余文慧，高仕龍

(樂山師范學院數(shù)學與信息科學學院，四川 樂山 614000)

0 引 言

混沌是由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的一種貌似隨機的運動，具有不可預測性、遍歷性及初值敏感性等特性。研究發(fā)現(xiàn)，混沌系統(tǒng)的運動軌跡全局是穩(wěn)定的，局部是不穩(wěn)定的，對混沌系統(tǒng)使用精度有限的工具進行仿真可能會出現(xiàn)閉合狀態(tài)重疊的情況，這意味著在實際應用中需要一個在相平面區(qū)域分布較寬的動力系統(tǒng)[1]。使用在相平面區(qū)域分布較寬的高維混沌系統(tǒng)對數(shù)據(jù)進行加密或保密通信時具有更好的安全性[2]。本文提出一個新的二維調(diào)制耦合系統(tǒng)(2D Modulation Coupled Logistic Map，2D-MCLM)，系統(tǒng)具有2個控制參數(shù)，擴展了參數(shù)空間和混沌序列的密鑰空間，產(chǎn)生的偽隨機序列的隨機性良好，在參數(shù)變化空間內(nèi)產(chǎn)生的混沌區(qū)域較其他調(diào)制系統(tǒng)更廣。

1 二維調(diào)制耦合Logistic映射

傳統(tǒng)Logistic映射[3]是研究混沌等復雜系統(tǒng)行為的經(jīng)典模型，其數(shù)學表達式為：

xn+1=μxn(1-xn)

(1)

式中，μ為控制參數(shù)，n為迭代次數(shù)。由文獻[3]可知，傳統(tǒng)Logistic映射在μ∈[3.5,4.0]時呈現(xiàn)比較好的混沌特性。

較傳統(tǒng)的Logistic映射而言，指數(shù)Logistic映射[4]的混沌特性更加豐富，其數(shù)學表達式為：

xn+1=γxne-(xn-b)2

(2)

式中，γ為控制參數(shù)，b為常數(shù)。當b=0.1時，使用MATLAB進行數(shù)值模擬得到，當γ∈[3.1,6.0]和γ∈[-4.3,-2.8]時，映射進入混沌狀態(tài)。

本文提出2D-MCLM是基于傳統(tǒng)Logistic映射和指數(shù)Logistic映射相互調(diào)制耦合形成的，其數(shù)學表達式為：

(3)

式中，α，β為控制參數(shù)，n表示迭代次數(shù)。由系統(tǒng)(3)可以看出，與傳統(tǒng)Logistic映射和指數(shù)Logistic映射相比，2D-MCLM具有更加復雜的結(jié)構(gòu)。首先，每次迭代過程中，xn和yn相互關聯(lián)，相互擾動，使得系統(tǒng)輸出序列更加難以預測，提高了系統(tǒng)的混沌性能；其次，在原映射表達式的基礎上增加了2個參數(shù)α和β，限制了混沌系統(tǒng)的輸出，增強了系統(tǒng)的非線性和隨機性。

本文通過相圖、頻數(shù)檢驗、平衡度和分岔圖實驗，對2D-MCLM，2D-Logistic映射[5]和二維正弦Logistic調(diào)制映射(2D Sine Logistic Modulation Map，2D-SLMM)[6]的混沌性能進行分析。主要研究3種系統(tǒng)的遍歷性、隨機性和混沌區(qū)域大小。2D-Logistic映射和2D-SLMM的數(shù)學表達式分別為：

(4)

(5)

1.1 相圖分析

通過系統(tǒng)混沌特性最優(yōu)時的相圖可直觀地觀察系統(tǒng)的遍歷性。對3個系統(tǒng)的相圖軌跡進行比較，初始值均為(x0,y0)=(0.40,0.50)，2D-MCLM參數(shù)取值為α=-0.990，β=4.000，2D-Logistic映射參數(shù)取值為r=1.19，2D-SLMM參數(shù)取值為α=1.00，β=3.00。數(shù)值模擬所選取的參數(shù)值均是為了確保系統(tǒng)能夠具有良好的混沌特性，實驗結(jié)果如圖1所示。從圖1中可以看出，3種系統(tǒng)其軌跡分布區(qū)域均為[0,1]×[0,1]，2D-MCLM的運動軌跡在相平面上的分布范圍明顯比其他2個系統(tǒng)要廣，說明2D-MCLM具有更好的遍歷性。

圖1 不同系統(tǒng)混沌性能最優(yōu)時的相圖

1.2 頻數(shù)檢驗和平衡度分析

首先將系統(tǒng)生成的混沌序列{x1,x2,x3,…,xn}轉(zhuǎn)換為二值序列，然后對相應的二值數(shù)列的隨機性和平衡度作進一步比較分析。系統(tǒng)對應的二值序列{m1,m2,m3,…,mn}的取值如下：

(6)

式中，i=1,2,…,n。

1.3 分岔圖分析

混沌系統(tǒng)的分岔圖可以直觀表現(xiàn)混沌出現(xiàn)的相關信息。取2D-MCLM中參數(shù)β=4.000，2D-SLMM中參數(shù)α=1.000，對3個混沌系統(tǒng)進行數(shù)值模擬，結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出，當α∈(-5.930,-3.497)∪(-1.881,0.000)時，2D-MCLM出現(xiàn)混沌現(xiàn)象；當r∈(1.000,1.100)∪(1.130,1.150)時，2D-Logistic映射出現(xiàn)混沌現(xiàn)象；當β∈(2.743,2.967)∪(2.986,3.000)時，2D-SLMM出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。所以，2D-MCLM較其他2種映射具有更好的混沌性能、更廣的混沌區(qū)域和參數(shù)范圍。

