北京市第十二中學(xué)高中部(100071) 劉 剛

解析幾何中的定值問題是近些年各類考試的新寵，反映了運(yùn)動(dòng)變化過程中的不變性.由特殊到一般探究定值問題的源與流，是我們深刻認(rèn)識(shí)這類問題的必修課.下面以一道聯(lián)考定值問題為例，談一談蘊(yùn)含其中的源與流，供大家參考.

1 問題提出

題目(湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2020 屆高三第一次聯(lián)考)已知橢圓ω:=1(a ＞b ＞0)的離心率為，其右頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，定點(diǎn)C(0,2)，ΔABC的面積為過點(diǎn)C作與y軸不重合的直線l交橢圓ω于P，Q兩點(diǎn)，直線BP，BQ分別與x軸交于M，N兩點(diǎn).

(1)求橢圓ω的方程;

(2)試探究M，N的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值，并說明理由.

試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系以及定值問題，考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，檢驗(yàn)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力.試題構(gòu)思巧妙、內(nèi)涵豐富，符合新課標(biāo)理念.

2 問題解答

解(1)略，橢圓ω的方程為

(2) 設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直線PQ的方程為y=kx+2，則直線BP的方程為y=，令y=0，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM=又直線BQ的方程為令y=0，得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN=所以

聯(lián)立y=kx+2 與+y2=1，得(2k2+1)x2+8kx+6=0，所以x1+x2=-，x1x2=，于是故M，N的橫坐標(biāo)的乘積是定值

點(diǎn)評(píng)由于直線l的運(yùn)動(dòng)引起了點(diǎn)M，N的變化，因此解法以直線l的斜率k為研究對(duì)象，并借助點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)表示出xMxN，然后根據(jù)韋達(dá)定理建立了xMxN關(guān)于k的關(guān)系式，最后通過數(shù)學(xué)運(yùn)算得出答案，體現(xiàn)了坐標(biāo)法的應(yīng)用.

3 問題探源

問題中的xMxN為什么是定值? 我們可以根據(jù)仿射變換把橢圓變?yōu)閳A進(jìn)行解釋: 橢圓經(jīng)過仿射變換φ:后得到圓O′:x′2+y′2=1，則由此可知圓中的M′，N′的橫坐標(biāo)之積是定值故本題的根源就是圓具有這樣的性質(zhì).

解析幾何是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的學(xué)科，為了凸顯這道試題的幾何味道，結(jié)論可以改為探究|OM|·|ON|是否為定值，經(jīng)過以上解答就可以得出|OM|·|ON|是定值在仿射變換φ后的圓O′中就有|O′M′|·|O′N′|是定值在此基礎(chǔ)上，我們還可以給出圓中的更一般性結(jié)論.

命題如圖1，已知圓O的半徑為R，過O作兩條互相垂直的直線l1，l2，B是l2與圓O的一個(gè)交點(diǎn)，定點(diǎn)C在l2上，滿足B，C在l1的兩側(cè)，且OC=m ＞R，過C作與l2不重合的直線l與圓O交于P，Q兩點(diǎn)，直線BP，BQ分別與l1交于M，N兩點(diǎn)，則OM ·ON=

圖1

下面給出一種幾何證明方法.

證明設(shè)圓O與l2的另一個(gè)交點(diǎn)為A，連接AP，AQ，則∠BNO=90?-∠OBN=∠BAQ=∠BPQ，∠OBN=∠APC，于 是=tan ∠OBM=tan ∠ABP=所以即，故

4 本質(zhì)探究

根據(jù)仿射變換，很容易將圓中的一些結(jié)論推廣到橢圓上去.

性質(zhì)1已知橢圓=1(a ＞b ＞0)的下頂點(diǎn)為B，定點(diǎn)C(0,m)(m /=-b)，過C作與y軸不重合的直線l與橢圓ω交于P，Q兩點(diǎn)，直線BP，BQ分別與x軸交于M，N兩點(diǎn)，則|OM|·|ON|=

證 明設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直線PQ的方程為y=kx+m，則直線BP的方程為y=- b，令y=0，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM=又直線BQ的方程為y=-b，令y=0，得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN=所以

聯(lián)立y=kx+m與得(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，所以x1+x2=-x1x2=由此得

k2x1x2+k(m+b)(x1+x2)+(m+b)2=于是|OM|·|ON|=，故結(jié)論成立.

由于圓中兩條互相垂直的直徑經(jīng)過仿射變換是橢圓的共軛直徑，那么在共軛直徑背景下的結(jié)論如何呢? 我們先給出有關(guān)概念和常見性質(zhì).

定義連結(jié)橢圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.過橢圓中心的弦叫做直徑.平行于直徑CD的弦的中點(diǎn)的軌跡AB和直徑CD互為共軛直徑.當(dāng)一對(duì)共軛直徑互相垂直時(shí)，即為橢圓的長軸與短軸.

橢圓的共軛直徑有如下常見性質(zhì).

已知AB和CD是橢圓=1(a ＞b ＞0)的一對(duì)共軛直徑，設(shè)A(x1,y1)，C(x2,y2)，則

在橢圓的一對(duì)共軛直徑背景下，有下面的結(jié)論.

性質(zhì)2如圖2，已知橢圓ω:=1(a ＞b ＞0)的一對(duì)不垂直的共軛直徑所在直線分別為l1，l2，A，B分別是l1，l2與橢圓ω的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)C是l2上與B不重合的一定點(diǎn)，過C作與l2不重合的直線l與橢圓ω交于P，Q兩點(diǎn)，直線BP，BQ分別與l1交于M，N兩點(diǎn)，則|OM| · |ON|=·|OA|2，其中yB，yC分別是B，C的縱坐標(biāo).

圖2

證明設(shè)B(acosθ,bsⅰnθ)，A(acosγ,bsⅰnγ)，因 為l1，l2是橢圓ω的一對(duì)共軛直徑所在直線，所以cosθcosγ+sⅰnθsⅰnγ=0，即cos(θ-γ)=0.不妨設(shè)θ-γ=此時(shí)A(asⅰnθ,-bcosθ)，所以l1的方程為

設(shè)P(acosα,bsⅰnα)，Q(acosβ,bsⅰnβ)，則BP的方程為

BQ的方程為

①與②聯(lián)立，得M的橫坐標(biāo)xM=①與3○聯(lián)立，得N的橫坐標(biāo)xN=，于是

因?yàn)镃，P，Q三點(diǎn)共線，所以(acosα-xC,bsⅰnα-yC)，=(acosβ-xC,bsⅰnβ-yC)，所以(acosα-xC)(bsⅰnβ-yC)=(acosβ-xC)(bsⅰnαyC)，整理得absⅰn(α-β)-bxC(sⅰnα-sⅰnβ)+ayC(cosαcosβ)=0，即

又C在l2上，所以yC=，即bxC=代入5○，化簡得代入4○，得|OM|·|ON|=·|OA|2=故結(jié)論成立.

以上由特殊到一般，揭示了這道定值問題的根源與本質(zhì).在教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，敢于質(zhì)疑、善于思考、把握本質(zhì)，厘清知識(shí)、結(jié)論的來龍去脈，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才更加有意義，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升才會(huì)指日可待.