袁海良，邱 俊，王 智，王德倫

(大連理工大學(xué)機械工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024)

作為風(fēng)力發(fā)電機組的核心部件，主軸傳動系統(tǒng)軸承的性能直接影響軸系的安全性、穩(wěn)定性。設(shè)計軸承的過程中，評價指標(biāo)不同會導(dǎo)致軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)的差異。目前，軸承結(jié)構(gòu)設(shè)計的效率低、周期長，如何改進軸承的設(shè)計方法成為提高軸承結(jié)構(gòu)設(shè)計效率的關(guān)鍵。

近年來國內(nèi)外學(xué)者對軸承的優(yōu)化設(shè)計均做了相關(guān)的研究。文獻(xiàn)[1]通過ISIGHT與MATLAB軟件的聯(lián)合運用完成雙列圓錐滾子軸承(DTRB)的優(yōu)化設(shè)計；文獻(xiàn)[2]將改進的自適應(yīng)遺傳算法應(yīng)用于圓錐滾子軸承的優(yōu)化設(shè)計；文獻(xiàn)[3]基于遺傳算法進行了雙列圓錐滾子軸承的優(yōu)化設(shè)計；文獻(xiàn)[4]綜合研究了雙列圓錐滾子軸承的受力及潤滑狀況；文獻(xiàn)[5]在實驗數(shù)據(jù)和理論模型的基礎(chǔ)上，將有限元法與多響應(yīng)面優(yōu)化相結(jié)合，尋找到雙列圓錐滾子軸承的最佳運行工況；文獻(xiàn)[6]基于FEM(finite element method)與RSM(response surface methodology)對圓柱滾子軸承(CRB)進行優(yōu)化設(shè)計；文獻(xiàn)[7]借助MATLAB的fmincon命令完成圓柱滾子軸承的優(yōu)化設(shè)計；文獻(xiàn)[8]運用遺傳算法完成了圓柱滾子軸承的優(yōu)化設(shè)計；文獻(xiàn)[9]運用人工蜂群算法完成了圓柱滾子軸承的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。當(dāng)前的研究方法多數(shù)只考慮單目標(biāo)優(yōu)化，且未綜合考慮軸系中的全部軸承。為此，本文以某型號雙饋式風(fēng)電機組的軸系為例，在綜合考慮全部軸承的基礎(chǔ)上，建立其優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，借助MATLAB實現(xiàn)軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。

1 結(jié)構(gòu)式與力學(xué)模型

風(fēng)機主軸系有各種不同的結(jié)構(gòu)[10]，如圖1所示為雙饋式機型中典型的軸系結(jié)構(gòu)，雙列圓錐滾子軸承與圓柱滾子軸承構(gòu)成載荷支點，支撐轉(zhuǎn)軸從而構(gòu)成軸系，轉(zhuǎn)軸的法蘭與風(fēng)機輪轂連接，載荷由輪轂傳遞至軸系。

圖1 典型軸系結(jié)構(gòu)示意圖

主軸與齒輪箱之間通常采用柔性連接，抽象簡化出的軸系力學(xué)模型如圖2所示，圖中O點為法蘭載荷作用點，其坐標(biāo)系參考GL規(guī)范[11]要求，O1和O2為軸承載荷點，L1和L2為各載荷點之間的距離；Mxm,Mym,Mzm,Fxm,Fym,Fzm為外載荷，F(xiàn)x1,Fy1,Fz1為O1支點的載荷，F(xiàn)x2,Fy2,Fz2為O2支點的載荷。

圖2 軸系力學(xué)模型圖

將空間力系轉(zhuǎn)化為Oxy與Oxz平面力系，以O(shè)點為坐標(biāo)原點，得到平面內(nèi)O1和O2點的載荷。

在Oxy平面內(nèi)FOxy為：

(1)

在Oxz平面內(nèi)FOxz為：

(2)

由此得到O1點與O2點軸承的徑向力為：

(3)

式中：FO1與FO2分別為O1,O2點的載荷。

對于軸向力，當(dāng)O1支點為DTRB時，F(xiàn)x1=Fxm,Fx2=0；當(dāng)O1支點為CRB時，F(xiàn)x1=0,Fx2=Fxm。根據(jù)以上力學(xué)分析，得到軸承承受的載荷FB為：

(4)

