查東東，張 迪，劉華勇

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥 230601)

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，計(jì)算容易、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的Bernstein-Bézier曲線，仍存在控制多邊形不變時(shí)，不能調(diào)整曲線外形的缺點(diǎn)。為了克服這一缺點(diǎn)，學(xué)術(shù)界提出了引入形狀參數(shù)來(lái)構(gòu)造曲線曲面的思路，例如，文獻(xiàn)[1]構(gòu)造了形狀可調(diào)的有理三角Bézier基函數(shù)；文獻(xiàn)[2]將形狀及光滑度可調(diào)的曲線曲面推廣到三角函數(shù)空間；文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了能精準(zhǔn)表示多種曲線的三角多項(xiàng)式均勻B樣條；文獻(xiàn)[4]分析了平面三角多項(xiàng)式Bézier曲線的形狀分區(qū)，上述曲線曲面除了繼承原有的特性，還能通過形狀參數(shù)來(lái)調(diào)整曲線曲面；文獻(xiàn)[5]討論了曲線曲面的較高階光滑拼接；文獻(xiàn)[6]介紹了將曲線曲面混合公式推廣到N階連續(xù)的方法；文獻(xiàn)[7]融合了2種參數(shù)曲線；文獻(xiàn)[8]給出了任意逼近多邊形的曲線曲面參數(shù)樣條等。

本文將文獻(xiàn)[2]的思路拓展至多項(xiàng)式，提出了三參曲線的拼接算法，構(gòu)造出的曲線能實(shí)現(xiàn)較高的光滑拼接外，還可以用形狀參數(shù)修改曲線。但曲線在滿足融合外，還需對(duì)參數(shù)的選取做出一定要求，這就要求得對(duì)參數(shù)選取進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[9]構(gòu)造的過渡曲線曲面既能形狀可調(diào)，又能保參數(shù)方向；文獻(xiàn)[10]介紹了曲線能量最小化的形參計(jì)算公式；本文又研究了三參曲線的參數(shù)選取，借由能量模型，以獲得盡可能光順的曲線[9]。

1 帶有形狀參數(shù)的三參函數(shù)的構(gòu)造

定義1.文獻(xiàn)[11]給出了由4個(gè)含參數(shù)λ的多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)組

其中，0≤t≤1，-3≤λ≤1，則稱

為含有λ，α1，α2的調(diào)配函數(shù)，簡(jiǎn)稱三參函數(shù)，其中0≤t≤1，-3<λ≤1，0≤α1<1，0<α2≤1。

由bi(t)(i=0,1,2,3)的性質(zhì)，很容易得到三參函數(shù)的性質(zhì)：

性質(zhì)1.非負(fù)性：對(duì)于-3<λ≤1，0≤α1<1，0<α2≤1，則有Bi(t;λ,α1,α2)≥0(i=0,1,2,3)。

性質(zhì)2.權(quán)性：由bi(t)的權(quán)性易證，，0≤t≤1。

性質(zhì)3.退化性：當(dāng)α1=0，α2=1時(shí)，Bi(t;λ,α1,α2)退化成bi(t)(i=0,1,2,3)。

性質(zhì)4.對(duì)稱性：當(dāng)α1+α2=1時(shí)，B3(1-t;λ,α1,α2)=B0(t;λ,α1,α2)，B2(1-t;λ,α1,α2)=B1(t;λ,α1,α2)。

性質(zhì)5.端點(diǎn)性質(zhì)

2 帶有形狀參數(shù)的三參曲線的定義和性質(zhì)

定義2.給定頂點(diǎn)Pi∈Rd(d=2,3;i=0,1,2,3)，0≤t≤1，稱

為含有λ，α1，α2的曲線，簡(jiǎn)稱三參曲線，其中Bi(t;λ,α1,α2)為三參函數(shù)，-3<λ≤1，0≤α1<1，0<α2≤1。

三參曲線具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1.對(duì)稱性：由三參函數(shù)的性質(zhì)3可知，當(dāng)確定參數(shù)α1+α2=1以及λ時(shí)，由僅次序不同的控制多邊形與基函數(shù)生成的新曲線記作Ci(t)，即有Ci(t)=Ri(1-t)。

