程權(quán)成，崔寶影

（遼寧機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 華孚儀表學(xué)院，遼寧 丹東 118009）

0 引 言

在控制系統(tǒng)分析中，穩(wěn)定性分析和跟蹤性能分析是兩類典型的分析方法，跟蹤性能分析比穩(wěn)定性分析更加復(fù)雜。跟蹤控制是指通過設(shè)計(jì)控制器，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，使系統(tǒng)的輸出變量能夠跟蹤某一參考信號的輸出變量。由于在控制器的設(shè)計(jì)過程中，并不是所有的狀態(tài)變量都是可直接測量的，因此本文采用狀態(tài)觀測方法對狀態(tài)變量進(jìn)行觀測，進(jìn)而完成控制器的設(shè)計(jì)。劉玲等為了保證被控系統(tǒng)的跟蹤控制性能，提出一種基于狀態(tài)反饋的H∞跟蹤控制器設(shè)計(jì)方法[1]；鹿竹葉等以火電機(jī)組機(jī)爐協(xié)調(diào)系統(tǒng)為研究對象，對閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行H2/H∞跟蹤性能分析，并給出求解的LMI條件[2]，二者均假定狀態(tài)變量是直接可測量的，但在實(shí)際系統(tǒng)模型中該假定并不是永遠(yuǎn)成立的。吳海東等結(jié)合LMI技術(shù)和魯棒理論，研究了智能車軌跡跟蹤控制方法提高了跟蹤精度和魯棒性，該研究分析了系統(tǒng)模型中的不確定性，但對于控制器的脆弱性沒有進(jìn)行深入探討[3]。石振東等主要針對四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)模型，研究了一種基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的H∞跟蹤控制器[4]；孫宜標(biāo)等采用LMI方法對直線伺服系統(tǒng)進(jìn)行位移跟蹤控制，并設(shè)計(jì)了求解控制器的條件[5]，二者均未考慮控制器中存在擾動(dòng)時(shí)對跟蹤性能的影響。Lin Chong等針對T-S模糊系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于觀測器的跟蹤控制器，應(yīng)用LMI技術(shù)給出跟蹤控制器的求解條件，并通過質(zhì)量彈簧機(jī)械系統(tǒng)驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性，但其應(yīng)用于線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)，求解過程過于復(fù)雜[6]。已有研究都是假定跟蹤控制器是精確執(zhí)行的，即未考慮非脆弱問題，然而，在實(shí)際系統(tǒng)模型中，由于A/D轉(zhuǎn)換精度、元器件老化等因素，控制器參數(shù)往往并不是準(zhǔn)確執(zhí)行的，控制器參數(shù)微小的變化都會(huì)給系統(tǒng)帶來嚴(yán)重的影響。本文利用非脆弱控制理論進(jìn)行跟蹤控制器求解條件的推導(dǎo)，即考慮跟蹤控制器內(nèi)部中存在的擾動(dòng)，利用Lyapunov函數(shù)方法和LMI方法，設(shè)計(jì)跟蹤控制器和觀測器的存在條件，所研究的跟蹤控制器及觀測器綜合采用H∞理論以及非脆弱理論，并通過數(shù)值仿真證明所提出方法可有效實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的跟蹤性能和穩(wěn)定性。

1 問題描述

考慮連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)模型（1），將針對該系統(tǒng)模型進(jìn)行基于狀態(tài)觀測器的跟蹤控制器的設(shè)計(jì)。

考慮參考模型如（2）所示，本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)跟蹤控制器使得y(t)能夠跟蹤yr(t)[6-8]。

實(shí)現(xiàn)跟蹤控制目標(biāo)的同時(shí)需要滿足（3）所示的H∞輸出跟蹤控制性能指標(biāo)[6-8]：

其中，χ(t)=y(t)-yr(t)，δ(t)=[υT(t)rT(t)]T，Q為正定的加權(quán)矩陣，γ為給定的性能衰減指標(biāo)。

為實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)的跟蹤控制問題，選取基于觀測器的跟蹤控制器模型為：

構(gòu)建變量?(t)=[κT(t)xT(t)xT r(t)]T和κ(t)=x(t)-(t)，結(jié)合（1）、 （2）和（4），可構(gòu)建閉環(huán)系統(tǒng)模型（5）：

設(shè)計(jì)的主要任務(wù)是求解計(jì)算非脆弱H∞跟蹤控制器K及觀測器L，使（5）滿足當(dāng)δ(t)=0時(shí)是穩(wěn)定的，同時(shí)存在γ＞0，使得性能指標(biāo)（3）成立。

引理1和引理2將在本文結(jié)論的推導(dǎo)過程中起到重要作用。

引理1[9-11]：對于矩陣不等式條件（6）和不等式條件（7）是等價(jià)的。

引理2[12]：對于給定適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣X=XT,H,E, ΔTΔ≤I，可以得出結(jié)論，存在任意的常數(shù)λ＞0，使其滿足下面的不等式關(guān)系：

2 非脆弱跟蹤器設(shè)計(jì)

利用LMI技術(shù)，推導(dǎo)非脆弱H∞跟蹤控制器的LMI條件，該條件可通過Matlab軟件求解。

定理1 針對閉環(huán)系統(tǒng)模型（5），若存在矩陣G1,J,F,G3,H以及常數(shù)ε1＞0,ε2＞0和γ＞0使得（9）成立：

證明：Lyapunov函數(shù)

