為局部能量，構(gòu)造了魯棒分片常值(robust Chan-Vese RCV)模型。但是RCV模型對灰度不均勻的圖像分割效果并不理想。為了解決灰度不均勻且含噪圖像的分割問題，文獻(xiàn)[17]提出基于熵的K均值聚類模型，該模型能夠有效減少噪聲對分割的影響。文獻(xiàn)[18]把局部區(qū)域魯棒統(tǒng)計(local region robust statistics, LRS)方法和基于局部相關(guān)熵的K均值(local correntropy-based K-means, LCK)方法結(jié)合起來，取得了很好的效果。文獻(xiàn)[19]將深度學(xué)習(xí)方法與水平集方法結(jié)合起來，指出在一些醫(yī)學(xué)圖像分割領(lǐng)域，活動輪廓演化方法可以彌補深度學(xué)習(xí)方法的不足。本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上，提出了新的權(quán)重自適應(yīng)活動輪廓演化模型。

1 相關(guān)模型

1.1 Chan-Vese模型

基于Mumford-Shah[20]模型，CHAN和VESE[6]在假定原始圖像I(x)由2個同質(zhì)區(qū)域組成的前提下，提出了一種利用圖像全局信息的活動輪廓模型。CV模型通過一個二值分段函數(shù)來刻畫原始圖像，其能量泛函為

其中，M1(φ)=H(φ)，M2(φ)=1-H(φ)，φ均為水平集函數(shù)；c1和c2分別為曲線內(nèi)部和外部圖像灰度值平均值，可以看出，c1和c2只與圖像的全局信息有關(guān)；H(·)和δ(·)分別為Heaviside和Dirac函數(shù)；κ1，κ2和ν為大于0的常數(shù)，且為各能量項的權(quán)重系數(shù)。

在式(1)中，前2項為包含圖像信息的能量項，其控制活動輪廓曲線向目標(biāo)邊緣移動，當(dāng)活動輪廓曲線到達(dá)目標(biāo)邊緣時，能量泛函取得極小值。由于能量項只依賴圖像的全局統(tǒng)計信息，故對活動輪廓初始化具有較強的魯棒性，而且對噪聲的影響也有一定的抑制作用。但是對于灰度值不均勻圖像，計算得到的c1和c2將偏離原始圖像的灰度值，導(dǎo)致模型誤差較大。所以CV模型對灰度分布不均勻的圖像分割能力較差。

1.2 LBF模型

為了解決灰度不均勻圖像的分割問題，LI等[9]提出了一種基于局部區(qū)域信息的活動輪廓演化模型，該模型通過引入高斯核函數(shù)定義局部二值擬合能量。對于圖像域中的任意一點x，其局部能量泛函的定義為

其中，λ1和λ2為大于0的常數(shù)；f1(x)和f2(x)分別為活動輪廓曲線內(nèi)部和外部圖像像素灰度值的擬合值；Kσ(u)為高斯核函數(shù)；σ＞0為控制局部區(qū)域大小的尺度參數(shù)。LBF模型的能量泛函項可定義

其中，L()φ為長度項；P()φ為水平集正則化項。ν和μ是大于0的常數(shù)。該能量包含圖像像素的局部鄰域信息，因此對灰度分布不均勻的圖像可以進(jìn)行有效分割。但是該模型對初始輪廓的大小和位置較為敏感，在迭代過程中容易陷入局部最優(yōu)解，從而導(dǎo)致錯誤分割。而且LBF模型容易受到噪聲干擾，對含噪圖像分割能力較差。

1.3 LGIF模型

文獻(xiàn)[13]將圖像的全局與局部灰度信息組合起來，利用CV模型和LBF模型各自的優(yōu)點，構(gòu)建了如下LGIF模型。其能量泛函項為

其中，ω為取值在[0,1]間的常數(shù)權(quán)重系數(shù)。LGIF模型將產(chǎn)生過于依賴全局信息或局部信息的情況，常常會導(dǎo)致分割失敗。

2 本文模型

在LGIF模型中，ω在整個圖像區(qū)域內(nèi)為常數(shù)，模型泛函能量項中局部能量和全局能量的比例相同。但是實際上靠近目標(biāo)邊緣位置時局部能量項所占的比例應(yīng)該更重。本文將權(quán)重系數(shù)ω從固定的常數(shù)拓展為隨圖像位置信息變化的權(quán)重函數(shù)ω（x），從而根據(jù)圖像自身信息自適應(yīng)改變局部能量項與全局能量項在總的能量泛函中的比重。