式中：Ftd,Ftr分別為DTRB的軸向力與徑向力；Fcd,Fcr分別為CRB的軸向力與徑向力；A為2×2階矩陣，當(dāng)A為單位對角矩陣時，表示O1支點為DTRB，當(dāng)A為單位反對角矩陣時，表示O1支點為CRB。

2 優(yōu)化模型

軸承的體積、壽命均為評價軸承設(shè)計結(jié)果的指標(biāo)，體積反映了生產(chǎn)軸承所消耗材料的量，壽命反映了軸承運行時間的長短。

在軸承中，套圈與滾子存在配合關(guān)系，因此其尺寸參數(shù)之間相互制約。將尺寸變量分為自變量與相關(guān)變量，套圈內(nèi)外徑、厚度等參數(shù)在設(shè)計時可以在一定的范圍內(nèi)變動，則這些尺寸參數(shù)為自變量；滾子直徑、長度等參數(shù)可以根據(jù)套圈等的尺寸得到，則這些尺寸參數(shù)為相關(guān)變量。

優(yōu)化模型需要確定5個方面的問題：目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)、優(yōu)化變量、優(yōu)化算法以及結(jié)束準(zhǔn)則。

建立目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)時，為了避免軸承相同參數(shù)表達(dá)的冗余，以下角標(biāo)i表示軸承類型，i=c,t，其中c表示CRB，t表示DTRB。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)化模型中的核心內(nèi)容，需要清晰而又準(zhǔn)確地建立?？紤]到DTRB結(jié)構(gòu)的對稱性，以單列軸承為基礎(chǔ)進行分析，圖3所示為軸承結(jié)構(gòu)示意圖。

圖3 軸承結(jié)構(gòu)示意圖

1)軸承體積。

軸承的體積越小，生產(chǎn)時消耗的材料越少，因此可以選擇軸承體積作為優(yōu)化目標(biāo)。對于體積函數(shù)，尺寸變量在定義域內(nèi)的迭代變化必然引起函數(shù)值的改變，函數(shù)值的減小意味著軸承體積減小。

軸承體積VA為CRB與 DTRB體積的代數(shù)和：

VA=Vio+Vii+ViR

(5)

式中：Vio為外套圈體積；Vii為內(nèi)套圈體積；ViR為滾子體積。

2)軸承壽命。

在軸承設(shè)計中，壽命是評判軸承的重要標(biāo)準(zhǔn)，壽命值越大，則軸承可運轉(zhuǎn)時間越長，因此可以選擇軸承壽命作為優(yōu)化目標(biāo)。軸承壽命與其結(jié)構(gòu)尺寸之間的關(guān)系為非線性關(guān)系，尺寸變量在定義域內(nèi)的迭代變化必然引起函數(shù)值的改變，函數(shù)值的增大意味著軸承壽命延長。

根據(jù)ISO281標(biāo)準(zhǔn)[12]，軸承修正壽命Lim表示為：

(6)

式中：Ci為基本額定動載荷；Pi為當(dāng)量動載荷；αi1為可靠度壽命修正系數(shù)；αiISO為壽命修正系數(shù)。

由于CRB、DTRB的結(jié)構(gòu)與承受載荷的差異，一般情況下兩個軸承的壽命并不能保證相同，因此軸承壽命LA以其中最小者為準(zhǔn)：

LA=min(Lcm,Ltm)

(7)

2.2 約束函數(shù)

軸承的結(jié)構(gòu)尺寸必須保證軸承工作時運轉(zhuǎn)順暢，各部分之間不存在干涉，同時為了確保工作時機組的安全性，軸承需要滿足相應(yīng)的性能要求。

考慮軸系的裝配關(guān)系，O2處軸承內(nèi)徑必須小于O1處軸承內(nèi)徑：

Ψcdc+Ψtdt≤0

(8)

式中：Ψc,Ψt為控制O1,O2處軸承內(nèi)徑關(guān)系的系數(shù)，且[Ψc,Ψt]=A[1,-ξ]T，ξ∈(0,1)。

對于風(fēng)電機組的CRB，內(nèi)圈厚度Cc與外圈厚度Bc一般相同：

Cc-Bc=0

(9)

對于風(fēng)電機組的DTRB，根據(jù)滾子與套圈的配合關(guān)系，可以得到：

(Bt-a0-a1)cosα+(Ct-C2-C3)cos(α-2φ)=0

(10)