性質(zhì)2.凸包性：由三參函數(shù)的權(quán)性和非負(fù)性可知，其多邊形控制的凸包完全包圍了三參曲線。

性質(zhì)3.仿射不變性和幾何不變性：三參曲線的形狀僅依賴于控制頂點(diǎn)Pi(i=0,1,2,3)，幾何變換不改變曲線的形狀

其中，Q為任意向量，且Q∈Rd(d=2,3)；M為任意k×k(k=2,3)階矩陣。

性質(zhì)4.端點(diǎn)性質(zhì)

性質(zhì)5.形狀可調(diào)性：三參曲線會(huì)隨著給參數(shù)λ，α1，α2選擇不同的值，曲線形狀被調(diào)整的程度也各不相同。

圖1(a)~(c)是依次僅改變單一參數(shù)，而其他參數(shù)取值不變時(shí)所獲取的三參曲線。在圖1(a)中，固定λ，α2取值，從上至下取α1=0.8，0.5，0.2；圖1(b)中，固定λ，α1值，從上至下取α2=0.2，0.5，1；圖1(c)中，固定α1，α2值，從上至下取λ=1，0，-1。由此可看出各參數(shù)的效果：4個(gè)控制頂點(diǎn)從左往右依次為P0，P1，P2，P3，則α1確定曲線在控制多邊形邊P0P1上的起點(diǎn)，α2確定曲線在邊P2P3上的終點(diǎn)，而λ越大，曲線整體就越靠近控制多邊形P0P1P2P3。

3 帶有形狀參數(shù)的三參曲線融合

3.1 帶形狀參數(shù)的三參曲線的拼接

圖1 α1，α2，λ分別取值不同時(shí)對(duì)曲線的影響Fig. 1 The influence of different values of α1, α2, λ on the curve

定理1.滿足時(shí)，R1(t)和R2(t)在連接點(diǎn)處滿足G2連續(xù)。

證明：由曲線端點(diǎn)性質(zhì)可知

即曲線滿足G0連續(xù)；又由端點(diǎn)性質(zhì)可得

則有

故曲線滿足G1連續(xù)，其中，；又由端點(diǎn)性質(zhì)可得

則有

故曲線滿足G2連續(xù)，其中，

由定理1表明，若能做到R1(t)的控制多邊形的邊和R2(t)的控制多邊形的邊重合，且滿足，則R1(t)和R2(t)自動(dòng)滿足G2連續(xù)。圖2給出了不同參數(shù)取值下的R1(t)，R2(t)實(shí)現(xiàn)G2連續(xù)的實(shí)例。其中，箭頭為曲線的曲率。

3.2 帶形狀參數(shù)的三參曲線的組合及應(yīng)用

定義3. 假設(shè)給定了2l+2 (l≥1)個(gè)控制頂點(diǎn)Pi∈Rd(d=2,3;i=0,1,2,···,2l+1)，0≤t≤1，以及形狀參數(shù)，可以定義第j(j=1,2,···,l)段組合三參曲線為

組合的三參曲線具有以下共同點(diǎn)：①每個(gè)控制多邊形及基函數(shù)決定一段三參曲線；②確定控制多邊形后，每相鄰兩段的三參曲線能夠?qū)崿F(xiàn)G2連續(xù)的拼接；③每段三參曲線的形狀參數(shù)都不同，也可在給定若干對(duì)控制頂點(diǎn)時(shí)，組合三參曲線可以依靠形狀控制參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)閉合曲線。

圖2 帶形狀參數(shù)的三參曲線的拼接Fig. 2 Blending of three-parameter curves with shape parameters