2.1 圖像邊緣信息對全局和局部能量的影響分析

在活動輪廓曲線演化過程中，遠(yuǎn)離目標(biāo)邊緣的區(qū)域，如圖1中P1點附近，該區(qū)域內(nèi)像素灰度值變化較為緩慢，局部能量項中f1(x)和f2(x)幾乎相等，所以僅僅依靠圖像的局部信息，活動輪廓曲線演化速度較慢。所以在遠(yuǎn)離目標(biāo)邊緣的區(qū)域，應(yīng)該增加全局能量項的權(quán)重系數(shù)。另一方面，在靠近圖像目標(biāo)邊緣的區(qū)域，如圖1中P2點附近。如果圖像是灰度不均勻的，那么全局能量項中的c1和c2將會嚴(yán)重偏離目標(biāo)和背景的真實灰度值，而局部能量項中的f1(x)和f2(x)卻能較為準(zhǔn)確描述目標(biāo)和背景的像素灰度值[14]。所以在靠近圖像目標(biāo)邊緣的區(qū)域，應(yīng)該增加局部能量項的權(quán)重系數(shù)。經(jīng)上述分析，圖像的目標(biāo)邊緣信息是決定自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)大小的關(guān)鍵因素。一般依靠區(qū)域的模型雖然融合了全局區(qū)域信息和局部區(qū)域信息，卻沒有考慮圖像邊緣信息，本文將圖像邊緣信息融合到自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)ω（x）中。

圖1 不同坐標(biāo)的圖像信息Fig. 1 Image information at different coordinates

2.2 基于小波變換的邊緣信息刻畫矩陣

文獻(xiàn)[21]提出了基于小波變換的邊緣信息刻畫函數(shù)，使得在活動輪廓曲線演化過程中能迅速檢測圖像邊緣，但是對于含噪聲的圖像，該邊緣信息刻畫函數(shù)容易產(chǎn)生虛假邊緣，對噪聲較敏感。為此，文獻(xiàn)[22]對小波分解后的細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行閾值處理，得到了對噪聲具有魯棒性的邊緣信息刻畫矩陣。本文利用小波變換和小波閾值去噪方法，構(gòu)造對噪聲不敏感并且包含目標(biāo)邊緣信息的自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)矩陣，具體步驟如下。

步驟1.對圖像I(x)進(jìn)行k層小波分解，得到近似系數(shù)Ak，水平、垂直和對角方向的細(xì)節(jié)系數(shù)Hi,Vi,Di,i=1,2,···,k。

步驟2.分別對小波細(xì)節(jié)系數(shù)矩陣Hi,Vi,Di,i=1,2,···,k的元素按式(5)進(jìn)行硬閾值去噪處理，其閾值[23]為T，并得到處理后的系數(shù)矩陣,i=1,2,…,k。

步驟3.利用小波逆變換對近似系數(shù)Ak和細(xì)節(jié)系數(shù)矩陣進(jìn)行重構(gòu)得到去噪后的圖像。

步驟4.對進(jìn)行一層小波分解得到近似系數(shù)A，水平細(xì)節(jié)系數(shù)H，垂直細(xì)節(jié)系數(shù)V和對角方向細(xì)節(jié)系數(shù)D。將A，H，V，D進(jìn)行線性插值得到與原圖像大小相同的4組系數(shù)矩陣，構(gòu)造包含圖像邊緣信息的梯度幅值矩陣為

步驟5.定義邊緣信息的自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)矩陣ω(x)，即

其中，*為卷積運算符；Enorm(x)為矩陣E(x)的歸一化矩陣。

2.3 模型描述與水平集格式

本文將圖像的邊緣信息融合到自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)矩陣中，可以有效的組合全局能量項和局部能量項。本文模型能量泛函為

在靠近目標(biāo)邊緣區(qū)域時，ω(x)接近于0，局部能量項權(quán)重較大。在遠(yuǎn)離目標(biāo)邊緣區(qū)域時，ω(x)接近于1，全局能量項權(quán)重較大。

接下來用兩階段法求解能量泛函的極小值。第一階段，固定φ，求關(guān)于f1(x)，f2(x)，c1，c2的極小值，可得

第二階段，固定f1(x)，f2(x)，c1，c2，利用變分法和梯度下降流，對水平集函數(shù)φ極小化能量泛函，得到水平集演化式為

2.4 數(shù)值算法

在數(shù)值實現(xiàn)時，本文采用正則化Heaviside函數(shù)Hε(x)和正則化Dirac函數(shù)δε(x)代替H(x)和δ(x)，即

采用有限差分法實現(xiàn)水平集演化式(11)的數(shù)值求解，對空間變量偏導(dǎo)數(shù)采用中心差分法，對時間變量偏導(dǎo)采用向前差分法。離散空間步長為h，離散時間步長為Δt，記第k次迭代得到的水平集函數(shù)為，得到如下演化離散迭代式為

本文算法的初始輪廓選取為

其中，c0>0，0Ω為初始輪廓內(nèi)部。

其算法關(guān)于時間的迭代停止條件為兩次零水平集的面積差小于某個閾值θ或者算法的迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定的迭代次數(shù)上限N。

