徐大專，胡 超，潘 登，屠偉林

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京，211106）

引 言

雷達(dá)、聲吶和醫(yī)學(xué)成像等目標(biāo)探測系統(tǒng)可以從目標(biāo)回波信號中獲取目標(biāo)的距離、方向和幅度等空間信息，正在國防部門發(fā)揮著重要的作用。雷達(dá)探測的主要任務(wù)是目標(biāo)檢測、參數(shù)估計(jì)和目標(biāo)成像。對于成像雷達(dá)，仍然需要對處理出來的圖像進(jìn)行目標(biāo)檢測，因此，目標(biāo)檢測不僅是雷達(dá)探測的首要環(huán)節(jié)，檢測結(jié)果將對后續(xù)信號處理產(chǎn)生重要影響。

目標(biāo)檢測一直是雷達(dá)信號處理所關(guān)心的主要問題，其性能通常采用虛警概率-檢測概率指標(biāo)體系作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，即在虛警概率恒定條件下，使檢測概率最大化。已經(jīng)證明，在虛警概率-檢測概率指標(biāo)體系下，紐曼-皮爾遜（Neyman-Pearson，NP）準(zhǔn)則是最佳的。因此，NP 準(zhǔn)則在目標(biāo)檢測中一直占有統(tǒng)治地位[1-2]，特別是恒虛警[3-5]條件下，不同應(yīng)用場景最佳檢測器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[6]指出，在復(fù)高斯雜波環(huán)境中最佳檢測器的閾值取決于匹配濾波器的輸出。文獻(xiàn)[7]在高斯噪聲且協(xié)方差未知情況下，采用廣義似然比檢驗(yàn)（Generalized likelihood ratio test, GLRT）檢測分布式目標(biāo)，推導(dǎo)了虛警概率的近似表達(dá)式，有利于設(shè)置GLRT 檢測器的檢測閾值。最近，NP 準(zhǔn)則還用于多輸入多輸出（Multiple input multipe output,MIMO）雷達(dá)或相控陣?yán)走_(dá)[8-10]相關(guān)領(lǐng)域的最佳檢測器設(shè)計(jì)，還有一些研究致力于提高分集增益[11]等。

信息論方法在目標(biāo)檢測領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用。1988 年，Bell 首先將互信息測度用于雷達(dá)系統(tǒng)的波形設(shè)計(jì)[12]，以目標(biāo)沖激響應(yīng)與接收信號之間互信息為測度，Bell 證明了最佳波形設(shè)計(jì)對應(yīng)于信道容量的最優(yōu)功率注水解[13]，該結(jié)論正好與通信系統(tǒng)的最優(yōu)功率分配問題相一致。在Bell 的系統(tǒng)模型中，目標(biāo)的距離信息隱含于沖激響應(yīng)中。由于實(shí)際環(huán)境中目標(biāo)位置是不斷變化的，因此，自適應(yīng)的波形設(shè)計(jì)方法顯得尤為重要。由于Bell 的工作是針對目標(biāo)檢測問題提出來的，其模型并不區(qū)分不同的目標(biāo)，因此，從本質(zhì)上說，Bell 的互信息測度本質(zhì)上是空間信息[14-17]中的散射信息。

