黃家杰，劉永強(qiáng)，吳立泉，梁兆文

(華南理工大學(xué) 電力學(xué)院，廣州 510640)

0 引 言

三相鼠籠式感應(yīng)電動(dòng)機(jī)因其成本低、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、堅(jiān)固耐用、速度范圍廣等優(yōu)點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用。利用狀態(tài)監(jiān)測(cè)技術(shù)，監(jiān)測(cè)電機(jī)的早期故障可以在故障擴(kuò)展前及時(shí)發(fā)現(xiàn)并排除故障對(duì)電機(jī)的主要損害。這對(duì)于減少電機(jī)維修次數(shù)和節(jié)省電機(jī)維護(hù)成本有很大幫助。

在所有的感應(yīng)電機(jī)早期故障中，機(jī)械故障包括偏心和軸承故障，占所有故障的60%以上[1]。機(jī)械故障的產(chǎn)生總是伴隨著轉(zhuǎn)子按照特定頻率的徑向振動(dòng)，這種徑向振動(dòng)又會(huì)使得定子電流中產(chǎn)生頻率與之相關(guān)的特征電流。電機(jī)定子電流分析法(以下簡(jiǎn)稱MCSA)就是通過檢測(cè)這種特征電流來實(shí)現(xiàn)感應(yīng)電機(jī)故障診斷的。然而，僅依靠MCSA技術(shù)是無法定量評(píng)估電機(jī)或軸承振動(dòng)的嚴(yán)重程度的。MCSA技術(shù)是一種頻域診斷技術(shù)，因此在幅值方面缺少關(guān)注。這使得MCSA很難根據(jù)已知振幅的特征電流分量進(jìn)行故障判斷和故障評(píng)估。近年來，MCSA的故障判斷主要通過自定義信號(hào)特征或匹配故障模型[2-3]。如何根據(jù)特征電流分量的幅值估算振動(dòng)幅值是解決故障程度評(píng)估問題的關(guān)鍵。

感應(yīng)電機(jī)機(jī)械故障的精確建模可以模擬這兩種幅值的關(guān)系，這也是本文的主要研究方向。感應(yīng)電機(jī)模型可以是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等的數(shù)值模型[4-5]，也可以是利用等效磁路法、繞組函數(shù)法和有限元分析法建立的解析模型[6-7]。根據(jù)現(xiàn)有的研究，利用等效磁路法、繞組函數(shù)法和有限元分析法建立的多回路耦合方程已經(jīng)被用于研究氣隙混合偏心[8-10]。這種建模方法主要是通過改寫氣隙函數(shù)達(dá)到的。改進(jìn)繞組函數(shù)法和有限元分析在計(jì)算電感的過程中考慮了不平衡氣隙對(duì)繞組磁動(dòng)勢(shì)的影響，相比較而言更加準(zhǔn)確。對(duì)于滾動(dòng)軸承局部缺陷的建模，目前的做法是將由滾動(dòng)軸承的局部缺陷產(chǎn)生的振動(dòng)等效為一種瞬時(shí)的氣隙偏心。然后通過狄拉克函數(shù)[11-12]或三角波函數(shù)[13]等描述這種偏心帶來的氣隙變化情況。也可以通過直接求解機(jī)械振動(dòng)方程來得到轉(zhuǎn)子徑向運(yùn)動(dòng)規(guī)律[14]。

然而，現(xiàn)有的這些研究模型更偏重于體現(xiàn)特征電流頻率上的特征，而很少有對(duì)幅值的討論，并且沒有給出一套完整的機(jī)械故障程度定量評(píng)估方法。這導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用中往往只能靠使用者的主觀判斷。

本文研究一種感應(yīng)電機(jī)早期機(jī)械故障下的建模方法及故障度辨識(shí)方法。本文以轉(zhuǎn)子偏心和幾種軸承故障為例，通過對(duì)機(jī)械故障進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子徑向振動(dòng)下的感應(yīng)電機(jī)動(dòng)態(tài)模型。基于此模型，本文提出可以通過優(yōu)化算法，以實(shí)際電機(jī)故障特征電流幅值為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行機(jī)械故障程度的參數(shù)辨識(shí)。而所辨識(shí)的結(jié)果綜合考慮了電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)、故障類型、電源電壓和負(fù)荷水平的影響，可以作為故障判斷的依據(jù)。以粒子群算法為例，本文利用實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證這種方法的有效性。

1 徑向振動(dòng)下的電機(jī)的動(dòng)態(tài)模型

1.1 各類機(jī)械故障下的氣隙變化函數(shù)

理想情況下，轉(zhuǎn)子徑向位置如圖1(a)所示。此時(shí)在以轉(zhuǎn)子中心O點(diǎn)為原點(diǎn)的極坐標(biāo)下，任意θ方向上的電機(jī)氣隙長(zhǎng)度g0為常數(shù)，亦即轉(zhuǎn)子在運(yùn)行過程中僅存在自轉(zhuǎn)，不存在徑向振動(dòng)。

