廣東省深圳中學(xué)(518001) 邱際春

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2018年8 月問(wèn)題2442[1]摘錄如下:

問(wèn)題2442已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，且ab+bc+ca=1，試證明:

文[1]提出了一個(gè)簡(jiǎn)潔優(yōu)美的條件不等式，問(wèn)題提供者安振平老師在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2018年第9 期中利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮處理來(lái)證明.文[2]通過(guò)題設(shè)條件轉(zhuǎn)化成三角余弦不等式，然后借助嵌入不等式巧妙證明了這一問(wèn)題.筆者根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，從不同視角探究得到另外的幾種證明方法.

視角一 利用代數(shù)性質(zhì)進(jìn)行證明

分析考慮到三元條件不等式，可借助條件代入消元，再通分轉(zhuǎn)化，結(jié)合配方法來(lái)解決.

證法1由條件等式ab+bc+ca=1，解出于是

故

最后一行的不等式顯然成立.當(dāng)2ab -1=0,a=b，而ab+bc+ca=1，即a=b=時(shí)，等號(hào)成立.

視角二 借助三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明

分析注意到三元條件不等式與三角余切恒等式在形式上是一致的，可借助條件轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)，利用其有界性來(lái)解決.

證法2令a=cotA,b=cotB,c=cotC，其中A+B+C=π，則由條件等式ab+bc+ca=1 可得，cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1，于是

評(píng)注若考慮令其中A+B+C=π.借助三角恒等式

及tanA+tanB+tanC=tanAtanCtanC，結(jié)合配方法即可證明之.

視角三 巧用不等式的性質(zhì)和技巧證明

分析注意到三元條件不等式通分后分子分母是齊次的，故可嘗試運(yùn)用不等式及拆項(xiàng)、添項(xiàng)技巧來(lái)化解.

證法3由條件等式ab+bc+ca=1，可得

等價(jià)于要證

由AM-GM 不等式可得

故a2b+ab2+b2c+a2c+4bc2+4ac2≥10abc.當(dāng)a=b=2c，而ab+bc+ca=1，即a=b=時(shí)，等號(hào)成立.

視角四 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)進(jìn)行證明

分析考慮到三元條件不等式的特征，可通過(guò)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)化為極值問(wèn)題來(lái)處理.

證法4由條件等式ab+bc+ca=1，可得

故等價(jià)于要證:a+b+4c≥16abc.

令f(a,b,c)=a+b+4c-16abc，則拉格朗日函數(shù)為

其中λ為參數(shù).于是

令上述一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，有

解方程組可得駐點(diǎn)P(a,b,c)=此即為唯一的極小值點(diǎn)，代入得

故a2b+ab2+b2c+a2c+4bc2+4ac2≥10abc，當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立.

結(jié)語(yǔ)這是一道“膾炙人口”而又常規(guī)性的條件不等式問(wèn)題，從不同的角度可以得到不同的解法.就像廬山，“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，只有不斷嘗試從不同的角度去思考問(wèn)題，才能在解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)新方法、新觀點(diǎn)和新問(wèn)題，達(dá)到更廣闊、自由的境界.