2017 年以來，筆者提出了雷達(dá)參數(shù)估計(jì)的空間信息概念[14]，將空間信息定義為接收信號與目標(biāo)距離及散射的聯(lián)合互信息[14-15]，且通過理論推導(dǎo)得到了單目標(biāo)/多目標(biāo)距離信息和給定目標(biāo)位置條件下散射信息的閉合表達(dá)式[15,18]，從而將距離信息和散射信息納入統(tǒng)一定義框架中[19]。最近利用空間信息理論研究了雷達(dá)分辨率[20-21]，在理論上指出超分辨的可能性。目標(biāo)檢測的目的是從雷達(dá)接收信號中判斷觀測區(qū)域是否存在目標(biāo)。那么，目標(biāo)檢測能否用信息論方法進(jìn)行統(tǒng)一描述和刻畫呢？本文通過引入目標(biāo)存在狀態(tài)變量，建立了結(jié)合目標(biāo)檢測與參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)一系統(tǒng)模型。給出探測信息、檢測信息和空間信息的嚴(yán)格定義，并證明探測信息是目標(biāo)檢測信息與已知目標(biāo)存在狀態(tài)的空間信息之和，從理論上解決了探測信息的定量問題，并推導(dǎo)出目標(biāo)匹配和非匹配條件下檢測信息的理論公式。提出了抽樣后驗(yàn)概率檢測方法，這是一種隨機(jī)目標(biāo)檢測方法，其平均檢測性能取決于后驗(yàn)概率分布。在此基礎(chǔ)上，本文證明了目標(biāo)檢測定理，即，檢測信息是可達(dá)的，反之，任何檢測器的經(jīng)驗(yàn)檢測信息不大于檢測信息。

檢測信息作為目標(biāo)檢測領(lǐng)域新的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，不同于虛警概率-檢測概率體系。本文對信息論方法和NP 方法進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，信息論方法的檢測概率小于NP 檢測器，但檢測信息大于NP 檢測器。研究結(jié)果還表明，檢測信息準(zhǔn)則有利于弱小目標(biāo)檢測，具有廣闊的應(yīng)用前景。目標(biāo)檢測的信息理論突破了NP 準(zhǔn)則一統(tǒng)天下的局面，為目標(biāo)檢測的系統(tǒng)理論和設(shè)計(jì)方法開辟了新的方向。

1 目標(biāo)檢測系統(tǒng)模型

設(shè)雷達(dá)發(fā)射波形是帶寬為B/2 的理想低通信號，即ψ ( t )= sinc( Bt )。假設(shè)在觀測區(qū)間內(nèi)可能存在k個(gè)目標(biāo)，那么，雷達(dá)接收的基帶信號為

式中vk∈{0,1} 是表示第k 個(gè)目標(biāo)是否存在的離散變量，vk= 1 表示目標(biāo)存在，vk= 0 表示目標(biāo)不存在。sk表示第k 個(gè)目標(biāo)的散射信號，τk表示第k 個(gè)目標(biāo)產(chǎn)生的時(shí)延，w (t) 是帶寬為B/2 的復(fù)加性高斯白噪聲（Complex additive white Gaussian noise, CAWGN），其實(shí)部和虛部的功率譜密度均為N0/2。

假設(shè)信號能量幾乎全部在觀測區(qū)間內(nèi)，根據(jù)Shannon-Nyquist 采樣定理，以Nyquist 速率對接收信號進(jìn)行采樣，即采樣速率等于B，觀測區(qū)間長度對應(yīng)的采樣時(shí)間為T，則總采樣點(diǎn)數(shù)N = TB，稱為時(shí)間帶寬積。離散形式的接收信號為

式中xk= Bτk表示歸一化時(shí)延，各噪聲樣值之間相互獨(dú)立，其實(shí)部和虛部也相互獨(dú)立，N0指噪聲的功率譜密度，實(shí)部、虛部均為N0/2。

為了描述方便，將式（2）寫成矢量形式

為目標(biāo)存在矢量v = ( v1,v2,…,vK) 的對角化矩陣，U (x) = [ …,u( xk),…] 稱為目標(biāo)位置矩陣，uT( xk)=(…,sinc( n - xk),…) 是第k 個(gè)目標(biāo)的采樣波形。式（3）是含有目標(biāo)存在變量和參數(shù)的系統(tǒng)模型，又稱系統(tǒng)方程，其主要特征是直接在系統(tǒng)方程中引入目標(biāo)存在矢量。

上面的系統(tǒng)模型與普通目標(biāo)檢測系統(tǒng)具有明確的對應(yīng)關(guān)系，即目標(biāo)存在狀態(tài)變量為0 對應(yīng)于假設(shè)檢驗(yàn)H0，存在狀態(tài)變量為1 對應(yīng)于假設(shè)檢驗(yàn)H1。

