郭源源

摘 ? ?要：軌跡法是解決最值問題的重要方法.圖形在繞定點作旋轉加位似變換時，對應點的軌跡形狀呈現(xiàn)一致性.這種旋轉位似確定軌跡的方法，通過原理介紹和結論證明，揭示旋轉位似變換中的性質和規(guī)律，并以“轉移位置”“內嵌面積”“最值線段”三個方面的應用，讓學生在問題分析中學會用運動變換的視角看問題，感悟到“定點加定形，軌跡形一致”的圖形認識.

關鍵詞：旋轉位似;定點定形;軌跡

初中幾何中，由圖形運動而產生的最值問題歷來是學生解題的難點，究其原因是圖形一直在變化，學生無法捕捉到運動變化背后“不變”的元素，難以分析出最值時的位置，也就無法從具體圖形上分析求解.動態(tài)問題解題的關鍵在于動中尋找定的量，再由這些定量探尋出動點形成的軌跡，從而根據(jù)軌跡分析出最值位置，即“由動尋定，由定定軌，由軌求最” [1].因初中知識的局限性，初中的動點軌跡以圓和直線軌跡為主，而確定軌跡的方法通常有兩種：其一，由“定點對定長”，依據(jù)圓定義確定軌跡，或者由“定弦對定角”依據(jù)圓周角定理確定圓軌跡;其二，旋轉位似變換，因繞定點變換過程中，圖形形狀始終不變，故可由一個動點的軌跡，確定其他動點的軌跡，即“定點定形軌一致”.相比之下，后者的原理更加隱蔽靈活.本文就以旋轉位似變換為例，介紹這類變換所蘊含的性質及在解題中的運用，與大家交流分享.

一、旋轉位似變換介紹

旋轉位似變換是指一個圖形繞一定點作旋轉變換的同時，也作位似變換;它是旋轉變換和位似變換的復合變換，此時的旋轉中心和位似中心相重合.

【結論】若一個圖形繞一個定點作旋轉位似變換，則圖形上所有點的運動軌跡呈現(xiàn)形狀一致性，且任意兩點運動的路徑長之比等于它們到旋轉位似中心的距離之比.其中：

（1）若一個點的軌跡是直線，則另一點軌跡也一定是直線，且兩直線夾角與這兩點和旋轉位似中心組成的夾角相等或互補，即如圖1，點B的軌跡l和點C的軌跡l′的夾角與∠BAC相等或互補;

（2） 若一個點的軌跡是圓，則另一點軌跡也一定是圓，且兩圓心和旋轉位似中心組成的夾角與這兩點和旋轉位似中心組成的夾角相等，兩圓心到旋轉位似中心的距離之比等于這兩點到旋轉位似中心的距離之比，即如圖2，∠OAO′=∠BAC， [OAO′A]=[BABC].

【證明】

（1） 如圖1，當點B在直線l上運動，由旋轉和位似的性質可得：△ABC △AB′C′， 進一步可證△BAB′△CAC′，得[BB′CC′]=[ABAC]和∠ACC′=∠ABB′，再由四邊形內角和和鄰補角易證∠α=∠BAC為一定值，故C點在與∠α=∠BAC的直線l′上運動.

（2） 如圖2，當點B在⊙O上運動時，作點O′使△BAC△OAO′，進一步可證△ABO△ACO′，得[OBO′C]=[ABAC]=k.由k和OB為定值，可推出O′C始終也為定值，故點C在以O′為圓心的圓上運動，且⊙O和⊙O′的半徑之比等于k.

【評注】這種圖形運動的實質是旋轉和位似，因為旋轉中心和位似中心重合，過程中具備“定點加定形”，所以始終存在兩對相似三角形，即“雙相似”.由雙相似致使角的等量關系和邊的比例關系一直存在，所以AB以一種關系在變化，AC就以同樣的關系在變化，即軌跡形狀呈現(xiàn)一致性.所有軌跡中，直線和圓的軌跡最為常見，其他軌跡證法亦是同理.

二、旋轉位似變換應用

（一）?！靶巍辈蛔儯{整圖形位置

例1 ? 如圖3，平面上有任意三條不等距的平行線，使用尺規(guī)做出一個等邊三角形，要求三角形的三個頂點分別在這三條平行線上.

【分析】借助特殊到一般的思想，等邊三角形三個頂點都位于三條平行線上若作不出，那思考兩個頂點呢？兩個頂點位于兩條平行線上的等邊三角形很容易做出且有無數(shù)種，如△ABC.接下來就是在保證等邊的前提下轉移圖形位置，利用旋轉位似變換由點B在直線l3上的運動，可確定點C的直線軌跡，當點C運動到l2上時就是等邊三角形的目標位置.

【作法】限于篇幅，只寫作法思路，如圖3.

1.在l1和l2上任取兩點A和B，作等邊三角形ABC.

2.作射線CE，使得∠ACE=∠ABD，交l2于點C′.

3.連接AC′，以AC′為邊作等邊三角形AB′C′.

△AB′C′即為所求.

【評注】因等邊三角形的旋轉位似，所以有△ABB′△ACC′，故第3步確定點B′的做法還可以是在l3截取BB′=CC′或者是作射線AB′，使得∠C′AB′=∠CAB，交l3于點B′.此題的等邊三角形還可以變式為等腰直角三角形或其他特殊三角形，作法思路都是先構造再調整，即借助旋轉位似變換，在保證形狀不變的前提下，調整圖形位置.

變式1 ? 如圖4，∠AOB的內部有一點P，使用尺規(guī)作等腰直角三角形PCD，要求點C、D分別在射線OB、OA上，∠PCD=90°.

【分析】易構造出等腰直角三角形PC′D′，借助旋轉位似變換，當點C′在射線C′O上運動時，點D′也一定在射線D′E上運動，且∠PD′E=∠PC′O=90°.這樣D′E與OA的交點即為點D的位置，點D確定則點C隨之確定.

【作法】

1.作等腰直角三角形PC′D′，如圖4.