表1 3種系統(tǒng)的頻數(shù)檢驗和平衡度分析結(jié)果

圖2 不同系統(tǒng)在參數(shù)空間內(nèi)的分岔圖

2 數(shù)值實驗與分析

2D-MCLM的動力學行為是由參數(shù)α和β決定的。分別采用分岔圖、相圖和Lyapunov指數(shù)圖來研究2D-MCLM的混沌動力學特征。選取初始點為(x0,y0)=(0.40,0.50)，β=4.000。

2.1 相圖和分岔圖分析

參數(shù)α在區(qū)間[-10.000,0.000]上變化時，2D-MCLM的分岔圖變化過程如圖3所示，其吸引子的演化過程如圖4所示。觀察圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn)：當α∈[-10.000,-9.499]時，系統(tǒng)趨于一個不動點；當α∈(-9.499,-7.762]時，系統(tǒng)產(chǎn)生2周期點，這種現(xiàn)象稱之為Hopf分岔。當α∈[-7.700,-6.141]時，2周期點失穩(wěn)，新的穩(wěn)定狀態(tài)是圍繞著原來2個不動點所形成的極限環(huán)，如圖4(a)所示。當α=-6.300時，相平面又出現(xiàn)2個極限環(huán)，尺寸相比于圖4(a)有所增大且出現(xiàn)了2個尖角，說明系統(tǒng)回到了周期運動，如圖4(b)所示。當α=-5.900時，相平面對應的狀態(tài)為奇怪吸引子，如圖4(c)所示。隨著α的增加，奇怪吸引子分開部分的尺寸增大且變形，彼此靠近，最后互相交疊逐步融合成一個整體，如圖4(d)所示。與一般混沌系統(tǒng)不同的是，當參數(shù)α繼續(xù)增加，系統(tǒng)的動力學行為逐漸退化。當系統(tǒng)進入完全混沌狀態(tài)后，在α=-3.100時，分岔圖又出現(xiàn)2個穩(wěn)定不動點。圖4(e)中，當α=-2.100時，系統(tǒng)的4個不動點失去穩(wěn)定，新的穩(wěn)定狀態(tài)是圍繞著原來4個不動點形成的2對極限環(huán)，這說明系統(tǒng)在α∈[-3.483,-2.358]時經(jīng)歷了2次倍周期分岔；當α=-1.966時，圖4(f)呈現(xiàn)的是圍繞4個極限環(huán)形成的4個方形區(qū)域，系統(tǒng)相平面出現(xiàn)奇怪吸引子，對應于混沌運動。圖4(f)表明奇怪吸引子的結(jié)構(gòu)不隨參數(shù)連續(xù)變化，但整體結(jié)構(gòu)會發(fā)生瞬變。較圖4(c)，其軌道呈現(xiàn)為永不重復，并且性態(tài)復雜。

基于以上分析，2D-MCLM通向混沌的方式有2種。首先，通過周期行為和混沌現(xiàn)象交替出現(xiàn)的間歇突發(fā)性通向混沌，并且該間歇性與倍周期分岔和Hopf分岔有關；其次，系統(tǒng)進入完全混沌后，隨著參數(shù)α的增加，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)突變?yōu)橹芷跔顟B(tài)，再通過2次倍周期分岔通向混沌。系統(tǒng)通向混沌道路的多樣性也說明其與一般的混沌映射相比，具有更加復雜的動力學行為。

圖3 2D-MCLM隨著參數(shù)α變化的分岔圖

2.2 Lyapunov指數(shù)

圖5 2D-MCLM的Lyapunov指數(shù)圖

Lyapunov指數(shù)是描述混沌系統(tǒng)對初始值敏感依賴性的量[9]。一般來說，Lyapunov指數(shù)小于0時，經(jīng)過迭代運算的系統(tǒng)軌道的相鄰點隨著時間的推移，最終靠攏合并成一點，系統(tǒng)對應于穩(wěn)定的不動點；Lyapunov指數(shù)大于0時，相鄰點經(jīng)過映射的迭代運算最終分離，系統(tǒng)對應的軌跡產(chǎn)生局部不穩(wěn)定性。因此，Lyapunov指數(shù)是否大于0是判斷映射是否為混沌序列的一個依據(jù)。2D-MCLM隨參數(shù)α變化的Lyapunov指數(shù)圖如圖5所示。

觀察圖5可知，當α∈[-7.700,-3.510]時，λ>0，系統(tǒng)通過Pomeau-Manneville途徑通向混沌，并且在該范圍內(nèi)，系統(tǒng)分岔圖中伴有大量的周期窗口；當α∈[-1.960,0]時，λ仍然大于0，系統(tǒng)通過2次倍周期分岔通向混沌。

3 結(jié)束語

本文基于傳統(tǒng)Logistic映射和指數(shù)Logistic映射相互調(diào)制耦合，提出一種二維調(diào)制耦合系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)更加復雜，輸出序列更加難以預測，提高了系統(tǒng)的混沌性能，增強了系統(tǒng)的非線性和隨機性。與一般的二維混沌映射相比，系統(tǒng)經(jīng)歷了2次混沌區(qū)域，產(chǎn)生的混沌區(qū)域更廣，參數(shù)可調(diào)諧性更強，在混沌加密應用中有著良好的發(fā)展前景。