2 目標(biāo)的檢測信息與空間信息

下面從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)處理系統(tǒng)方程。對接收端來說，目標(biāo)存在變量和目標(biāo)歸一化時(shí)延及散射參數(shù)都是不確定的，令V 表示目標(biāo)是否存在的隨機(jī)矢量，X 和S 分別表示目標(biāo)的歸一化時(shí)延矢量和散射矢量，w表示N 維復(fù)高斯噪聲矢量，其概率密度函數(shù)（Probability density function, PDF）為

由系統(tǒng)方程，接收信號矢量Z 也是隨機(jī)的。在給定存在狀態(tài)矢量V 及X 和S 時(shí)，Z 的多維條件PDF 為

式(6)的條件PDF 定義了一個(gè)目標(biāo)檢測與參數(shù)估計(jì)的聯(lián)合信道，由此可得如下探測信息的定義。

定義1 (探測信息) 設(shè)目標(biāo)檢測矢量的概率分布為P (V),歸一化時(shí)延的先驗(yàn)PDF 為p(x)，散射信號的PDF 為p(s)，那么，目標(biāo)探測信息定義為接收信號與目標(biāo)的存在狀態(tài)、位置及散射的聯(lián)合互信息，即

式中E [·] 表示數(shù)學(xué)期望。

式（7）的互信息描述了接收信號含有的目標(biāo)存在狀態(tài)、位置及散射信息。

定義2（檢測信息） 接收信號與目標(biāo)存在狀態(tài)之間的互信息I (Z ; V) 稱為檢測信息，即

定義3（空間信息） 已知目標(biāo)存在狀態(tài)V 條件下，接收信號與目標(biāo)位置及散射之間的互信息I (Z ; XS|V) 稱為空間信息[14,17,21]，即

由于

則

再由定義2 和定義3 有

式（12）表明探測信息是目標(biāo)檢測信息與已知目標(biāo)存在狀態(tài)條件下空間信息之和。該式還揭示了探測信息的獲取方法，即首先進(jìn)行目標(biāo)檢測，所能獲得的信息為I (Z ; V)。在已知目標(biāo)狀態(tài)后再進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，所能獲得的空間信息為I (Z ; XS|V)，故空間信息與參數(shù)估計(jì)密切相關(guān)。目前，在雷達(dá)信號處理中目標(biāo)檢測和參數(shù)估計(jì)通常是分開處理的，并且在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)通常默認(rèn)已知目標(biāo)數(shù)。探測信息的定義將目標(biāo)檢測與參數(shù)估計(jì)在信息論框架下統(tǒng)一起來，為雷達(dá)探測的信息獲取問題提供一個(gè)總體描述框架。

3 目標(biāo)檢測信息的計(jì)算

研究恒模散射目標(biāo)檢測信息的計(jì)算，分別考慮目標(biāo)完全匹配和非匹配2 種場景。

3.1 恒模散射目標(biāo)的檢測信息

恒模散射模型是一種典型的非起伏目標(biāo)散射模型，又稱Swerling0 模型，這時(shí)復(fù)散射系數(shù)的模為常數(shù)，相位在[0,2π] 內(nèi)均勻分布。多目標(biāo)恒模散射信息的計(jì)算十分復(fù)雜，下面只考慮單目標(biāo)情況。令復(fù)散射系數(shù)s = αejφ，這里 α 表示散射系數(shù)的模，φ 表示散射系統(tǒng)的相位。將s = αejφ代入式(6)，則條件概率分布為

其中

式中，I0[·] 表示第一類零階修正貝塞爾函數(shù)，R[·] 表示取實(shí)部。

在目標(biāo)檢測時(shí)，接收者沒有任何關(guān)于目標(biāo)位置的先驗(yàn)信息，故可假設(shè)目標(biāo)位置在觀測區(qū)間內(nèi)的先驗(yàn)分布為均勻分布。在觀測區(qū)間內(nèi)對目標(biāo)位置求期望得

