張靖

一.融合課程教學(xué)的現(xiàn)代背景

近十幾年來，隨著改革開放的日益深化，我國的教育、經(jīng)濟(jì)、科技等多方面都取得了突飛猛進(jìn)的進(jìn)展，在實現(xiàn)教育大國崛起的基礎(chǔ)上開始向教育強(qiáng)國邁進(jìn)。除了加強(qiáng)本國的基礎(chǔ)教育和科學(xué)研究，在全球化背景下，教育資源在全世界范圍內(nèi)進(jìn)行著廣泛的流動與重新配置，教育“走出去”與“引進(jìn)來”相結(jié)合，我國的教育國際競爭力不斷增強(qiáng)。截止到2018年底，全國共有國際學(xué)校1309所，平均每所學(xué)校在校生人數(shù)達(dá)392人。2012-2019年以來每年全國新增國際學(xué)校超過40所。同時，預(yù)測國際學(xué)校在未來十年內(nèi)將繼續(xù)保持強(qiáng)勁增長，預(yù)計到2028年全球國際學(xué)?？倲?shù)將超過16000所，在校生將接近1000萬人，分別較2018年同比增長67%和96%。

開展雙語教學(xué)實踐或者引入國外課程本土化教學(xué)是很多國際學(xué)校課程建設(shè)的重點，系統(tǒng)的融合課程更加凸顯了學(xué)校的核心競爭力。近十年來，我校通過雙語教學(xué)實踐，逐漸探索出適合本校學(xué)生雙語教學(xué)的科學(xué)途徑，不僅在整體提升學(xué)生的英語水平及應(yīng)用英語的基本能力上效果顯著，而且在數(shù)學(xué)學(xué)的過程中，注重學(xué)生主動地建構(gòu)知識、應(yīng)用知識，激發(fā)出學(xué)習(xí)的興趣和自信，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)。我校設(shè)有獨特的國際選修課程，為學(xué)生搭建更多跨文化學(xué)習(xí)的平臺。我校初中雙語數(shù)學(xué)選修課程使用的是英國牛津出版社出版的IGCSE教材，高中英美雙語選修課程使用的是PearsonHall出版社出版的Algebra2，英美等國家的數(shù)學(xué)教材往往在內(nèi)容上比國內(nèi)的教材更具有趣味性和實際的生活意義，而且在編寫體例上側(cè)重于知識層面的普及，但不及國內(nèi)的數(shù)學(xué)教材那么嚴(yán)謹(jǐn)和全面。而且非常有限的題庫遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足不了國內(nèi)教師與學(xué)生的需求，也沒有系統(tǒng)的習(xí)題冊。于是我校教師在平時教學(xué)中，通常在國外教材的基礎(chǔ)上與國內(nèi)必修教材進(jìn)行整合，在教學(xué)教法上不斷探究，不僅重視基本知識與技能的培養(yǎng)，在結(jié)合我國學(xué)生強(qiáng)的“運算”、“推理”和“知識結(jié)合程度”能力上，注重培養(yǎng)樂于思考的興趣知識的應(yīng)用能力。

二.融合課程教學(xué)的研究原則

1.前瞻性原則

為實現(xiàn)國家的科技創(chuàng)新，關(guān)鍵在于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。雙語教學(xué)的課堂是中國教育國際化發(fā)展的大趨勢，能夠體現(xiàn)國家加強(qiáng)數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的宏觀發(fā)展與教育改革的現(xiàn)實需要，同時符合相應(yīng)教學(xué)改革的時代要求。數(shù)學(xué)雙語課堂的教學(xué)多以多媒體、圖形計算器等當(dāng)代信息技術(shù)產(chǎn)物為依托，提高學(xué)習(xí)和生活效率，有利于呈現(xiàn)出嶄新的學(xué)習(xí)模式。

2.融合性原則

把國家數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，特別是人教版的七本教材，與國外教材大綱平行比較，整合教材，精心設(shè)計教材內(nèi)容。做到既保留國家課程的核心、主干和精髓，同時融合課程將對國外先進(jìn)國家的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、解題方法、數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)競賽中的優(yōu)秀試題進(jìn)行深度融合。

3.導(dǎo)向性原則

融合課程的最大特點是在夯實國家課程的同時，充分學(xué)習(xí)、借鑒國外優(yōu)秀課程與教學(xué)實踐成果，對其它跨學(xué)科的課程融合具有啟發(fā)和借鑒意義。課程設(shè)置時，教師需充分考慮到每一位學(xué)生的數(shù)學(xué)水平發(fā)展，安排不同層次的例題、練習(xí)，為學(xué)生創(chuàng)造個性化學(xué)習(xí)的機(jī)會，也讓一部分?jǐn)?shù)學(xué)資優(yōu)生能得到盡可能的發(fā)展，體現(xiàn)了教育個性化發(fā)展的理念。

