□朱術磊

數(shù)學手賬，意指學生基于自身的學習經驗用數(shù)學語言、數(shù)學情境或模型來敘述、描繪數(shù)學內容，記錄思維痕跡的一種個性化學習載體。教師借助“數(shù)學手賬”這一學習載體，引導學生經歷“深度激活”的數(shù)學學習過程，以此來促進學生學力的生長，具體路徑如下圖所示。

一、眼中有光：梳理型“愿學手賬”的知識習得反省路徑

梳理型“愿學手賬”，是指學生在教師的引導下，將學習中獲得的數(shù)學知識點進行梳理、記錄并展現(xiàn)出來。這也是學生對學習過程進行回顧、對學習策略進行運用、對學習結果進行自我檢驗的反省過程，從而在數(shù)學學習中發(fā)展自我反思能力。

（一）我學了什么——從教師驅動走向“自主回顧”

數(shù)學基礎知識包含定義、性質、特點、應用等，小學生對數(shù)學基礎知識框架越清晰，整理越詳細，記憶就會越清楚，理解也會越透徹。在梳理型“愿學手賬”的制作中，教師要引導學生用自己喜歡的方式去梳理在數(shù)學學習中習得的知識，鼓勵學生對知識進行“自主回顧”，來反思自己的學習。

（二）我是怎么學的——從教師糾錯走向“自行檢查”

教師可指導學生運用符號、圖形、語言等多元表征方式將所學知識記錄下來，以促進知識技能的內化。學生需要對自己的學習過程進行“自行檢查”，將自己的反思過程記錄在“我是怎么學的”一欄中。通過這樣的活動，學生不僅提高了學習數(shù)學的有效性，也了解了自己在學習數(shù)學時的狀況。

（三）我學得怎么樣——從教師反饋走向“自我檢驗”

學生可以將自己的學習過程、學習方法、學習結果等通過多元表征的學習路徑在數(shù)學手賬中表達出來。如一名二年級的學生在學習“平均分”前，通過“前置性學習”對自己的疑惑進行了梳理，提出“什么是平均分”“平均分可以怎么分”“平均分的兩種方法是什么”等問題。而后，該生通過課堂中的學習，對這一內容進行“二次認識”并對自己的學習結果進行檢驗。學習中學生是學習的主人，整個過程都是學生在規(guī)劃學習。

二、手中有思：體驗型“慧學手賬”的技能發(fā)展反思路徑

在運用“數(shù)學手賬”進行學習的過程中，要避免流于形式，真正做到激活學生的思維，引導學生成為數(shù)學學習的“慧學者”。

（一）我問得對嗎——從自我設疑走向“生生互思”

在教學中教師往往會發(fā)現(xiàn)學生提出的問題“五花八門”，也有學生不會提問也不想提問。通過“慧學手賬”這一體驗型數(shù)學活動的開展，學生逐步形成了相應的問題意識，并慢慢開始提出“好問題”。一位學生在“A4紙的魔力”項目學習中提出了這樣的問題：在A4紙上剪出一個大洞，能讓幾個大人穿過去？學生先做了自我評析，在此基礎上與同學進行分享。通過“生生互思”，學生提出問題：如果直接在這張紙上面剪出最大的洞的話，那肯定一個人都鉆不過去，而邊上也很容易斷開。不管把這個洞剪成什么形狀，人都穿不過去。該怎么辦呢？他們決定去查資料。

在這一學習活動中，學生的疑惑、思考等都是在自我評判的基礎上形成的，這樣的學習體驗讓學生的操作活動具有了“靈魂”，并不是為了操作而操作。

（二）我做得對嗎——從自我評析走向“生生互解”

在實踐中學生先進行“自我判斷”，判斷自己做得對不對，并與同學分享，通過多次實踐、反思、分享，最終解決問題。如在上述“A4紙的魔力”項目學習中，學生在“數(shù)學手賬”中這樣描述：第一步，先把A4紙對折，并在折痕處每隔2厘米做好標記，在另一邊也用同樣的方法做好標記，兩邊的標記互相交叉；第二步，沿標記處剪開，但兩邊都不要剪到頭；第三步，將折痕處剪開，兩端保留，最后小心翼翼地將紙攤開。完成后，我竟然真的鉆了過去！但兩個人還是不行，我試著把2厘米的間隙剪成1厘米，兩個大人也能鉆進去了。

學生通過體驗型“慧學手賬”，將自己在學習中的反思體會與同學進行分享，使反思性學習從自我評判走向“生生互解”。在這樣的學習過程中，學生不僅逐步改進了探究策略，更重要的是體驗到了學習的樂趣。

（三）我想得對嗎——從自我研判走向“生生互評”

在實踐成功后，學生再次進行反思：紙上的每一根線條都構成紙環(huán)周長的一部分。每多一條線，圓環(huán)就多出一段。因此，紙條數(shù)量越多，A4紙的周長就越大，形成的紙環(huán)就越大。剪的時候，兩個相鄰的距離越短，紙環(huán)就越大（如下圖）。