再由貝葉斯公式得后驗(yàn)PDF 為

表示恒模散射目標(biāo)的檢測統(tǒng)計(jì)量。注意到| zHu( x ) |是匹配濾波器輸出的模值，r (v,z) 是| zHu( x ) |的貝塞爾函數(shù)在觀測區(qū)間內(nèi)的時(shí)間平均。顯然，r (v,z) 與普通的能量檢測器不同，也就是說，已知目標(biāo)散射和信道的統(tǒng)計(jì)特性后，能量檢測器已不是最佳檢測器。

式（20）是從信息論角度推導(dǎo)出的后驗(yàn)概率分布，代表檢測器所能達(dá)到的理論極限，與檢測器的具體結(jié)構(gòu)以及檢測方法無關(guān)。

定義4（抽樣后驗(yàn)概率檢測） 對后驗(yàn)概率分布P ( v|z )進(jìn)行抽樣產(chǎn)生的估計(jì)v?稱為目標(biāo)存在狀態(tài)的抽樣后驗(yàn)（Sampling a posteriori, SAP）概率檢測，記為v?SAP，即

式中，v?SAP檢測器稱為抽樣后驗(yàn)概率檢測器。SAP 檢測器是一種隨機(jī)檢測器，給定接收信號時(shí)檢測結(jié)果并不確定，但平均性能由后驗(yàn)概率分布P ( v?|z )確定。

由后驗(yàn)PDF 可得目標(biāo)檢測信息為

式中，Ez[·] 表示對所有接收信號求期望。

3.2 已知恒模散射目標(biāo)位置時(shí)的檢測信息

已知目標(biāo)位置時(shí)的檢測信息，對應(yīng)于匹配濾波器與目標(biāo)位置完全匹配的情況。嚴(yán)格地說，已知目標(biāo)位置的假設(shè)是欠合理的，因?yàn)槟繕?biāo)檢測的任務(wù)是檢測目標(biāo)是否存在，當(dāng)然不知道目標(biāo)的位置。然而，在信噪比（Signal-to-noise ration, SNR）較高時(shí)，完全匹配時(shí)的相關(guān)峰通常最大，將最大峰值用于檢測也是合理的，只不過不適用于低SNR 情況。

本文考慮已知目標(biāo)位置時(shí)的情況是為了便于同NP 準(zhǔn)則進(jìn)行比較。因?yàn)橐阎繕?biāo)位置時(shí)，NP 檢測器的檢測信息、檢測概率有閉合表達(dá)式。已知目標(biāo)位置x0時(shí)的條件概率為

表示已知目標(biāo)位置時(shí)的檢測統(tǒng)計(jì)量，代入互信息公式

即得檢測信息。

4 虛警概率和檢測概率

目標(biāo)檢測器的性能通常采用虛警概率和檢測概率指標(biāo)評價(jià)體系，NP 準(zhǔn)則在保證虛警概率條件下，使檢測概率達(dá)到最大。實(shí)現(xiàn)NP 準(zhǔn)則的檢測器簡稱為NP 檢測器。為了和NP 檢測器進(jìn)行比較，下面推導(dǎo)檢測信息準(zhǔn)則下的虛警概率和檢測概率。

4.1 恒模散射目標(biāo)的虛警概率和檢測概率

令z0和z1分別表示無目標(biāo)和有目標(biāo)時(shí)的接收信號，那么

由抽樣函數(shù)的性質(zhì)uH( x ) uH( x0)= sinc( x - x0)，匹配濾波器的輸出為

對應(yīng)的檢測統(tǒng)計(jì)量為

下面對更一般的任意目標(biāo)散射特性證明虛警概率定理。

定理1（虛警概率定理） 設(shè)信道為CAWGN 信道，目標(biāo)位置在觀測區(qū)間內(nèi)均勻分布，如果觀測區(qū)間足夠長，則對任意散射特性，給定接收信號的虛警概率等于目標(biāo)存在的先驗(yàn)概率，即