4.目標(biāo)性原則

學(xué)生學(xué)習(xí)融合課程并不一定是為了出國，目前我國越來越多的高校也同樣開設(shè)雙語課程。若學(xué)生在中學(xué)階段已經(jīng)具備運用英語進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的鍛煉，以及獲取知識和信息傳遞的能力，可直接對接國內(nèi)外高校，進(jìn)一步提高綜合競爭力，未來在世界舞臺上做中國文化的傳播弘揚(yáng)者。

三.數(shù)學(xué)融合課程具體教學(xué)案例

展示課一：浙教版九下《銳角三角函數(shù)》Trigonometric functions of acute angles

1.開課背景

銳角三角函數(shù)是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，是在學(xué)生已學(xué)了一次函數(shù)和反比例函數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行的，它反映的是角度與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系。這部分內(nèi)容包括銳角三角函數(shù)的概念，以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的內(nèi)容?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)中》提到能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際的問題，注重引導(dǎo)學(xué)生在全面掌握直角三角形邊角關(guān)系。感悟模型思想，感受數(shù)學(xué)的價值。

2.教學(xué)設(shè)計

（1）問題引入，設(shè)置情境

教師提問：這些圖片有什么共同點？你們是用什么方法怎么描述不同的斜面的？

What do these pictures have in common？ What do you use to describe a slope？

學(xué)生回答：學(xué)生有的說是角度不同，陡峭程度不同;也有的說是按斜面的長度不同來區(qū)分，也有的學(xué)生提出來用邊與邊的比值。

設(shè)置目的：首先通過一些具體斜坡的圖片，由老師來提出一系列問題。學(xué)生自發(fā)討論，引出斜面問題的研究。讓學(xué)生來提出各種描述斜面的方法，于是有了這節(jié)課將要探討的主要內(nèi)容。

（2）課堂活動，全體參與

活動1：請作出一個Rt△ABC ， 。量出每條邊的長度，完成下列表格后小組討論。

Draw a Rt△ABC ， .Measure each side of the triangle and complete the table， round your answers to the nearest tenth （1 decimal place）.

學(xué)生總結(jié)：各小組內(nèi)成員比較數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)他們得到的直角三角形盡管邊長都不一樣，但是得到的比值卻都是相等的。

設(shè)置目的：注重小組合作，學(xué)生全體參與，由代表總結(jié)發(fā)言。最后由老師幫助歸納總結(jié)邊角關(guān)系，得到角度一定，比值不變的結(jié)論。

教師通過幾何畫板進(jìn)一步演示，分別畫出學(xué)生在剛才課堂活動中可能得出的兩種直角三角形，幫助學(xué)生進(jìn)一步從幾何直觀上感受角度改變，比值改變;角度不變，比值不變。而且無論學(xué)生畫的是哪一種直角三角形，都能得出相同的結(jié)論。從而得到銳角三角函數(shù)的概念，分別得到銳角三角函數(shù)正弦、余弦、正切的定義。

活動2：仍采取小組合作的形式，每小組給出任意的一個直角三角形和各種標(biāo)簽，小組討論后把標(biāo)簽貼到白板上，然后完成銳角三角函數(shù)的計算。Calculatethefollowingvaluesoftrigonometricfunctions.

學(xué)生們在白板上完成如下展示：

設(shè)置目的：各小組成員積極互動，相互配合完成一個直角三角形中兩個銳角的三角函數(shù)值的計算，落實基礎(chǔ)概念，從而達(dá)到人人會算的教學(xué)目的。

（3）回歸生活，知識應(yīng)用

請同學(xué)們各抒己見，怎樣測量學(xué)校鐘樓的高度？

Think About a plan to measure the height of school bell tower？

學(xué)生回答：有學(xué)生提出可以通過影子的測量，只要選擇固定的角度，人的身高和影長的比例與鐘樓的高度和影長的比例是相等的;也有學(xué)生提出拍一張照片，通過比例尺來測量;也有學(xué)生提出其他運用比例的方法測量。

教師總結(jié)：同學(xué)們的想法都非常好，有的也運用到了我們今天所學(xué)的銳角三角函數(shù)的新知識，也有的是根據(jù)我們?nèi)粘５纳罱?jīng)驗得出的方法。不管用哪種方法，可能大家都能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)。

設(shè)置目的：充分體現(xiàn)現(xiàn)行課標(biāo)中提到的“綜合與實踐”的內(nèi)容，學(xué)生自主綜合運用己有的知識與經(jīng)驗，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題。

（4）課后探究，知識外延

一根1m長的梯子AB斜靠在墻上，移動梯子通過測過BC的長度，討論夾角α的正弦值的范圍是多少？A 1 meter ladder AB leans against the wall， find out the range of sinα， cos α and tan α by doing a research.