當(dāng)電機(jī)因機(jī)械故障發(fā)生徑向振動(dòng)時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)子徑向位置如圖1(b)所示。除因電機(jī)運(yùn)行的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)外，轉(zhuǎn)子還會(huì)圍繞O點(diǎn)做徑向振動(dòng)。此時(shí)定轉(zhuǎn)子間氣隙距離不再是恒定值g0，而是隨時(shí)間t和空間角坐標(biāo)θ變化的函數(shù)g(t,θ)。選取t=0時(shí)刻最大徑向偏移方向的角坐標(biāo)作為零點(diǎn)[12]，本文總結(jié)出單一典型機(jī)械振動(dòng)下的氣隙變化函數(shù)一般表達(dá)式：

(a)正常

g(θ,t)=g0[1-δ·F(t)cos(θ+mf·2πfrt)]

(1)

式中：g0為電機(jī)平均氣隙長(zhǎng)度；F(t)為故障函數(shù)，表示在不考慮空間變化時(shí)，徑向偏移在時(shí)間上發(fā)生的規(guī)律，具體表達(dá)式由下文討論；mf表示最大偏移點(diǎn)在空間角坐標(biāo)θ上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，與故障類型有關(guān)；δ表示徑向振動(dòng)幅度，數(shù)值上等于徑向振動(dòng)幅值與電機(jī)氣隙長(zhǎng)度之比。

下面需要對(duì)故障函數(shù)F(t)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。對(duì)于轉(zhuǎn)子偏心故障，由于偏心質(zhì)量是一直存在的，因此徑向振動(dòng)也一直存在，故F(t)=1。對(duì)于滾動(dòng)軸承故障，由于裂痕形狀大小各異，無法窮舉，因此不妨選取單一典型的裂痕形狀進(jìn)行描述。實(shí)際應(yīng)用過程中得到的數(shù)據(jù)均可等效為該單一裂痕情況下的故障程度。以滾動(dòng)軸承外圈故障為例，本文選取的其中一種典型裂痕形狀如圖2所示。

圖2 理想軸承外圈故障模型

當(dāng)滾動(dòng)體滾過典型裂痕時(shí)，轉(zhuǎn)子在裂痕對(duì)應(yīng)的角坐標(biāo)方向近似于產(chǎn)生了一段時(shí)間的“偏心”，其持續(xù)時(shí)間與裂痕寬度Lε有關(guān)，徑向最大位移為裂痕深度δg0且假定在故障持續(xù)過程中不變。由此,本文建立一種矩形波故障函數(shù)，如圖3所示。

圖3 單一軸承故障下的矩形波故障函數(shù)

一個(gè)周期內(nèi)故障發(fā)生時(shí)間2ε是自定義的已知量。Tc為不考慮空間變化下故障發(fā)生的時(shí)間周期，其對(duì)應(yīng)的頻率即為機(jī)械振動(dòng)里的軸承故障特征頻率，如表1所示[15]。

表1 軸承故障特征頻率

表1 中，fr為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；DB為滾動(dòng)體直徑；DC為軸承節(jié)徑；N為滾動(dòng)體數(shù)。將故障函數(shù)以機(jī)械故障頻率作為基頻進(jìn)行傅里葉分解，得到：

(2)

本文僅考慮故障函數(shù)F(t)的前兩項(xiàng)。這是因?yàn)樵谡駝?dòng)初期，振動(dòng)幅值與電機(jī)氣隙間隔相比很小，式(2)的高次項(xiàng)含量相對(duì)較低，可以近似忽略[16]。

結(jié)合各類機(jī)械故障下轉(zhuǎn)子徑向運(yùn)動(dòng)情況及故障機(jī)理，式(1)在各故障類型下的表達(dá)式如表2所示。

表2 不同故障類型下的氣隙變化函數(shù)

1.2 機(jī)械振動(dòng)下的等效氣隙磁導(dǎo)率

由式(1)的氣隙變化函數(shù)可求得磁導(dǎo)率表達(dá)式：

(3)

振動(dòng)發(fā)生初期電機(jī)氣隙近似均勻，因此氣隙磁導(dǎo)率在空間角坐標(biāo)系中存在如下規(guī)律：

任意極兩側(cè)相同距離的氣隙長(zhǎng)度近似相等，即：

λ(θ)=λ(-θ)

各個(gè)極的導(dǎo)磁系數(shù)分布近似相等，即：

λ(θ)=λ(π±θ)

