曹建平，王海東，高富東

(海軍航空大學(xué)青島校區(qū), 山東 青島 266041)

抗眩暈訓(xùn)練是海軍艦艇人員的必備訓(xùn)練科目，目前訓(xùn)練器材局限于滾輪、旋梯及浪木等手動(dòng)式裝置，這些裝置僅能進(jìn)行單方面的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，無法模擬復(fù)雜海況下船舶多方向運(yùn)動(dòng)引起的機(jī)體眩暈感，因此設(shè)計(jì)一種能模擬船舶多自由度運(yùn)動(dòng)的訓(xùn)練平臺(tái)非常必要?？紤]到承載能力和運(yùn)動(dòng)精度，復(fù)雜海況下船舶運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)一般基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，包括六自由度[1]、三自由度[2]、二自由度[3]并聯(lián)機(jī)構(gòu)。人員暈船是由船舶的周期性振蕩引起的，船舶的六自由度運(yùn)動(dòng)中，只有垂蕩、橫搖和縱搖運(yùn)動(dòng)是純粹的振蕩運(yùn)動(dòng)，因此三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)更適用于抗眩暈訓(xùn)練。

靈巧度是衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入與輸出運(yùn)動(dòng)之間傳遞精度和評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的重要指標(biāo)[4]，眾多學(xué)者以靈巧度為指標(biāo)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。針對(duì)單一指標(biāo)評(píng)定靈巧度的局限性，陳修龍等[5]定義了一種能綜合評(píng)價(jià)不同位形下并聯(lián)機(jī)構(gòu)靈巧度的指標(biāo)——平方平均靈巧度系數(shù)。于凌濤等[6]提出了全域空間條件數(shù)均值與全域空間條件數(shù)波動(dòng)值的綜合靈巧度指標(biāo)。作為優(yōu)化問題評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)，靈巧度必須考慮全域范圍的值，在定義全域值時(shí)一般都是基于工作空間計(jì)算，而三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間較小，因此還應(yīng)考慮可達(dá)工作空間每個(gè)位置所有姿態(tài)下的復(fù)合靈巧度，這樣的評(píng)價(jià)對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)更具有指導(dǎo)意義。

在優(yōu)化設(shè)計(jì)算法方面，馬致遠(yuǎn)等[7]采用差分進(jìn)化算法對(duì)一種三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，魯凱等[8]采用遺傳算法對(duì)8-SPU并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行優(yōu)化，Cahill等[9]對(duì)二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)提出了一種幾何代數(shù)方法。Wang 等[10]利用多目標(biāo)粒子群(MOPSO)算法對(duì)平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。人工蜂群算法(artificial bee colony，ABC)是Karaboga等[11]于2005年提出來的一種群智能全局優(yōu)化算法，可應(yīng)用于多種工程優(yōu)化問題，但目前在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面應(yīng)用不多。

本文設(shè)計(jì)了一種新的用于抗眩暈訓(xùn)練的2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，給出位置反解和運(yùn)動(dòng)速度雅克比矩陣，證明了該機(jī)構(gòu)的線速度條件數(shù)恒為1，為衡量角速度的靈巧度，提出了離散型全姿態(tài)空間條件數(shù)指標(biāo)，并以此指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，采用人工蜂群算法對(duì)2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。

1 2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)

1.1 機(jī)構(gòu)描述

如圖1所示，并聯(lián)機(jī)構(gòu)包括動(dòng)平臺(tái)B1B2B3和固定平臺(tái)A1A2A3，動(dòng)平臺(tái)B1B2B3通過2個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同的無約束主動(dòng)支鏈AiBi(i=1,2)和1個(gè)恰約束主動(dòng)支鏈A3B3與固定平臺(tái)A1A2A3連接。動(dòng)平臺(tái)B1B2B3和固定平臺(tái)A1A2A3分別呈等腰直角三角形。恰約束主動(dòng)支鏈A3B3一端通過萬向鉸B3與動(dòng)平臺(tái)B1B2B3相連接，另一端與固定平臺(tái)A1A2A3固定連接，用來限制動(dòng)平臺(tái)的搖艏、橫蕩和縱蕩運(yùn)動(dòng)。無約束主動(dòng)支鏈A1B1和A2B2一端通過萬向鉸B1和B2與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)B1B2B3相連，另一端通過球鉸A1和A2與固定平臺(tái)A1A2A3相連，當(dāng)移動(dòng)副L1，L2和L3伸縮時(shí)可以使動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)既定的橫搖、縱搖和垂蕩運(yùn)動(dòng)。

