□范林偉 楊雅軍

一、數(shù)學(xué)手賬的學(xué)理意蘊

“手賬”原指經(jīng)常帶在身邊，用來記載心想、要做、怕忘的各種事情的小型筆記本。“數(shù)學(xué)手賬”則是記錄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體。它在保留其原有的記錄、計劃功能之外，更加注重讓學(xué)生運用多元的數(shù)學(xué)表征方式來記錄在發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析并解決問題時所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)思考過程、獲得的結(jié)果和探究體會。

數(shù)學(xué)手賬由一系列賬頁組成，每張賬頁主要包含“我的問題、我的實踐、我的思考”三大基本板塊，力求全面呈現(xiàn)某個數(shù)學(xué)問題及其相應(yīng)的探究過程。通常，數(shù)學(xué)手賬具有如下特點。

（一）數(shù)學(xué)思考痕跡化

學(xué)生會把從確定問題、實施計劃、調(diào)整反思到提煉經(jīng)驗等思考過程和思維軌跡全程記錄下來。這種自然流露作為學(xué)生對學(xué)習(xí)過程的梳理與總結(jié)，能充分體現(xiàn)他們主動求知、積極探究、渴望知識和樂于創(chuàng)造的良好學(xué)習(xí)狀態(tài)。

（二）數(shù)學(xué)思維可視化

為了將自己的所感、所想、所做全面地記錄下來，學(xué)生在描述問題解決的過程時會運用多元的表征方式來表達自己的思維過程。這有效地促使學(xué)生將感性、初步的認(rèn)識提煉為理性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識。

（三）數(shù)學(xué)方法多樣化

學(xué)生在解決問題時會從實物或模型、數(shù)或形等角度來全面思考并嘗試運用不同的數(shù)學(xué)方法來解答，進而不斷豐富與強化自身對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)方式的理解與運用。其間，他們還會使用個性化的表達方式將自己的思考表達出來。如學(xué)生在創(chuàng)作數(shù)學(xué)手賬時會以問題為載體直接表達探究過程，也會以故事為載體間接表達探究過程，還會以知識樹、思維導(dǎo)圖、小課題研究的形式來展示自己的探究過程。

教學(xué)中，我們將數(shù)學(xué)手賬劃分為問學(xué)手賬、固學(xué)手賬和延學(xué)手賬三類，分別在學(xué)生預(yù)習(xí)、回顧、整理、拓展等階段使用，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題、調(diào)整和反思以及創(chuàng)新實踐等能力，使他們善于學(xué)習(xí)、樂于學(xué)習(xí)，從而愛上這種不一樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

二、數(shù)學(xué)手賬的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)手賬不僅能夠“曬”出學(xué)生的思維困惑，“曬”出他們的思維方式，還能“曬”出他們的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。教學(xué)中，教師可以根據(jù)教學(xué)的需要合理選擇手賬類型進行布置，這樣既能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維分析問題，又能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平，還能借此診斷自己的教學(xué)效果。

（一）問學(xué)手賬讓學(xué)生學(xué)得有方向

愛因斯坦曾指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要?！睂W(xué)生在預(yù)習(xí)、在課堂上遇到問題時，可以及時地將它們記錄下來，然后借助問學(xué)手賬做深入的探究。這不僅能為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)導(dǎo)航，而且還能使他們在提問的過程中學(xué)會提出問題的策略，掌握提出問題的方法。

如學(xué)習(xí)四年級“加法交換律和結(jié)合律”時，由于內(nèi)容相對簡單，教師就安排獨立預(yù)學(xué)的方式，組織學(xué)生通過問學(xué)手賬來記錄自主學(xué)習(xí)的過程。有位學(xué)生清楚地將自己預(yù)習(xí)教材、舉例驗證、歸納總結(jié)的過程繪制下來，還借助“朝三暮四”的故事加以描述（見圖1）。整頁手賬內(nèi)容全面、主題突出，有序地展示了預(yù)習(xí)的過程和學(xué)習(xí)的成果。

圖1

又如學(xué)習(xí)四年級“三角形的分類”時，有學(xué)生產(chǎn)生了如何分辨三角形的種類的問題。該學(xué)生帶著預(yù)習(xí)時產(chǎn)生的問題進入課堂，然后根據(jù)課堂的探究過程，將知識回顧、探索發(fā)現(xiàn)、研究結(jié)論和自身體會描繪下來（見圖2）。從賬頁可以看出，學(xué)生在問題的導(dǎo)向下，不僅知道了三角形按角分類的方法，還認(rèn)識了直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的特征，發(fā)現(xiàn)了這三者之間的共同點（每個三角形最少有兩個銳角），而且還得出了“判斷一個三角形關(guān)鍵看它三個角中最大的角是什么角”的方法。