由于G＞0，可知ρ(0)=0，且ρ(∞)＞0，因此， （11）成立。

因此，如果（12）成立，那么閉環(huán)系統(tǒng)模型（5）的H∞跟蹤性能就能保證。

將χ(t)和δ(t)的定義代入（12），可得：

如果（14）成立，那么（13）成立。

將引理1應(yīng)用于（14），可得（15）。

3 仿真實(shí)例

為進(jìn)一步證明所設(shè)計(jì)基于觀測器的H∞非脆弱跟蹤控制器設(shè)計(jì)方法的有效性，設(shè)計(jì)仿真實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。選擇系統(tǒng)的系數(shù)陣和外部干擾υ(t)如下：

假定參考模型參數(shù)如下：

使用Matlab軟件的M文件編寫定理中闡述的非脆弱H∞跟蹤控制器的LMI程序，當(dāng)γ2=2.1時(shí)，求解出的跟蹤控制器增益參數(shù)為：

仿真過程中假設(shè)觀測器和跟蹤控制器中的參數(shù)增益不是精確可執(zhí)行的，存在擾動(dòng)的形式為ΔK=[0.1 0.2]*cos(t)*0.6和ΔL=[-0.7 0.01]*cos(t)*0.03。參考輸入信號r(t)選擇兩種形式，形式1為：

形式2為：r(t)=10+sin(0.05t)

對兩種形式分別進(jìn)行仿真。

使用Matlab軟件的Simulink仿真功能進(jìn)行基于觀測器的非脆弱H∞跟蹤控制器的穩(wěn)定性和跟蹤性能的分析，針對兩種不同的參考輸入信號r(t)，可仿真出閉環(huán)系統(tǒng)（5）的輸出狀態(tài)y(t)和參考模型輸出變量yr(t)變化曲線如圖1和圖2所示。可見，所設(shè)計(jì)的跟蹤控制器和觀測器在存在內(nèi)部擾動(dòng)的情況下仍然能夠?qū)崿F(xiàn)對參考信號的跟蹤，且當(dāng)r(t)=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)（5）的輸出狀態(tài)y(t)也為0。因此，閉環(huán)系統(tǒng)（5）同時(shí)滿足了跟蹤控制性能和穩(wěn)定性能，所設(shè)計(jì)的控制器是有效的。

若不進(jìn)行非脆弱控制理論進(jìn)行分析，則當(dāng)跟蹤控制器和狀態(tài)觀測器中存在干擾ΔK和ΔL時(shí)，針對兩種不同的參考輸入信號r(t)，閉環(huán)系統(tǒng)（5）的輸出狀態(tài)y(t)和參考模型輸出變量yr(t)變化曲線如圖3和圖4所示?？梢?，不進(jìn)行非脆弱設(shè)計(jì)，則存在干擾ΔK和ΔL時(shí)，雖然也可以實(shí)現(xiàn)信號的跟蹤，但跟蹤性能不及圖1所示狀態(tài)優(yōu)越，尤其當(dāng)參考輸入信號r(t)為形式2時(shí)，y(t)與yr(t)的幅值與相位偏差均很嚴(yán)重。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)輸出y(t)和參考模型輸出yr(t)響應(yīng)曲線（r(t)為形式1）

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)輸出y(t)和參考模型輸出yr(t)響應(yīng)曲線（r(t)為形式2）

圖3 未進(jìn)行非脆弱設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)輸出y(t)和參考模型輸出yr(t)響應(yīng)曲線（r(t)為形式1）

圖4 未進(jìn)行非脆弱設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)輸出y(t)和參考模型輸出yr(t)響應(yīng)曲線（r(t)為形式2）

針對兩種不同的參考輸入信號r(t)，跟蹤誤差響應(yīng)曲線如圖5和圖6所示，e1為進(jìn)行非脆弱設(shè)計(jì)時(shí)的跟蹤誤差響應(yīng)，e2為未進(jìn)行非脆弱設(shè)計(jì)時(shí)的跟蹤誤差響應(yīng)，可見在任何時(shí)刻e1均比e2更趨近于0，即非脆弱設(shè)計(jì)后的跟蹤誤差小于傳統(tǒng)控制器的跟蹤誤差。因此，可以得出結(jié)論，進(jìn)行非脆弱設(shè)計(jì)后的跟蹤控制系統(tǒng)，其跟蹤控制性能比傳統(tǒng)控制器系統(tǒng)更加優(yōu)越。

圖5 跟蹤誤差響應(yīng)曲線（r(t)為形式1）

圖6 跟蹤誤差響應(yīng)曲線（r(t)為形式2）

4 結(jié) 論

本文構(gòu)建了一種針對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的非脆弱狀態(tài)觀測H∞跟蹤控制器求解方法，采用Lyapunov穩(wěn)定性理論方法，推導(dǎo)實(shí)現(xiàn)跟蹤控制性能的不等式存在條件，通過有效的不等式變換技術(shù)得到了跟蹤控制器的LMI存在條件。該條件可通過Matlab軟件中的LMI Toolbox工具包計(jì)算求解。利用Simulink仿真技術(shù)對所設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，根據(jù)輸出響應(yīng)曲線可以得出結(jié)論：即使當(dāng)觀測器和跟蹤控制器中均存在干擾時(shí)仍然能實(shí)現(xiàn)輸出狀態(tài)的跟蹤性能，且當(dāng)跟蹤參考信號輸入為零時(shí)，系統(tǒng)的輸出收斂于零，因此同時(shí)保證了跟蹤性和穩(wěn)定性。研究將非脆弱設(shè)計(jì)理論引入到跟蹤控制器的應(yīng)用中，增強(qiáng)了理論的應(yīng)用性。