證明對任意散射信號s，接收信號為z = u( x ) vs + w，則條件概率分布為

對散射信號求期望得

式中p( s )表示任意散射特性。

在觀測區(qū)間內(nèi)對目標(biāo)位置求期望得

再由貝葉斯公式得后驗(yàn)PDF 為

其中

接收信號為z0時(shí)，uH( x ) z = w ( x )，那么

由于觀測區(qū)間足夠長，則平穩(wěn)過程的時(shí)間平均等于集合平均，那么

由于噪聲服從均值為零，方差為N0的復(fù)高斯分布，可以證明

證畢。

由虛警概率的定義

立即得到如下推論：

推論1設(shè)信道為CAWGN 信道，目標(biāo)位置在觀測區(qū)間內(nèi)均勻分布，如果觀測區(qū)間足夠長，則對任意散射特性，虛警概率等于目標(biāo)存在的先驗(yàn)概率，即

對現(xiàn)代雷達(dá)探測系統(tǒng)，一次快時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)N 可達(dá)幾萬到幾十萬量級，因此，定理1 和推論1 中觀測區(qū)間足夠長的條件通常都能滿足。為了驗(yàn)證上述結(jié)論，圖1 給出了不同SNR 條件下虛警概率與先驗(yàn)概率之間的關(guān)系。從圖1 中看出，在低SNR（SNR=0 dB）時(shí)即使觀測區(qū)間較小（N=64），結(jié)論也吻合得很好。在中等SNR（SNR=5 dB）時(shí)，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N＞1 000 時(shí)也能吻合得很好。

考慮存在目標(biāo)的情況。已知接收信號z1時(shí)，目標(biāo)存在的概率為

式中目標(biāo)位置和隨機(jī)相位對統(tǒng)計(jì)量沒有影響，不妨令之為零，那么

圖1 不同區(qū)間長度和SNR 的虛警概率與先驗(yàn)概率Fig.1 False alarm probability and prior probability for different observation interval length and signal-to-noise ratio

則檢測概率為

4.2 已知恒模散射目標(biāo)位置時(shí)的虛警概率和檢測概率

已知目標(biāo)位置，且接收信號為z0時(shí)，檢測目標(biāo)存在的概率為

其中

則虛警概率為

類似地，接收信號為z1時(shí)，檢測目標(biāo)存在的概率為

其中

那么，檢測概率為

5 紐曼-皮爾遜檢測器的虛警概率、檢測概率和檢測信息

前面基于信息理論推導(dǎo)的檢測信息與檢測器的具體結(jié)構(gòu)及檢測方法無關(guān)。同樣地，虛警概率與檢測概率也與具體的檢測器無關(guān)。下面研究NP 檢測器的虛警概率、檢測概率和檢測信息。NP 檢測器是一種似然比檢測器，為便于比較，只考慮目標(biāo)完全匹配情況，這時(shí)NP 檢測器的性能有閉合表達(dá)式。

5.1 已知恒模散射目標(biāo)位置時(shí)NP 檢測器的虛警概率和檢測概率

已知目標(biāo)位置x0時(shí)，NP 檢測器的性能具有閉合表達(dá)式[1]，檢測概率與虛警概率關(guān)系為

式中QM(·) 稱為Marcum 函數(shù)，而閾值取決于虛警概率

5.2 NP 檢測器的檢測信息

Kondo[22]提出了NP 檢測器檢測信息的計(jì)算方法。NP 檢測器的檢測信息定義為目標(biāo)先驗(yàn)狀態(tài)與已知接收信號的后驗(yàn)狀態(tài)V?之間的互信息，即

式中PV?( 0 )表示目標(biāo)檢測為不存在的概率，因此1- PV?( 0 )表示目標(biāo)檢測為存在的概率。

A 表示在判決“目標(biāo)存在”條件下的目標(biāo)實(shí)際存在概率，D 表示在判決“目標(biāo)不時(shí)存在”條件下目標(biāo)實(shí)際不存在概率。