式中各參數(shù)的含義如圖3所示。

軸承結(jié)構(gòu)既要保證滾子不碰撞，又要避免滾子分布過于稀疏，因此根據(jù)滾子分布的幾何關(guān)系可得：

(11)

式中：Zi為滾子個數(shù)；Diwe為滾子直徑；Dipw為滾子節(jié)圓直徑；kmin,kmax分別為滾子分布系數(shù)的最小值和最大值。

為了保證滾子外形的協(xié)調(diào)，滾子直徑與滾子和軸承滾道的有效接觸長度之間需要滿足：

Ψmin≤Diwe/Liwe≤Ψmax

(12)

式中：Ψmin,Ψmax為比例系數(shù)的最小值和最大值；Liwe為滾子接觸長度。

根據(jù)赫茲接觸理論，軸承滾子的接觸應(yīng)力σi可表示為[13-15]：

(13)

式中：Qimax為軸承的最大接觸載荷；E1,E2分別為滾子和套圈的彈性模量；ν1,ν2分別為滾子和套圈的泊松比；Ri1,Ri2分別為滾子和滾道的半徑。

為了避免滾子與滾道之間接觸應(yīng)力過大而損壞軸承，需要保證接觸應(yīng)力小于等于其許用值：

σi-[σi]≤0

(14)

式中：[σi]為接觸應(yīng)力許用值。

根據(jù)德國勞埃德船級社風(fēng)力發(fā)電機組認(rèn)證規(guī)范(GL認(rèn)證)，風(fēng)機軸承設(shè)計壽命至少20 a[12]，因此設(shè)計軸承時必須將其壽命作為約束條件。當(dāng)選擇壽命為優(yōu)化目標(biāo)時，表示在滿足許用要求的條件下，壽命最長。

[LA]-LA≤0

(15)

式中：[LA]為壽命許用值。

2.3 設(shè)計變量

設(shè)計變量是求解優(yōu)化模型過程中需要優(yōu)化的參數(shù)。由于結(jié)構(gòu)尺寸變量中的自變量能夠引起相關(guān)變量的改變，因此將自變量選定為設(shè)計變量。

對于CRB，內(nèi)徑(dc)、外徑(Dc)、內(nèi)套圈寬度(Tci)、外套圈寬度(Tco)及滾子個數(shù)(Zc)能夠確定CRB的其他尺寸變量，因此將這些參數(shù)作為自變量。

對于DTRB，內(nèi)徑(dt)、外徑(Dt)、單列內(nèi)套圈寬度(Bt)、單列外套圈寬度(Ct)、接觸角(α)、錐角(φ)及滾子個數(shù)(Zt)能夠確定DTRB的其他尺寸變量，因此將這些參數(shù)作為自變量。

綜上，設(shè)計變量X為：

X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12]=[dc,Dc,Tci,Tco,Zc,dt,Dt,Bt,Ct,α,φ,Zt]

(16)

對于工程類問題，設(shè)計過程中需要考慮尺寸參數(shù)的范圍。DTRB的接觸角一般為25°左右，因此其定義域為α∈[20°,30°]；取DTRB錐角的定義域為φ∈[1°,4°]；其他變量均為結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，取值范圍均為大于0，計算時可依據(jù)外載荷預(yù)估給定。

2.4 算法與初始值

優(yōu)化算法選擇的依據(jù)是優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的類型。本文首先采用目標(biāo)達(dá)到法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問題，然后采用單目標(biāo)優(yōu)化方法進行求解。多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換后的數(shù)學(xué)模型為：

(17)

顯然優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為非線性約束優(yōu)化問題，序列二次規(guī)劃法(SQP)是求解此類問題的有效方法，因此本文選擇此方法。

一般情況下，目標(biāo)函數(shù)具有多個局部最優(yōu)解，當(dāng)初始值位于最優(yōu)解附近時，迭代就能夠收斂。但是在計算時很難直接將初始點設(shè)置于最優(yōu)解附近，因此本文中依據(jù)變量的范圍隨機生成初始值。

2.5 結(jié)束條件

算法需要滿足設(shè)定的結(jié)束條件才可以停止迭代。選取以下條件，當(dāng)?shù)鷿M足任一條件時，算法迭代即停止。

條件1：相鄰冪次兩個變量迭代結(jié)果之間的距離滿足允許精度，即

‖Xk+1-Xk‖≤ε1

(18)

式中：Xk+1與Xk為相鄰冪次兩個變量迭代值；ε1為允許精度。

條件2：函數(shù)在迭代點處的方向?qū)?shù)滿足允許精度，即

(19)