此外，還將三參曲線與原基函數(shù)曲線、三次B樣條曲線進(jìn)行了比較：①以控制多邊形為目標(biāo)函數(shù)，引入均方根誤差(root mean square error, RMSE)來(lái)衡量曲線到控制多邊形的逼近程度。以單段曲線為例，給定頂點(diǎn)P0=(1,2)，P1=(1,3)，P2=(3,3)，P3=(3,2)，三參曲線和原基函數(shù)曲線共同參數(shù)λ=0，三參曲線其他參數(shù)為α1=0.5，α2=0.5，算出三參曲線的RMSE值為0.280 2，小于原基函數(shù)曲線的RMSE值0.564 1，故三參曲線比原基函數(shù)曲線更貼近控制多邊形，如圖3所示；②比較3種算法的時(shí)間復(fù)雜度，在本機(jī)實(shí)驗(yàn)中，借助Matlab使用tic+函數(shù)+toc的方法計(jì)算出各種算法的運(yùn)行時(shí)間，以運(yùn)行時(shí)間近似替代。為減少誤差，故算法運(yùn)行時(shí)間的選取為：每種算法一組實(shí)驗(yàn)執(zhí)行100次算法循環(huán)，取其運(yùn)行時(shí)間的平均值，做10組實(shí)驗(yàn)，再取10組平均運(yùn)行時(shí)間的最優(yōu)值，再比較3種算法的運(yùn)行時(shí)間最優(yōu)值，多次實(shí)驗(yàn)后可以看出，改進(jìn)算法略為領(lǐng)先，但三者相差不大；③滿足G2連續(xù)的條件，三參曲線要比原基函數(shù)曲線簡(jiǎn)單，同時(shí)三參曲線還具有調(diào)節(jié)曲線形狀的優(yōu)點(diǎn)。不同算法的性質(zhì)對(duì)比見表1。

圖3 組合三參曲線的自由光滑融合和應(yīng)用Fig. 3 Smooth blending and application of combined three-parameter curve

表1 不同算法的對(duì)比Table 1 Comparison of different algorithms

4 基于最小彎曲能量選取最優(yōu)參數(shù)

由定義2可將三參曲線R(t)分別寫成固定其他兩個(gè)參數(shù)，討論一個(gè)單獨(dú)參數(shù)的形式，即

其中，

光順準(zhǔn)則[12]提出，曲線R(t)的光滑程度可近似地由能量值來(lái)刻畫，Ec越小，則曲線R(t)越光順。為了使能量值Ec盡可能小，在頂點(diǎn)和參數(shù)α1，α2取值已經(jīng)被確定時(shí)，只需再考慮λ的取值，得能量方程為

將式(14)代入式(18)，經(jīng)過整理得

其中，Ai(i=1,2,3)為常數(shù)，分別為，。

例1.有P0=(2,0),P1=(3,3),P2=(5,3),P3=(6,0)，形狀參數(shù)α1=0.5，α2=0.5，求得A1=3，A2=-9，A3=27，獲得能量方程為

又因?yàn)?3<λ≤1，故取λ=1時(shí)，獲得最小彎曲能量minEc（λ）=12，如圖4所示。

圖4 α1，α2確定時(shí)三參曲線能量值曲線Fig. 4 Energy value curve of three-parameter curve when α1, α2 is determined

同理，在頂點(diǎn)和參數(shù)λ，α2取值已經(jīng)被確定時(shí)，只需再考慮α1的取值，得能量方程為

將式(15)代入式(21)，經(jīng)過整理可得

其中，Bi(i=1,2,3)為常數(shù)，分別為，。

例2. 有P0=(2,0),P1=(3,3),P2=(5,3),P3=(6,0)，形狀參數(shù)α2=1，λ=-1求得B1=24/5，B2=0，B3=48，獲得能量方程為

又0≤α1<1，故取α1=0時(shí)，得minEc(α1)=48，如圖5所示。

圖5 λ，α2確定時(shí)三參曲線能量值曲線Fig. 5 Energy value curve of three-parameter curve when λ, α2 is determined