6 檢測信息準(zhǔn)則與NP 準(zhǔn)則的比較

6.1 恒模散射目標(biāo)檢測信息的比較

以SNR 為參數(shù)，檢測信息準(zhǔn)則與NP 準(zhǔn)則的檢測信息的比較如圖2 所示，其中實(shí)線表示檢測信息準(zhǔn)則，而虛線表示NP 準(zhǔn)則。本文選取的0 dB 代表低SNR 工作條件，5 dB 代表中等SNR 條件。由于NP檢測信息與虛警概率有關(guān)，故虛線是給定先驗(yàn)分布條件下，對所有虛警概率搜索達(dá)到的最大值，換句話說，虛線以下部分是NP 檢測器的可達(dá)區(qū)域。結(jié)果表明，檢測信息準(zhǔn)則的可達(dá)區(qū)域均大于NP 準(zhǔn)則的可達(dá)區(qū)域。 這是可以預(yù)料的，因?yàn)闄z測信息是信息論方法給出的理論值，可以證明檢測信息是理論極限。

6.2 兩種準(zhǔn)則接收機(jī)工作特性曲線的比較

以SNR 為參數(shù)時(shí)檢測信息準(zhǔn)則和NP 檢測器的接收機(jī)工作特性曲線（Receiver operating characteristic curve, ROC）如圖3 所示。從圖3 中可以看出，在2 種SNR 條件下，虛警概率相同時(shí)，NP 檢測器的檢測概率均高于檢測信息準(zhǔn)則。這種結(jié)果也是可以預(yù)料的，因?yàn)樵谔摼怕?檢測概率指標(biāo)體系下NP檢測器最優(yōu)。

圖2 不同虛警概率和SNR 的檢測信息與先驗(yàn)概率Fig.2 Detection information and prior probability for different false alarm probability and signal-to-noise ratio

綜合所述，信息論方法的檢測信息優(yōu)于NP 準(zhǔn)則，而NP檢測器的檢測概率優(yōu)于檢測信息準(zhǔn)則。理論分析表明，即使對于弱小目標(biāo)檢測信息準(zhǔn)則也存在檢測的可能性，對弱小目標(biāo)檢測更有利。目前，兩種準(zhǔn)則哪種最優(yōu)并無定論，但檢測信息準(zhǔn)則打破了NP 準(zhǔn)則一統(tǒng)天下的局面，為目標(biāo)檢測領(lǐng)域開辟了新的方向。

7 目標(biāo)檢測定理

圖3 不同信噪比的虛警概率與檢測概率Fig.3 False alarm probability and detection probability for different signal-tonoise ratio

香農(nóng)信息論的核心內(nèi)容是編碼定理。針對參數(shù)估計(jì)問題，作者已經(jīng)證明了參數(shù)估計(jì)定理[23]。那么，在雷達(dá)探測、特別是目標(biāo)檢測領(lǐng)域是否存在類似的定理呢？在目標(biāo)檢測中NP 檢測器一直占有統(tǒng)治地位，因?yàn)樵谔摼怕?檢測概率指標(biāo)體系下，NP 準(zhǔn)則是最佳的。人們長期忽視一個(gè)基本的理論問題，就是（1）有沒有不同于虛警概率-檢測概率的其他評價(jià)指標(biāo)；（2）最優(yōu)檢測問題，何種檢測器是最優(yōu)的，在什么意義上最優(yōu)，最優(yōu)的性能是多少？這正是目標(biāo)檢測定理需要回答的問題。

目標(biāo)檢測定理涉及的內(nèi)容非常廣泛，本文只針對單目標(biāo)檢測問題給出證明，但證明的框架可以推廣到多目標(biāo)檢測中。在證明定理之前先定義需要用到的概念。

定義5（目標(biāo)位置特性） 在觀測區(qū)間上目標(biāo)的歸一化時(shí)延為隨機(jī)矢量，歸一化時(shí)延的先驗(yàn)分布p(x) 稱為目標(biāo)位置特性。