對(duì)式(3)磁導(dǎo)率函數(shù)在角坐標(biāo)θ上進(jìn)行二分之一周期下偶函數(shù)的傅里葉展開，可以得到如下磁導(dǎo)率函數(shù)的表達(dá)式：

(4)

將簡(jiǎn)化后的故障函數(shù)F(t)代入式(3)后做上述傅里葉分解，得到式(4)第一項(xiàng)的表達(dá)式：

(5)

綜合上文分析，各系數(shù)在各單一機(jī)械故障下的表達(dá)式如表3所示。

表3 不同故障類型下磁導(dǎo)率函數(shù)中的參數(shù)

傅里葉展開式的第一項(xiàng)已包含單一機(jī)械故障振動(dòng)的全部頻率信息，本文以下分析中僅用到第一項(xiàng)λ0(t)。因?yàn)閮H考慮λ0(t)可以消除自變量角坐標(biāo)θ的影響，此時(shí)的磁導(dǎo)率僅與時(shí)間t有關(guān)，這個(gè)簡(jiǎn)化過程可以物理上描述為將原來的單一機(jī)械故障引起的轉(zhuǎn)子振動(dòng)，等效為轉(zhuǎn)子徑向周期性的膨脹和收縮。

1.3 感應(yīng)電機(jī)動(dòng)態(tài)模型

根據(jù)改進(jìn)繞組函數(shù)理論，感應(yīng)電機(jī)在徑向振動(dòng)下的自感和互感可以用如下式子計(jì)算[17]：

(6)

式中：d為定子內(nèi)徑；l為鐵心長(zhǎng)度；nx(θ)為x相繞組函數(shù)；Ny(θ)為y相改進(jìn)繞組函數(shù)。感應(yīng)電機(jī)多回路耦合模型如式(7)～式(9)所示，由于多回路方程已有不少研究，此處不對(duì)其展開表示。不少學(xué)者直接將改進(jìn)繞組函數(shù)理論應(yīng)用到式(7)～式(9)所表示的感應(yīng)電機(jī)多回路耦合模型中，通過數(shù)值計(jì)算的方法求解出比較精確的結(jié)果[18]。

(7)

(8)

(9)

為了簡(jiǎn)化電感計(jì)算，我們假設(shè)定轉(zhuǎn)子繞組對(duì)稱，任意相繞組產(chǎn)生對(duì)稱分布的磁動(dòng)勢(shì)。根據(jù)式(6)我們可以將各種電感的表達(dá)式寫成傅里葉級(jí)數(shù)的形式，從而消除其中的積分項(xiàng)[19-20]：

定子自感：

k=1,3,5,…

(10)

定子互感：

k=1,3,5,…

(11)

轉(zhuǎn)子自感：

(12)

轉(zhuǎn)子互感：

(13)

定轉(zhuǎn)子間互感：

(14)

式中：w表示相繞組串聯(lián)匝數(shù)；τ表示極距；kws表示定子繞組系數(shù)；kwr表示轉(zhuǎn)子繞組系數(shù)；p表示極對(duì)數(shù)；t表示鐵心長(zhǎng)度；Zr表示轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)；Los表示定子漏電感；Lor表示轉(zhuǎn)子漏電感。這些參數(shù)均可通過查閱電機(jī)手冊(cè)得到。

2 故障度辨識(shí)方法

以偏心故障為例，本文選擇辨識(shí)參數(shù)為偏心度δr、轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電阻rb(端環(huán)電阻可近似忽略)和負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL(正常運(yùn)行下的負(fù)載等效為恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載)。最終辨識(shí)出的偏心度δr可作為感應(yīng)電機(jī)機(jī)械故障程度評(píng)估的依據(jù)。轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電阻rb和負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL對(duì)電機(jī)正常運(yùn)行情況下基波電流的幅值和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的影響敏感，而基波電流的幅值和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速又會(huì)影響仿真結(jié)果中特征電流的頻率和幅值，因此需要將這兩者列入尋優(yōu)變量之中。故障度辨識(shí)方法流程圖如圖4所示。

圖4 故障度辨識(shí)方法流程圖

設(shè)置初始值：偏心度δr為0，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電阻rb為電機(jī)手冊(cè)值，負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL為0。根據(jù)圖4流程圖，將實(shí)際電機(jī)基波電壓作為上述模型的輸入，得出一組輸出量，即定子電流。選擇合適的目標(biāo)函數(shù)，采用優(yōu)化算法尋找使得目標(biāo)函數(shù)值最小的偏心度δr、轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電阻rb和負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL。

目標(biāo)函數(shù)F(δr,rb,TL)可根據(jù)所選取的優(yōu)化算法來定義。目標(biāo)函數(shù)F(δr,rb,TL)可以選擇：

[Ib_real_i-Ib_sim_i(δr,rb,TL)]2

(15)