同理，在頂點(diǎn)和參數(shù)λ，α1取值已經(jīng)被確定時(shí)，只需再考慮α2的取值，得能量方程為

將式(16)代入式(24)，經(jīng)過整理可得

其中，Ci(i=1,2,3)為常數(shù)，分別為，。

例3.有P0=(2,0),P1=(3,3),P2=(5,3),P3=(6,0)，參數(shù)α1=0.5，λ=1求得C1=144/5，C2=-132/5，C3=156/5，獲得能量方程為

又因?yàn)?<α2≤1，故取α2=11/12時(shí)，得到最小彎曲能量minEc(α2)=7，如圖6所示。

圖6 λ，α1確定時(shí)三參曲線能量值曲線Fig. 6 Energy value curve of three-parameter curve when λ, α1 is determined

依次將圖4~6和圖1(a)~(c)分別對(duì)比，可看出：①在參數(shù)α1，α2固定時(shí)，λ取值越大，三參曲線彎曲能量越小，此時(shí)三參曲線越逼近控制多邊形；②當(dāng)λ，α1固定時(shí)，α2取值越大，三參曲線彎曲能量越??；③而λ，α2固定時(shí)，α1取值越大，三參曲線彎曲能量反而越大；但后兩種情況有一共同點(diǎn)：此時(shí)的三參曲線均為越遠(yuǎn)離控制多邊形，彎曲能量越小，這是由其參數(shù)對(duì)稱性所決定的，且α1，α2分別確定曲線的起始點(diǎn)。

進(jìn)一步考慮三參曲線組合時(shí)的最優(yōu)參數(shù)選取，以3.2節(jié)的組合三參曲線為例，在保證每個(gè)控制多邊形構(gòu)造的三參曲線滿足G2連續(xù)的情況下，同時(shí)對(duì)每段曲線加以最小彎曲能量約束，最終得到唯一確定的具有能量約束的組合三參曲線。

類比式(16)~(17)可以將第j段三參曲線Rj(t)(j=1,2,···,l)依次寫作

由式(13)和能量準(zhǔn)則可知，第j段三參曲線的能量值為

其中，i=1,2,3，且

在保證組合曲線滿足G2連續(xù)的同時(shí)，選擇最優(yōu)的參數(shù)，故對(duì)l段組合三參數(shù)曲線，給定下列能量方程為

例4.有(7,3.5)，形狀參數(shù)為，，分別求得獲得能量方程為

圖7(a)中箭頭是曲線的曲率，圖7(b)是曲線拼接點(diǎn)處曲率的放大圖。優(yōu)化后的曲線還是可以實(shí)現(xiàn)G2連續(xù)，圖7(c)標(biāo)注了未優(yōu)化的曲線和優(yōu)化的曲線最大曲率點(diǎn)，圖7(d)給出了未優(yōu)化的第一段曲線和優(yōu)化的第一段曲線的曲率對(duì)比。顯然，關(guān)于最高曲率，未優(yōu)化曲線比優(yōu)化曲線要大；其次，曲線整體曲率上，未優(yōu)化的曲線也是比優(yōu)化曲線要大。故優(yōu)化后的曲線具有更小的彎曲能量。

圖7 形狀參數(shù)的選取Fig. 7 Selection of shape parameters

5 結(jié)束語(yǔ)

本文構(gòu)造了帶有形狀參數(shù)的三參函數(shù)，在繼承原有性質(zhì)外，曲線滿足G2連續(xù)的融合條件也比較簡(jiǎn)單，本文中給出了一些參數(shù)不同取值下的曲線形狀可調(diào)的實(shí)例。此外，本文利用最小能量值來(lái)選取最佳參數(shù)，可以看出各參數(shù)取值不同，曲線能量也各異，故選取最佳參數(shù)有助于過渡曲線盡可能光順。但這是基于單參數(shù)的優(yōu)化，有關(guān)多參數(shù)的同

時(shí)優(yōu)化問題還有待研究和解決。