3 算例分析

已知某型號主軸軸承的設(shè)計參數(shù)，見表1，要求根據(jù)表中的參數(shù)設(shè)計出軸承結(jié)構(gòu)。

表1 軸承設(shè)計參數(shù)

依據(jù)定義域設(shè)置變量的范圍，見表2。

表2 變量范圍

一般情況下，優(yōu)化目標(biāo)不同則優(yōu)化結(jié)果不同，分別對單目標(biāo)與多目標(biāo)進行優(yōu)化。借助于MATLAB進行求解，操作流程如圖4所示。

圖4 操作流程圖

對兩種結(jié)構(gòu)軸系的軸承進行單目標(biāo)優(yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)分別為體積和壽命，迭代計算結(jié)果見表3。由表中的數(shù)據(jù)可知，CRB+DTRB軸系結(jié)構(gòu)優(yōu)于DTRB+CRB軸系結(jié)構(gòu)。

表3 不同結(jié)構(gòu)軸系優(yōu)化結(jié)果

一般在進行多目標(biāo)優(yōu)化時，各個目標(biāo)之間會相互制約，一個目標(biāo)的最優(yōu)是以犧牲其他目標(biāo)為前提，因此多目標(biāo)優(yōu)化不可能使所有的目標(biāo)都得到最優(yōu)值。以DTRB+CRB軸系結(jié)構(gòu)為例，分別進行單目標(biāo)優(yōu)化與多目標(biāo)優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果見表4。

表4 單目標(biāo)與多目標(biāo)評價指標(biāo)結(jié)果

由表4可知，多目標(biāo)優(yōu)化的結(jié)果均介于單目標(biāo)優(yōu)化的結(jié)果之間，表明多目標(biāo)優(yōu)化在迭代計算過程中能夠均衡各個目標(biāo)。

以DTRB+CRB軸系結(jié)構(gòu)為例，分別對DTRB與CRB進行單獨優(yōu)化計算，結(jié)果見表5。

表5 單獨優(yōu)化評價指標(biāo)結(jié)果

對比軸系單獨優(yōu)化與綜合優(yōu)化結(jié)果發(fā)現(xiàn)，壽命結(jié)果相近，且均能夠滿足許用要求；綜合優(yōu)化的體積值優(yōu)于單獨優(yōu)化的值，表明綜合優(yōu)化時算法能夠同時迭代優(yōu)化變量而得到更優(yōu)的結(jié)果。

為驗證使用本文方法得到的軸承的合理性，選取以體積為單目標(biāo)的DTRB+CRB軸系結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果，借助RomaxDesigner進行校核驗算，分別得到極限與疲勞載荷作用下的滾子與滾道的接觸應(yīng)力，如圖5～8所示，圖中數(shù)據(jù)顯示設(shè)計結(jié)果滿足要求。

圖5 DTRB極限載荷接觸應(yīng)力

圖6 CRB極限載荷接觸應(yīng)力

圖7 DTRB疲勞載荷接觸應(yīng)力

圖8 CRB疲勞載荷接觸應(yīng)力

4 結(jié)論

本文建立了某典型風(fēng)機主軸系結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型與優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，在單目標(biāo)優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上，耦合出多目標(biāo)優(yōu)化模型。以某型號風(fēng)電機組為例進行優(yōu)化計算，通過對結(jié)果的分析與驗算得到如下結(jié)論：

1) 軸系設(shè)計時，結(jié)構(gòu)的選擇需要考慮側(cè)重于何種優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)，本文以不同優(yōu)化目標(biāo)進行優(yōu)化得到的最優(yōu)軸系結(jié)構(gòu)均為CRB+DTRB。

2)與單目標(biāo)優(yōu)化相比，多目標(biāo)優(yōu)化不能保證所有優(yōu)化目標(biāo)都能夠達(dá)到最優(yōu)值，但是能夠權(quán)衡考慮各個優(yōu)化目標(biāo)。

3)相比于對DTRB與CRB單獨優(yōu)化，對DTRB與CRB進行整體優(yōu)化能夠綜合考慮兩個軸承而使得結(jié)果更均衡、優(yōu)化目標(biāo)更優(yōu)。

4)運用RomaxDesigner對所設(shè)計的軸承進行驗證，結(jié)果表明軸承設(shè)計結(jié)果是合理的。