圖1 2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.2 位置反解

當(dāng)已知機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)時(shí),求解機(jī)構(gòu)主動(dòng)件的位置稱為位置反解。建立如圖1所示的坐標(biāo)系，設(shè)R：OXYZ為固定在固定平臺(tái)上的基礎(chǔ)坐標(biāo)系，R′：oxyz為固定在動(dòng)平臺(tái)上的動(dòng)坐標(biāo)系，動(dòng)平臺(tái)A1A2A3和固定平臺(tái)B1B2B3邊長(zhǎng)分別為r和R。Ai(i=1,2,3)為點(diǎn)Ai的位矢，Bi(i=1,2,3)為點(diǎn)Bi的位矢，φ為矢量A3B3與固定平臺(tái)的夾角，θ為矢量A3B3在固定平臺(tái)的投影與矢量A1A2的夾角。下文約定c、s、ct分別表示cos、sin和ctan。

運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)B3(o)在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下表示為：

(1)

式中：z為位矢B3相對(duì)于固定平臺(tái)B1B2B3的垂線高度。

位矢Ai在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下表示為：

(2)

位矢Bi在動(dòng)坐標(biāo)系下表示為：

(3)

則位矢Bi在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下表示為：

(4)

其中：

式中：T為動(dòng)坐標(biāo)系R′與固定坐標(biāo)系R的坐標(biāo)變換矩陣；α，β為動(dòng)平臺(tái)繞萬向鉸鏈兩個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的姿態(tài)角。

將式(1)、(2)代入式(4)可得位矢Bi在基礎(chǔ)坐標(biāo)系R：OXYZ下的坐標(biāo)為：

(5)

設(shè)機(jī)構(gòu)3個(gè)移動(dòng)副長(zhǎng)度為li(i=1,2,3)，則有：

(6)

將式(5)代入式(6)中并展開，可得：

(7)

由式(7)可進(jìn)一步求解：

(8)

式(8)即為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解方程。

1.3 速度分析

設(shè)q為動(dòng)平臺(tái)輸出速度向量，p為各支鏈的輸入速度向量，且有：

(9)

(10)

則并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度約束方程寫成：

Aq=Bp

(11)

式中：A和B為3×3矩陣。則式(11)可進(jìn)一步寫成：

q=Jp

(12)

式中：J為速度雅可比矩陣。

J=A-1B

(13)

對(duì)式(8)進(jìn)一步求導(dǎo)整理可得2PUS-U并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的速度方程：

(14)

整理后矩陣A和B可以表示為：

(15)

(16)

式中：

M=Rsβ-zcβ-zctφcθsβ，

N=z-rsβ+rctφcθcβ-Rctφcθ+zct2φ，

P=Rsα+zcαcβ-zsαctφsθ+zctφcθcαsβ，

Q=z+rsαcβ+rctφsθcα-Rctφsθ+zct2φ+rctφcθsαsβ。

根據(jù)式(13)可求出速度雅可比矩陣J，可知J與R，r，φ，θ，α，β和z有關(guān)，其中R，r，φ，θ是2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)，α，β和z是動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)參數(shù)。

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

2.1 靈巧度評(píng)價(jià)指標(biāo)

評(píng)價(jià)靈巧度的指標(biāo)一般包括可操作度和條件數(shù)，利用可操作度評(píng)價(jià)存在一定的缺陷[12]，因此本文采用雅可比矩陣的條件數(shù)作為評(píng)價(jià)2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)靈巧度的指標(biāo)。雅可比矩陣條件數(shù)可表示為：

k=‖J‖‖J-1‖

(17)

式中：k為雅可比矩陣條件數(shù)，1≤k<∞。

如果速度雅可比矩陣的條件數(shù)較大，則該矩陣的逆矩陣J-1精度較低，此時(shí)利用式(13)求驅(qū)動(dòng)器輸入速度時(shí)，會(huì)使輸入和輸出速度之間的傳遞關(guān)系嚴(yán)重失真，另外驅(qū)動(dòng)器的輸入速度的微小偏差將會(huì)導(dǎo)致并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出速度出現(xiàn)較大偏差，因此在進(jìn)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該使得該機(jī)構(gòu)速度雅可比矩陣的條件數(shù)在其操作范圍內(nèi)盡量為較小的值。當(dāng)k=1時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有最佳的運(yùn)動(dòng)傳遞性能，此時(shí)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)的這一形位為運(yùn)動(dòng)學(xué)各向同性。當(dāng)雅可比矩陣條件數(shù)為無窮大時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于奇異形位，因此雅可比矩陣條件數(shù)可用來度量并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈巧度。

2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出速度向量中同時(shí)存在線速度和角速度，即有：

(18)