設(shè)置目的：為之后的銳角三角函數(shù)的函數(shù)值的范圍學(xué)習(xí)作一些鋪墊，是銳角三角函數(shù)學(xué)習(xí)的內(nèi)涵和外延。

3.教學(xué)與反思

從整堂課來看，很好的完成了教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生參與度非常高。與我國的常規(guī)數(shù)學(xué)課堂還是有所差別，沒有難題設(shè)置，課程亮點在于盡可能少的給學(xué)生提供知識層面的幫助，而在于激發(fā)學(xué)生對困難的自主應(yīng)對，通過獨立思考、合作探討等途徑自行尋求答案。不僅達(dá)到中學(xué)教學(xué)的三維目標(biāo)的要求，將基礎(chǔ)知識點充分落實，又不拘泥于做題;注重過程與方法，采取小組討論、合作學(xué)習(xí)的方式;在數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上強(qiáng)調(diào)學(xué)科的趣味性與價值，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。經(jīng)過整節(jié)課的思維鍛煉和語言的運用，學(xué)生們在最后的知識運用環(huán)節(jié)像是用英文做了一場小型的學(xué)術(shù)報告，漂亮的語言將本節(jié)課的知識運用得非常出彩。

展示課二：模擬概率Simulation

1.開課背景

“統(tǒng)計與概率“是與“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“綜合與實踐”并列的四部分內(nèi)容之一。統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析，數(shù)據(jù)是信息的載體，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)。1997年，IBM電腦深藍(lán)戰(zhàn)勝了世界象棋冠軍卡斯帕洛夫，不到20年的時間，2016年3月，AlfaGo成為第一個擊敗人類職業(yè)圍棋選手、第一個戰(zhàn)勝圍棋世界冠軍的人工智能機(jī)器人。機(jī)器在不斷將人類的智能拓寬到新的邊界，我們學(xué)生未來的面對的是人工智能大數(shù)據(jù)的時代，對數(shù)據(jù)分析管理會成為一種核心競爭力。圖形計算器作為一種手持技術(shù)己得到國際及國內(nèi)數(shù)學(xué)教育界普遍的關(guān)注，并和計算機(jī)、網(wǎng)絡(luò)一起成為推動教育改革和教育信息化的主要力量。在美國及其他國家，計算器在數(shù)學(xué)等理科教學(xué)與考試中運用也十分普及。這堂課便是借助圖形計算器完成對概率實驗的模擬。

2.教學(xué)目標(biāo)

（1）在概率定義的基礎(chǔ)上，通過具體試驗進(jìn)一步解釋概率的含義，理解理論概率（theoretical probability）和試驗概率（experimental probability）的區(qū)別;

（2）應(yīng)用圖形計算器設(shè)計不同事件的模擬（simulation）方法。

3.數(shù)學(xué)詞匯

theoretical probability理論概率 experimental probability

outcome 結(jié)果 ?equally likely outcome event等可能事件

mathematical modeling 數(shù)學(xué)建模

4.教學(xué)基本流程

5.教學(xué)設(shè)計

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

教師提出三個問題：

①Have you or your family members bought lottery ticket？

你和家人有沒有買彩票的經(jīng)歷？

②Did you win any money？

你們中過獎么？

③Will you buy again？

你們還會繼續(xù)買嗎？

設(shè)計意圖：提出問題后，引起學(xué)生的思考，引入概率的討論話題，進(jìn)入今天課堂學(xué)習(xí)的概率內(nèi)容。

教師進(jìn)一步提問：Since the probability of number side and flower side in a coin flip are both 0.5， then two flips of a fair coin must be number and flower each once. If the probability of getting any side of a die is 1/6， then if you roll the same die six times， you're going to get each side once.

既然拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為 ，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上;如果拋一枚骰子出現(xiàn)任何一面的概率是 ，那么連續(xù)投一個相同的骰子，一定是每面出現(xiàn)一次，你認(rèn)為這種想法正確嗎？

設(shè)計意圖：通過認(rèn)知沖突，正確理解兩種概率（國內(nèi)是頻率與概率）。

（2）課堂活動，動手試驗

Project 1 ?Flip Coins

Toss a coin 4 times ， record the No. of times you get the flower upside.

Outcomes： Number and flower

連續(xù)四次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，記錄下得到花面朝上的次數(shù)，分組統(tǒng)計各組及全班同學(xué)的試驗。

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生動手做實驗，每個同學(xué)、每小組、全班分別計算試驗概率，得到試驗概率與理論概率進(jìn)行比較。培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)試驗經(jīng)歷，提高總結(jié)歸納的能力，教師總結(jié)介紹大數(shù)定律。

（3）計算機(jī)模擬，替代試驗

Practice：Use simulation to find the following cases

Q1： Simulate flipping a fair coin once.