數(shù)值算法實現(xiàn)步驟如下：

步驟1.初始化懲罰項系數(shù)ν，正則化系數(shù)μ，時間步長Δt，離散空間步長h，局部能量項核函數(shù)參數(shù)σ，權(quán)重系數(shù)構(gòu)造中平滑參數(shù)α，閾值θ，最大迭代次數(shù)N。初始化水平集函數(shù)φ0(x) =φ(x,0)；

步驟2.將圖像進(jìn)行小波分解，根據(jù)式(5)處理小波細(xì)節(jié)系數(shù)；

步驟3.根據(jù)式(7)計算自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)矩陣ω(x)；

步驟4.根據(jù)式(9)~(10)計算m= 1,2；

步驟5.根據(jù)離散化的水平集演化式(16)演化水平集函數(shù)；

步驟6.檢驗是否滿足終止條件，若不滿足，則轉(zhuǎn)至步驟4，若滿足，則停止迭代；

步驟7.輸出最終結(jié)果。

3 數(shù)值實驗

為了驗證本文模型對圖像分割的有效性，選取不同類型的圖像，并從以下幾個方面驗證本文模型的有效性：

(1) 對初始輪廓位置和形狀具有更強的魯棒性；

(2) 能夠有效分割灰度分布不均勻且含噪圖像；

(3) 能夠分割多種類型的復(fù)雜圖像。

數(shù)值實驗時，本文選取Sym4小波進(jìn)行3層小波分解，空間步長h=1，時間步長Δt=0.1，初始輪廓參數(shù)c0=2，局部能量項的核參數(shù)σ=3。LGIF、文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]模型的相關(guān)參數(shù)值均選取為默認(rèn)參數(shù)值，具體可參考文獻(xiàn)[13-15]。

3.1 模型與算法對初始輪廓位置的魯棒性

分別選取不同初始位置的輪廓線，對比本文、LGIF、文獻(xiàn)[14]、文獻(xiàn)[15]模型的演化結(jié)果，如圖2和圖3所示。從圖中可以看出，對于不同的初始位置與初始形狀，本文模型都能有效分割圖片中的目標(biāo)區(qū)域，對初始位置和形狀具有較強的魯棒性。

圖2 T型灰度不均勻圖像的分割結(jié)果Fig. 2 Comparison results for a T-shaped image with intensity inhomogeneity

圖3 腦部灰度不均勻圖像的分割結(jié)果Fig. 3 Comparison results for a brain image with intensity inhomogeneity

3.2 灰度分布不均勻含噪圖像的分割

首先選取灰度均勻的圖像測試模型對含噪聲圖像的分割能力，如圖4所示。其中第1行至第4行分別為加入方差為1，5，10和20的高斯噪聲分割結(jié)果。由圖可知，在灰度均勻的圖像中，文獻(xiàn)[15]和本文模型均對噪聲具有較強的魯棒性。

選取灰度分布不均勻的圖像添加高斯噪聲，如圖5所示。其中每行和每列的含義與圖4相同。從圖中可以看出，對于灰度不均勻的含噪聲圖像，文獻(xiàn)[15]模型不能有效分割目標(biāo)。當(dāng)噪聲較小時，LGIF模型還能正確分割目標(biāo)，但是隨著噪聲增大，LGIF模型的分割效果越來越差。而本文模型能夠在含有噪聲的情況下有效分割目標(biāo)區(qū)域。

圖4 灰度均勻含噪聲圖像的分割結(jié)果Fig. 4 Comparison results for a image with various levels of noise

3.3 模型和算法對復(fù)雜圖像分割的有效性

為了檢驗?zāi)Ｐ偷倪m用性，本文選取復(fù)雜圖像即含有更多細(xì)節(jié)的圖像進(jìn)行分割實驗，如圖6和圖7所示，其中圖6為原始圖像分割結(jié)果。圖7為圖6中圖像添加方差為20的高斯噪聲圖像的分割結(jié)果。本文模型能夠有效分割復(fù)雜圖像，且對添加噪聲的圖像也有較好的分割能力。

圖5 T型圖像加入噪聲后分割結(jié)果Fig. 5 Comparison results for a T-shaped image with intensity inhomogeneity and various levels of noise

圖6 復(fù)雜圖像的分割結(jié)果Fig .6 Comparison results for images with complex background

4 結(jié)束語

本文利用小波變換與小波閾值去噪方法，構(gòu)造了對噪聲不敏感的邊緣信息刻畫矩陣，繼而構(gòu)造了全局能量項與局部能量項的權(quán)重系數(shù)，使得能量泛函可以根據(jù)圖像信息特別是邊緣信息自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重大小。本文模型兼有CV模型和LBF模型的優(yōu)點，同時又有效地刻畫了圖像的邊緣信息。從數(shù)值結(jié)果可以看出，如何更有效地構(gòu)造權(quán)重矩陣是模型改進(jìn)的關(guān)鍵。