定義6（目標(biāo)散射特性） 目標(biāo)的散射信號為隨機(jī)變量，散射信號的先驗(yàn)概率分布p(s) 稱為目標(biāo)散射特性。

定義7（目標(biāo)先驗(yàn)分布） 目標(biāo)存在狀態(tài)的先驗(yàn)概率分布P(v) 稱為目標(biāo)先驗(yàn)分布。

目標(biāo)的存在狀態(tài)、位置和散射信號構(gòu)成參數(shù)矢量χ= (v,x,s)，目標(biāo)先驗(yàn)分布P(v)、位置特性p(x)和散射特性p(s) 統(tǒng)稱為目標(biāo)特性p(χ) =p(v,x,s)。

定義8（檢測信道) 檢測信道(A,p(z|v),B) 由輸入集、輸出集和條件概率密度函數(shù)p(z|v) 組成。檢測變量v∈A，輸入集A= {0,1} 為檢測變量取值的集合；接收信號z∈B，輸出集B是復(fù)數(shù)域上的矢量空間；檢測信道特性由條件概率密度函數(shù)p(z|v)確定。

檢測信道與位置特性p(x) 和散射特性p(s) 有關(guān)，后面的檢測信道都是指特定目標(biāo)特性條件下的檢測信道。

定義9（檢測器) 檢測器產(chǎn)生對目標(biāo)存在狀態(tài)v的估計(jì)v?，檢測函數(shù)v?=d(z) 對給定的接收序列輸出一個(gè)檢測值v?。

定義10（聯(lián)合目標(biāo)-信道) 聯(lián)合目標(biāo)-檢測信道(A,P(v),p(z|v),B) 是指目標(biāo)特性和檢測信道組成的總體。

聯(lián)合目標(biāo)-信道定義了檢測器所要面對的檢測環(huán)境，這里假定檢測器知道聯(lián)合目標(biāo)-信道的全部統(tǒng)計(jì)特性，但實(shí)際中檢測器通常只知道一部分目標(biāo)-信道統(tǒng)計(jì)特性。

定義11（檢測系統(tǒng)) 檢測系統(tǒng)(A,P(v),p(z|v),v?=d(z),B)刻畫目標(biāo)特性、信道特性和估計(jì)器組成的總體。

一次檢測過程由目標(biāo)、信道和檢測器幾部分組成，簡稱為一次快拍。多次快拍將產(chǎn)生擴(kuò)展目標(biāo)和擴(kuò)展信道，m次快拍的檢測過程如圖4 所示。圖4 表明(Vm,Zm,V?m) 組成一個(gè)馬爾可夫鏈。

定義12（無記憶擴(kuò)展目標(biāo)) 無記憶擴(kuò)展目標(biāo)指擴(kuò)展目標(biāo)之間相互獨(dú)立。

圖4 m 次快拍目標(biāo)檢測系統(tǒng)Fig.4 Target detection system of m snapshots

定義13（無記憶擴(kuò)展信道) 無記憶快拍信道（Memeryless snapshot channel，MSC）指多次快拍產(chǎn)生的擴(kuò)展信道(AM,p(zM|vM),BM)滿足

其中p(zm|vm)是第m次快拍信道。

聯(lián)合目標(biāo)-信道(A,p(v),p(z|v),B) 確定了后驗(yàn)概率分布P(v|z) 和檢測信息。還需定義另一種與檢測器相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)檢測信息。

對于檢測器而言，給定目標(biāo)存在狀態(tài)時(shí)，檢測器是通過接收信號進(jìn)行檢測的，與檢測器相關(guān)的檢測信息定義為

定義14（經(jīng)驗(yàn)檢測信息) 檢測器從M次快拍得到的經(jīng)驗(yàn)檢測信息定義為

定義15（可達(dá)性) 檢測信息I(Z,V)稱為可達(dá)的，如果存在一個(gè)檢測器，其M次快拍的經(jīng)驗(yàn)檢測信息I()M(V?;V)滿足

定義16（聯(lián)合典型序列) 服從聯(lián)合分布p(v,z) 的聯(lián)合典型序列{(xM,zM)}所構(gòu)成的集合A()M ε是M長序列對構(gòu)成的集合，其經(jīng)驗(yàn)熵與真實(shí)熵之差小于ε，即