式中：Im_i代表不同頻率下的第m相電流幅值。對(duì)于偏心故障，可以選取基波頻率f1=50 Hz，特征頻率|f1±kfr|下的電流幅值構(gòu)建該目標(biāo)函數(shù)。fr為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)頻率，k為正整數(shù)。變量約束條件：

(16)

3 實(shí)際電機(jī)故障度辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

本文采用粒子群優(yōu)化算法，對(duì)一臺(tái)380 V,42 A, 22 kW,2極三相鼠籠電機(jī)進(jìn)行故障度辨識(shí)。這臺(tái)電機(jī)型號(hào)為YB-180M-2，是某化工廠汽油泵電機(jī)。電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表4和表5所示。

表4 YB-180M-2電機(jī)參數(shù)

表5 6308C3滾動(dòng)軸承參數(shù)

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖5所示。電壓電流數(shù)據(jù)采樣頻率為8 000 Hz。粒子群算法搜索邏輯已有很多研究，此處不再贅述。

圖5 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖

取單次數(shù)據(jù)集長(zhǎng)度為100 s。粒子群算法加速度常數(shù)c1和c2均取為2.0，迭代次數(shù)100次。收斂誤差為10×10-6。

10次不同數(shù)據(jù)集辨識(shí)結(jié)果平均值:δr=0.004 756，rb=0.095 727 Ω，TL=59.647 252 N·m。

圖6為將辨識(shí)結(jié)果代入式(7)～式(9)中，解得的電機(jī)A相電流時(shí)域波形、基波頻率處的頻譜以及偏心主導(dǎo)頻率f1+fr處的頻譜與實(shí)際電機(jī)相比較的結(jié)果?？梢钥闯觯谀繕?biāo)函數(shù)作用下，幾處關(guān)鍵頻譜點(diǎn)的擬合效果滿足預(yù)先設(shè)定的誤差要求。非關(guān)鍵頻譜點(diǎn)由于實(shí)際數(shù)據(jù)受環(huán)境噪聲、電機(jī)內(nèi)部未知缺陷等影響，其實(shí)際幅值稍大于仿真用的理想振動(dòng)電機(jī)模型，但差值一般不超過0.5 mA。辨識(shí)結(jié)果δr=0.047 56對(duì)應(yīng)的振幅約3.804 8 μm，結(jié)合現(xiàn)有的機(jī)械振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)可知，電機(jī)目前運(yùn)行狀況良好。

(a)時(shí)域波形對(duì)比

轉(zhuǎn)子無徑向振動(dòng)下，由式(10)～式(14)可知，定子相繞組的自互感以及轉(zhuǎn)子相繞組的自互感近似為一恒定值，定轉(zhuǎn)子間相繞組的互感為隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速周期變化的量。圖7為將辨識(shí)結(jié)果代入式(11)和式(14)求得的電感參數(shù)時(shí)變曲線?？梢钥闯?，在徑向振動(dòng)下，各主電感呈現(xiàn)周期性的變化規(guī)律。定子相繞組的自互感(以Mab為例，轉(zhuǎn)子相繞組的自互感同理)不再是一恒定值。定轉(zhuǎn)子間相繞組的互感(以Ma1為例)在原有的周期性基礎(chǔ)上發(fā)生了畸變。

(a)定子相繞組的自互感

根據(jù)上述分析可知，各電感新增的變化頻率是氣隙在時(shí)間及空間上周期變化的結(jié)果，間接地取決于機(jī)械故障的故障類型。由式(5)可知，各主電感周期性波動(dòng)的幅值取決于機(jī)械故障的嚴(yán)重程度。因此在初期機(jī)械故障下，特征電流幅值與故障度有正相關(guān)的關(guān)系。電感高次諧波分量不明顯，k=1所代表電感波動(dòng)基頻占主導(dǎo)位置。若實(shí)際不需要過于精確的計(jì)算結(jié)果，可忽略式(11)～式(14)中的高次分量。

4 結(jié) 語

本文研究了一種感應(yīng)電機(jī)初期機(jī)械故障下的電機(jī)模型及基于此模型下的故障度辨識(shí)方法。這個(gè)模型綜合考慮了電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)、故障類型、電源電壓和負(fù)荷水平對(duì)特征電流幅值的影響。本文以粒子群算法為例，辨識(shí)了一臺(tái)實(shí)際電機(jī)偏心故障度。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，本文的故障度辨識(shí)方法可以有效地縮小搜索范圍，可靠地辨識(shí)出機(jī)械故障嚴(yán)重程度。辨識(shí)結(jié)果與實(shí)際電機(jī)運(yùn)行狀況吻合驗(yàn)證了辨識(shí)方法的合理性。本文研究成果可用于工業(yè)實(shí)際中根據(jù)機(jī)械故障特征電流對(duì)電機(jī)故障程度作定量評(píng)估。