式中：ν為動(dòng)平臺(tái)的線速度向量；ω為動(dòng)平臺(tái)的角速度向量。由于ν和ω具有不同的量綱，利用雅可比矩陣J的條件數(shù)評(píng)價(jià)靈巧度不夠準(zhǔn)確，因此式(18)可以改寫為如下形式：

(19)

式中：Jω，Jν分別為角速度和線速度雅可比矩陣。則Jω與Jν的條件數(shù)可定義為：

(20)

(21)

可以證明，對(duì)于2UPS-PU型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其kJν值恒為1，證明如下。

證明：

由式(9)～(12)，可知：

(22)

由于在2UPS-PU型并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，φ值不可能取0，因此：

(23)

因此矩陣Jν是行滿秩矩陣，其廣義逆為：

(24)

將式(22)代入式(24)后，可得：

(25)

則可得：

(26)

證畢。

由此可知，2UPS-PU型并聯(lián)機(jī)構(gòu)在線速度上是各向同性的，因此在優(yōu)化上應(yīng)使角速度條件數(shù)kJω盡量靠近1。單個(gè)kJω值是對(duì)應(yīng)于動(dòng)平臺(tái)特定位置的，不能用來衡量整個(gè)運(yùn)動(dòng)空間的靈巧度，為此Gosselin等[13]定義了全條件性指標(biāo)ηJω，用以評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)在可達(dá)工作空間的角速度靈巧度：

(27)

式中：ηJω為機(jī)器人的角速度全條件性指標(biāo),0≤ηJω≤1；W為動(dòng)平臺(tái)的可達(dá)工作空間。事實(shí)上式(27)的數(shù)學(xué)意義是雅可比矩陣的條件數(shù)kJω的倒數(shù)在可達(dá)工作空間上的平均值。ηJω值越大，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈巧度和控制精度越高。由于ηJω的精確解獲取很困難，因此Pusey[14]定義了離散型全域條件數(shù)：

(28)

上述定義都是面向可達(dá)工作空間的，但實(shí)際上2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間比較小，以圖1中動(dòng)平臺(tái)參考系原點(diǎn)o為參考點(diǎn)，其可達(dá)工作空間為一條線段，長(zhǎng)度由移動(dòng)副L3的桿長(zhǎng)限制。因此為了全面衡量機(jī)構(gòu)的角速度條件數(shù)，還應(yīng)考慮每一個(gè)可達(dá)位置上點(diǎn)的姿態(tài)，為此需要在全姿態(tài)空間[15]上進(jìn)行定義。

(29)

式中：wp為姿態(tài)空間上點(diǎn)的數(shù)目；分子為姿態(tài)空間網(wǎng)格中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的條件數(shù)的倒數(shù)之和。

2.2 數(shù)學(xué)模型

(30)

式中:Lmin≤Li≤Lmax(i=1,2,3)表示桿長(zhǎng)限制;θHi≤θH max i(i=1,2,3)表示虎克鉸限制;θSi≤θS max i(i=1,2)表示球鉸限制。

3 基于人工蜂群算法的優(yōu)化

3.1 人工蜂群算法

人工蜂群算法仿生蜜蜂群體采蜜時(shí)各個(gè)蜂種之間的配合，以找到最優(yōu)采蜜位置。該算法控制參數(shù)少，全局尋優(yōu)性好，收斂速度快，具有非常好的優(yōu)化搜索特性，可以有效解決實(shí)際工程問題。

人工蜂群算法的搜索模型包括蜜源、引領(lǐng)蜂、跟隨蜂和偵查蜂。其中，蜜源代表問題的可行解；引領(lǐng)蜂與蜜源一一對(duì)應(yīng)，用來存儲(chǔ)蜜源的相關(guān)信息，并將這些信息以一定的概率與其他蜜蜂分享；跟隨蜂與引領(lǐng)蜂分享相關(guān)信息進(jìn)行局部搜索找到新蜜源；搜索一定次數(shù)找不到更好的蜜源后，由偵查蜂進(jìn)行隨機(jī)全局搜索找到新蜜源，以跳出局部最優(yōu)值。算法的具體步驟如下[16]：

Step1，初始化算法的基本參數(shù)(問題維數(shù)D、最大迭代次數(shù)ItMax、蜜源數(shù)目nPop、丟棄限度L，按照式(31)為每一個(gè)蜜源設(shè)置隨機(jī)值：

Xi,j=Xmin,j+r(Xmax,j-Xmin,j)

(31)