引理1對于無記憶快拍信道( AM,p( zM|vM),BM)，如果v?M是后驗(yàn)概率分布p( v|z ) 的M 次抽樣估計(jì)，則(v?M,zM) 是關(guān)于概率分布p( v?M,zM)的聯(lián)合典型序列。

證明：由于v?M是后驗(yàn)概率分布p( v|z ) 的M 次抽樣估計(jì)，則擴(kuò)展后驗(yàn)概率分布PSAP(v?M|zM) =P (v?M|zM)，那么

證畢。

由引理1 和聯(lián)合典型序列的定義，立即有

定理2（目標(biāo)檢測定理) 檢測信息I ( Z,V ) 是可達(dá)的，具體來說，設(shè)檢測器已知聯(lián)合目標(biāo)-信道( A,P (v),p( z|v ),B )統(tǒng)計(jì)特性，則，對任意ε ＞0，存在檢測器的經(jīng)驗(yàn)檢測信息滿足

定理分為正定理和逆定理兩部分，先證明正定理。反之，任何檢測器的經(jīng)驗(yàn)檢測信息不大于檢測信息。

正定理的證明：

根據(jù)目標(biāo)先驗(yàn)分布獨(dú)立產(chǎn)生M 次擴(kuò)展目標(biāo)狀態(tài)vM，再根據(jù)vM和M 次擴(kuò)展信道p( zM|vM)產(chǎn)生接收序列zM，則接收信號zM滿足

采用抽樣后驗(yàn)概率檢測器，令v?M是對于無記憶快拍信道p( zM|vM) 的M 次抽樣估計(jì)，則由引理1，(v?M,zM) 是關(guān)于概率分布p(v?M,zM) 的聯(lián)合典型序列。

根據(jù)聯(lián)合典型序列的定義，對任意ε ＞0，只要快拍數(shù)足夠大，有

由于p(v?M|zM) = p(v?M,zM) /p(zM)，那么

逆定理的證明：

令v?M= d ( zM)是任一檢測器，該檢測器的經(jīng)驗(yàn)檢測信息記為I (VM; V?M)。由圖4 可知，(Vm,Zm,V?m)組成一個(gè)馬爾可夫鏈，由數(shù)據(jù)處理定理

即任何檢測器的經(jīng)驗(yàn)檢測信息不大于檢測信息，證畢。

目標(biāo)檢測定理的證明是構(gòu)造性的，就是說，SAP 檢測是可實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)檢測方法，其性能是漸近最優(yōu)的。目標(biāo)檢測定理首次證明了目標(biāo)檢測性能的理論極限，可以為實(shí)際目標(biāo)檢測系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供比較的依據(jù)。

8 結(jié)束語

本文給出目標(biāo)檢測信息的嚴(yán)格定義，并推導(dǎo)出目標(biāo)檢測信息的理論公式，從理論上解決了檢測信息的定量問題。提出了抽樣后驗(yàn)概率檢測方法，并證明了目標(biāo)檢測定理。抽樣后驗(yàn)概率檢測是一種隨機(jī)目標(biāo)檢測方法，與香農(nóng)信息論中隨機(jī)編碼的思想一脈相承。目標(biāo)檢測定理指出，檢測信息是可達(dá)的，反之，任何檢測器的經(jīng)驗(yàn)檢測信息不大于檢測信息。檢測信息的概念和目標(biāo)檢測定理的證明是一個(gè)重要的標(biāo)志，從此，目標(biāo)檢測可以建立在信息論的基礎(chǔ)之上。

在目標(biāo)檢測領(lǐng)域NP 準(zhǔn)則一直占有統(tǒng)治地位，虛警概率-檢測概率指標(biāo)體系是目標(biāo)檢測系統(tǒng)性能的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。目標(biāo)檢測的信息理論以檢測信息作為系統(tǒng)性能的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，研究表明，基于檢測信息準(zhǔn)則的檢測概率低于NP 檢測器，但檢測信息遠(yuǎn)大于NP 檢測器。因此，目標(biāo)檢測的信息理論為目標(biāo)檢測的系統(tǒng)理論和設(shè)計(jì)方法開辟了新的方向。