通過體驗型“慧學手賬”的教學活動，學生在多樣的評判中，對實踐的過程及結果進行反思并與同學分享，在同學的評判中再次修正，從而完善自己的實踐。

三、胸中有問：研究型“智學手賬”的思維發(fā)展覺醒路徑

數(shù)學學習要想走向深入，就得發(fā)展學生的數(shù)學基本思想，促使他們成為勤于學習的“智學者”。

（一）我的問題——從自我設疑走向“深思細問”

學生在對自己的數(shù)學學習結果及過程進行判斷時，有的會認為很滿意，而有的會認為自己的學習還存在一定的問題，這就需要學生養(yǎng)成“深思細問”的學習品質。如一名六年級的學生在“自行車里的數(shù)學”手賬中提出了這樣的問題：今天我得到一輛新的自行車，我腦子里立馬浮現(xiàn)出學過的圓的周長的知識。這輛自行車蹬一圈究竟能走多遠呢？是車輪一圈的長度嗎？它與什么相關聯(lián)呢？

學生通過這樣的學習，逐步形成主動覺察問題的意識，并對問題進行分析。由此學生不僅發(fā)展了數(shù)學基本思想，更會在今后的數(shù)學學習中對某一個或某一塊內容保持持續(xù)的學習興趣。

（二）我的感受——從自我評析走向“深想細究”

仍以上述“自行車里的數(shù)學”手賬為例，學生在提出問題后再次進行思考，激發(fā)深度研究的熱情。該生在手賬中這樣記錄：根據(jù)這個問題，我開始了思考，計算蹬一圈的路程，但測量出來的數(shù)據(jù)是6.5米、5.7米、8.8米。每次都不一樣，我心想。所以這種方法是不準確的。

學生借用“數(shù)學手賬”這個載體，把自己研究時的感受記錄下來，這也是學生進行問題覺察的一種途徑，為下一階段的數(shù)學學習奠定了良好的基礎。

（三）我的改變——從自我研判走向“深明細解”

還是在“自行車里的數(shù)學”項目學習中，通過前期的疑問與思考，學生覺察到自己的學習結果存在問題。該生發(fā)現(xiàn)：車的前齒輪有26個齒，后齒輪有16個齒，車輪直徑為66厘米。經過計算得出，蹬一圈大約337厘米。學生又換一輛較大的自行車進行研究，數(shù)據(jù)為前齒輪48個齒，后齒輪20個齒，車輪直徑為70厘米。蹬一圈的距離為528厘米左右。學生通過多次改變研究對象，最終得到結論。下圖是學生制作的“自行車里的數(shù)學”手賬。

由此可以看出，學生的問題是基于生活實踐的問題，這是發(fā)展學生數(shù)學思想最關鍵的一環(huán)。學生基于自己的問題進行猜測，繼而通過學習到的數(shù)學知識來驗證，形成結論。學生在這個過程中感受到數(shù)學的力量，感受到數(shù)學就在我們身邊。

四、心中有愛：創(chuàng)新型“善學手賬”的經驗積累轉化路徑

學生要做到善于學習，就要將積累的數(shù)學學習經驗進行轉化，因此，在“數(shù)學手賬”項目學習中，教師應引導學生進行創(chuàng)新型“善學手賬”的梳理，促使學生真正從“經歷”走向“經驗”，從而培養(yǎng)學生的自由獨創(chuàng)力。

（一）我的思考——從“深思細問”走向“意義轉化”

在數(shù)學學習中，教師除了需要關注既定的概念與定理的講解，讓學生在深度理解之后能加以靈活應用之外，還需要引導學生將這一定理與概念轉化為新情境的應用。如學生在探究“鏡子里的奧秘”時，一般都會對實物進行研究，比如“我”怎么做，鏡子里的“我”也怎么做！但一名學生是這樣思考的（如右圖）。

學生無形中對“鏡子里的奧秘”開展了深度探究并進行了意義轉化。

（二）我的實踐——從“深想細究”走向“情境變換”

從以下手賬記錄中可以看到，學生從對“實物情境”的研究轉化到了對“數(shù)字情境”的研究，逐步形成了轉化的意識。通過類似的嘗試，學生在不斷的轉化過程中，形成轉化的自覺性，并且能夠創(chuàng)造性地應用學過的知識來解決問題，這也是學生高階思維能力發(fā)展的有力舉措。

（三）我的結論——從“深明細解”走向“創(chuàng)造思考”

從以上研究結論可以看到學生創(chuàng)造性思考的痕跡，也讓我們更加深信通過創(chuàng)造型“善學手賬”的梳理，學生定能在數(shù)學學習中成為“心智自由”的“善學者”。

“數(shù)學手賬”得到了家長、學生、教師的好評。它不僅提高了學生學習數(shù)學的有效性，也為學生數(shù)學學習增添了“深度探尋”的興味。教師通過“數(shù)學手賬”這一載體，能轉變學生學習數(shù)學的方式。在學習中，教師更清楚地掌握學生的“學”，學生更清楚地理解教師的“教”。它能促進學生經歷有意義的數(shù)學學習，優(yōu)化學生對“數(shù)學知識”的建構，為教師的教學提供新的思路，也為學生的學習開拓新的路徑。