式中：Xi,j為第i個(gè)蜜源代表的可行解中的第j維值，即原蜜源，其中i=1,…,nPop，j=1,…,D；Xmin,j，Xmax,j分別為第j維值的下限和上限；r表示[0,1]的隨機(jī)值。

Step2，每一個(gè)引領(lǐng)蜂對(duì)相應(yīng)的蜜源隨機(jī)選擇除本身以外的另一個(gè)蜜源，按照如下公式計(jì)算新蜜源的位置：

Vi,j=Xi,j+φi,j(Xi,j-Xk,j)

(32)

式中：Vi,j為新蜜源；Xk,j為隨機(jī)選擇的蜜源；φi,j表示[-1,1]范圍內(nèi)的隨機(jī)值。用新蜜源的適應(yīng)度值與原蜜源的適應(yīng)度值比較，如果大于則更新，否則計(jì)數(shù)加1；

Step3，每一個(gè)跟隨蜂按照輪盤賭法選擇一個(gè)蜜源，再隨機(jī)選擇一個(gè)除本身以外的蜜源，按照式(32)局部搜索新蜜源，計(jì)算新蜜源的適應(yīng)度值，如果大于原蜜源適應(yīng)度值則更新，否則計(jì)數(shù)加1；

Step4，偵查蜂檢測(cè)每個(gè)蜜源的更新計(jì)數(shù)，如果連續(xù)L次沒有得到更新則拋棄蜜源在全局重新搜索；

Step5，記錄一次迭代找到的最優(yōu)蜜源，比較是否達(dá)到終止條件，如果達(dá)到則輸出最優(yōu)值，否則回到Step2。

將上述過程利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，并在MATLAB R2012平臺(tái)上進(jìn)行計(jì)算。

3.2 適應(yīng)度函數(shù)

對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的關(guān)鍵是制定適應(yīng)度函數(shù)。按照上文給定的數(shù)學(xué)模型，給出適應(yīng)度函數(shù)的算法。

算法1，并聯(lián)機(jī)構(gòu)在姿態(tài)空間的適應(yīng)度值。

輸入：并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)X=[R,r,φ,θ]。

步驟：

1)初始化。

{給出動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)定義域范圍[αmin,αmax]，[βmin,βmax]，[zmin,zmax]，桿長(zhǎng)限制范圍[Lmin,Lmax]，胡克鉸最大轉(zhuǎn)角，球鉸最大轉(zhuǎn)角，隨機(jī)搜索點(diǎn)數(shù)N1,并將計(jì)數(shù)器N2初始化為0}；

2)采用蒙特卡洛方法在動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)定義域{[αmin,αmax]，[βmin,βmax]，[zmin,zmax]}內(nèi)隨機(jī)搜索N1個(gè)點(diǎn)；

3)For(i=1;i<=N1;i++)do

{

判斷是否符合桿長(zhǎng)和最大轉(zhuǎn)角限制；

如果符合則

{

N2=N2+1；

計(jì)算該點(diǎn)的角速度條件數(shù)kJω；

}

}

將上述過程也用MATLAB編程，作為人工蜂群算法的適應(yīng)度函數(shù)。

3.3 優(yōu)化結(jié)果

2UPS-PU型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)約束設(shè)置見表1。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍

人工蜂群算法初始參數(shù)設(shè)置如下：D=4，ItMax=100，nPop=20，L=5。

按照上述設(shè)置，得到如圖2所示優(yōu)化迭代過程。

圖2 優(yōu)化迭代過程

4 優(yōu)化結(jié)果分析

圖3 z=780 mm平面角速度條件數(shù)分布對(duì)比

圖4 z=850 mm平面角速度條件數(shù)分布對(duì)比

圖5 z=1 200 mm平面角速度條件數(shù)分布對(duì)比

5 結(jié)論

本文對(duì)一種少自由度2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)以角速度離散型全姿態(tài)空間條件數(shù)為指標(biāo)采用人工蜂群算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了以下結(jié)論：

1)優(yōu)化后2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在動(dòng)平臺(tái)的全姿態(tài)空間內(nèi)靈巧度顯著改善，避免了運(yùn)動(dòng)傳遞過程中的失真現(xiàn)象，為抗眩暈訓(xùn)練裝置物理樣機(jī)的設(shè)計(jì)和制造提供了理論和技術(shù)支持；

2)角速度離散型全姿態(tài)空間條件數(shù)的評(píng)價(jià)指標(biāo)考慮到并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間每一點(diǎn)的所有姿態(tài)，計(jì)算量小，為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈巧度優(yōu)化提供了有效的評(píng)價(jià)指標(biāo)；

3)人工蜂群算法適用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，全局搜索能力強(qiáng)，收斂速度快。