圖2

（二）固學(xué)手賬讓學(xué)生學(xué)得有質(zhì)量

古語云，溫故而知新。在日常的知識回顧、優(yōu)化提升或單元整理時，教師可以組織學(xué)生創(chuàng)作固學(xué)手賬，以此來整理和歸納新知與技能，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的解決中熟悉解決問題的策略與方法，學(xué)會舉一反三，提高數(shù)學(xué)運用與數(shù)學(xué)理解能力，起到固本強基、拓展思維的作用。

如學(xué)習(xí)三年級“24時計時法”時，教師為了鞏固學(xué)生對12時計時法與24時計時法之間換算的認(rèn)知，促進學(xué)生對計算經(jīng)過時間的方法的理解，組織學(xué)生繪制了固學(xué)手賬。從學(xué)生作品（見圖3）中可以發(fā)現(xiàn)，該生在解決問題時既借助了直觀的時間尺模型來幫助思考，又使用了兩種不同的方法來解決問題。這種“你知道嗎”的表現(xiàn)方式生動地展示了學(xué)生對計時方法的理解與感悟以及熟練運用知識解決問題的自信心。

圖3

再如學(xué)習(xí)四年級“觀察物體（二）”時，有學(xué)生為了讓自己清晰地回憶數(shù)圖形的方法，將操作演示的思考方法淋漓盡致地記錄成數(shù)學(xué)手賬（見圖4）。

圖4

從賬頁中可知，該學(xué)生為了數(shù)出這個組合體中小正方體的個數(shù)，將隱藏在內(nèi)部的實際構(gòu)造繪制出來，從而確定了所用正方體的具體數(shù)量。在這一過程中學(xué)生不僅解決了問題，學(xué)會了有序思考此類問題的思維方式，而且有效地提高了自身觀察、操作、想象、分析與推理的意識和能力。

又如學(xué)習(xí)三年級“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”后，有學(xué)生產(chǎn)生了要研究“11的速算”的想法。其間，他通過列舉以及對豎式結(jié)構(gòu)的分析，發(fā)現(xiàn)了它們的共同點，明確了“與11相乘”的規(guī)律（見圖5）。最后，他還真切地提出“數(shù)學(xué)是一門有趣的學(xué)科，我們要善于發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，大膽猜測，通過實踐來驗證猜測，一定能解決問題”。這樣的探究不但強化了學(xué)生靈活運用“猜測—舉例—驗證”的思想方法，還使他們品嘗了成功的喜悅，感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力。

圖5

（三）延學(xué)手賬讓學(xué)生學(xué)得有趣味

為了激發(fā)學(xué)生的探究興趣，拓寬學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)眼光和用數(shù)學(xué)解決問題的意識，教師還可將數(shù)學(xué)手賬延伸到課堂之外，全面拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的廣度和深度。

如一年級學(xué)生學(xué)習(xí)“找規(guī)律”以后，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過舉例、驗證的方式對“開關(guān)問題”進行探究，進而得到結(jié)論，并且最終發(fā)現(xiàn)有關(guān)奇偶數(shù)計算的規(guī)律。一學(xué)生借助列表法有序地將自己是如何進行歸納推理的過程描繪了出來（見圖6）。從“調(diào)皮的單數(shù)、雙數(shù)”這一主題，我們也可以看出該學(xué)生在解決這個問題的過程中心中肯定充滿了期待和探究的興趣以及得出結(jié)論時的那種喜悅感。

圖6

又如學(xué)習(xí)四年級“三角形內(nèi)角和”之后，有學(xué)生自發(fā)探究了“圖形內(nèi)角和的秘密”。該學(xué)生在三角形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上利用分割法依次研究了四邊形、五邊形和六邊形的內(nèi)角和，最后通過數(shù)學(xué)推理明確了n邊形的內(nèi)角和的求解方法為“180×（n-2）”。他完整地將“我的問題、我的實踐、我的反思”記錄成了一頁手賬（見圖7）。他坦言：“數(shù)學(xué)中解決問題的方法可能有很多，但我們要尋找更快捷、更簡便的方法。”可見，他不僅感受到了數(shù)學(xué)公式的簡潔美，還體會到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正樂趣，也享受到了解決問題帶來的成功感和自信心。

圖7

總之，根據(jù)教學(xué)的需要合理選擇數(shù)學(xué)手賬的類型，能有效地促進學(xué)生內(nèi)化知識，掌握技能，使他們學(xué)得有方向、有質(zhì)量、有趣味、有活力。