模擬投一次質(zhì)地均勻的硬幣可能得到的結(jié)果。

Q2： Simulate flipping a fair coin for 10 times.

模擬投質(zhì)地均勻的硬幣十次可能得到的結(jié)果。

Q3： Simulate rolling a die.

模擬搖一次骰子可能得到的結(jié)果。

Q4： There are 3 red， 1 white balls in a box， simulate getting one from it.

箱子里有三個紅球，一個白球，模擬摸出一個球可能得到的結(jié)果。

Q5： There are 6 red， 4 white balls in a box， simulate getting two from it.

箱子里有六個紅球，四個白球，模擬一次摸出兩個球可能得到的結(jié)果。

設(shè)計意圖：采用一些簡單的小練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用計算器模擬，掌握基本方法。初步建模，解決問題。

Project 2 ?Testing

On a multiple-choice test， each item has 4 choices， but only one choice is correct. How can you simulate guessing the answers？ What is the probability that you will pass the test by guessing at least 6 of 10 answers correctly？

一次數(shù)學(xué)考試中有10道選擇題，每題四個選項中正確的答案只有一個，怎么模擬至少能答對6道題的概率？

Enter RandInt（ ?， ?， ?） on a graphing calculator. Press Enter to get 10 outcomes. Define 1 as the correct answer.

On your way to work you must pass 3 widely separated traffic lights which operate independently of each other. The probability that you will be stopped at any one of them is 40%. Use simulation to find the probability that you make it work without stopping， stopping once， twice， at all three lights.

你每天上班會經(jīng)過三個不同的設(shè)有紅綠燈的路口，每個路口會遇到紅燈的概率為40%，怎樣模擬得到三個路口都會停，兩個路口會停，一個路口會停及三個都不會停的概率？

設(shè)計意圖：之前學(xué)生已經(jīng)練習(xí)過計算機(jī)的模擬后，進(jìn)一步通過課題的形式引導(dǎo)學(xué)生自己設(shè)計模擬方法。其中課題2還給了一定的模擬提示，到了課題3涉及非等可能事件，逐步讓學(xué)生自主設(shè)計，培養(yǎng)思維能力，建立數(shù)學(xué)模型，然后模擬計算并與理論值相比較。

（4）概念延伸，總結(jié)本質(zhì)

小結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容，介紹歷史上著名的布豐投針實驗，為下節(jié)課的求幾何概型做些準(zhǔn)備。同時提及布朗運動中蘊(yùn)含著概率的知識，揭示統(tǒng)計在科學(xué)世界的重要性。

6.教學(xué)與反思

對于高中的雙語數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，融入國外課程的意義與教學(xué)方法與初中又有不同。就模擬概率這一部分內(nèi)容而言，國內(nèi)課程要求學(xué)生了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率，而課堂實際教學(xué)中很難進(jìn)行模擬的實驗。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要通過每一節(jié)課的有效學(xué)習(xí)來實現(xiàn)，本堂課通過手持技術(shù)實現(xiàn)了國內(nèi)外教材的融合，讓學(xué)生真正體會到了什么是模擬，幫助學(xué)生更好的理解以及潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。這一堂課也只是手持技術(shù)展示的一小部分，在平時的學(xué)習(xí)過程中學(xué)生一直在接觸圖形計算器。

四.結(jié)語

歷史讓英語成為世界性語言，研究世界本質(zhì)的數(shù)學(xué)也是科學(xué)世界的通用語言。本文介紹了本校國際課程在教材的使用和教學(xué)教法上的具體做法，通過引入國外教材與國內(nèi)教材結(jié)合相互取長補(bǔ)短，不僅用淺顯的語言導(dǎo)入新概念，通俗易懂，逐層深入，而且重視學(xué)科間的交叉，利用現(xiàn)實問題進(jìn)行啟發(fā)教學(xué)。本校的雙語教學(xué)立足本國初高中教學(xué)，旨在讓學(xué)生打牢根基、學(xué)會積累、理解概念原理，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維。同時在思維的訓(xùn)練過程中得到數(shù)學(xué)和英語的雙重經(jīng)驗，雙重提升。與此同時，雙語教學(xué)的進(jìn)一步目標(biāo)是不斷擴(kuò)大視野，把握全球中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的新動態(tài)，弘揚(yáng)我國發(fā)揚(yáng)我國優(yōu)良的數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)，為我國從教育大國邁向教育強(qiáng)國，引領(lǐng)世界的學(xué)科教育做貢獻(xiàn)。

（作者單位：杭州英特外國語學(xué)校）