楊 穎，李冬睿，黃曉峰

（廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣州，510507）

引 言

多屬性決策問題的本質(zhì)是在相關(guān)評價(jià)指標(biāo)下對已有的待評價(jià)方案進(jìn)行評價(jià)分析，并借助于相關(guān)理論工具篩選出綜合評價(jià)最好的方案，因此在工程、經(jīng)濟(jì)、管理及計(jì)算機(jī)等許多領(lǐng)域都具有重要意義[1-3]。傳統(tǒng)方法中人們對備選方案（對象）的評價(jià)信息都是以精確的數(shù)字形式呈現(xiàn)。然而在現(xiàn)實(shí)生活中，人類所面臨的信息不僅僅是精確數(shù)值，更多的是不精確性和不確定性的數(shù)據(jù)信息。因此，有必要研究這類含有不確定信息的多屬性決策問題。對于此，Zadeh 提出的模糊集[4]有效地解決了多屬性決策中的不確定性問題。針對模糊集的一個(gè)廣義情況，Atanassov 引入了直覺模糊集[5]的概念，該集合中的單位元以隸屬度和非隸屬度為基礎(chǔ)描述不確定性特征。在這種情況下，直覺模糊集可以為決策者提供較為便捷的方法來處理復(fù)雜的決策問題。作為直覺模糊集的推廣，勾股模糊集[6]繼承了直覺模糊集的二元性，即同時(shí)具有隸屬度和非隸屬度兩個(gè)特征，因此在實(shí)際的多屬性決策問題中比直覺模糊集更具有測量不確定性的靈活性，同時(shí)能夠囊括更多的不確定信息。勾股模糊集中的單位元稱為勾股模糊數(shù)，其滿足隸屬度和非隸屬度的平方和等于或小于1 的條件。

自從勾股模糊集被提出之后得到了深入研究[7-9]。Dick 等[10]研究了勾股模糊集的格理論性質(zhì)，并將其推廣到復(fù)平面的單位圓盤上。運(yùn)用愛因斯坦運(yùn)算法則，Garg[11]討論了一種新的廣義勾股模糊信息集結(jié)算子，然后將這些算子應(yīng)用于勾股模糊信息下的多屬性決策問題中，以顯示新方法的有效性、實(shí)用性和有效性。Zhang[12]提出了一種基于相似測度的處理勾股模糊多準(zhǔn)則群決策問題的新方法，并討論了兩種新的聚合算子。針對多重多準(zhǔn)則勾股模糊決策問題，Zhang[13]還設(shè)計(jì)了一種基于勾股模糊定性的貼近度指數(shù)方法。Peng 等[14]開發(fā)了勾股模糊數(shù)的除法和減法運(yùn)算，提出了勾股模糊優(yōu)缺點(diǎn)排序方法來解決勾股模糊信息的多準(zhǔn)則決策問題。Wei 等[15]利用冪聚合算子構(gòu)建了一系列的勾股模糊冪聚合算子，其中包括勾股模糊冪平均算子、勾股模糊冪幾何算子、勾股模糊冪加權(quán)平均算子、勾股模糊冪加權(quán)幾何算子、勾股模糊冪有序加權(quán)平均算子、勾股模糊冪序加權(quán)幾何算子、勾股模糊冪混合平均算子和勾股模糊冪混合幾何算子。丁恒等[16]構(gòu)建了勾股模糊冪加權(quán)平均算子的群決策方法，提高了專家權(quán)威和評估信息的可信度。劉衛(wèi)峰等[17]將定義的勾股模糊Hamacher 運(yùn)算用于信息融合算法的設(shè)計(jì)過程中，提出了勾股模糊Hamacher 加權(quán)平均算子、勾股模糊Hamacher 有序加權(quán)平均算子、勾股模糊Hamacher 加權(quán)幾何算子以及勾股模糊Hamacher 有序加權(quán)幾何算子，并通過資金投資實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證。

對于現(xiàn)有文獻(xiàn)中提出的勾股模糊信息的聚合算子，大多模型方法認(rèn)為其屬性值是獨(dú)立的，沒有考慮它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，這就造成這些聚合算子存在一定的局限性。因此，本文將Heronian 平均[18]運(yùn)用于勾股模糊數(shù)聚合算子的設(shè)計(jì)過程中，同時(shí)把t-模和t-余模也融入算子中，建立了勾股模糊Heronian 平均（Pythagorean fuzzy Heronian mean，PFHM），最后通過多媒體圖像系統(tǒng)選擇案例驗(yàn)證了本文算法的正確性與有效性。

1 理論基礎(chǔ)

定義1[18]令ai≥0( i = 1,2,…,n )，p,q ＞0，稱下面的多元函數(shù)

為a1,a2,…,an的Heronian 平均。事實(shí)上，Heronian 平均不僅可以對這組非負(fù)數(shù)a1,a2,…,an進(jìn)行集成運(yùn)算，而且能夠有效地挖掘它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。

考慮一個(gè)多屬性問題，假設(shè)Z ={ Z1,Z2,…,Zm} 為一組備選方案集，屬性指標(biāo)集表示為C ={ C1,C2,…,Cn}。決策過程中，專家以這組屬性指標(biāo)為評判標(biāo)準(zhǔn)，對備選方案集Z ={ Z1,Z2,…,Zm}進(jìn)行評定，并提供相關(guān)的屬性值評價(jià)信息。為了進(jìn)一步提高對不確定性信息的刻畫能力和信息表達(dá)的全面性，本文將運(yùn)用勾股模糊集中的勾股模糊數(shù)進(jìn)行評價(jià)信息的表達(dá)，其實(shí)質(zhì)上是現(xiàn)有直覺模糊集的拓展。

定義2[6]定義在備選方案集Z ={ Z1,Z2,…,Zm} 上的勾股模糊集可以表示為A ={( Zi,μA( Zi),νA( Zi))|Zi∈Z }，其中 μA( Zi),νA( Zi) 為兩個(gè)非負(fù)數(shù)，分別代表Zi屬于集合A 的隸屬度和非隸屬度，并且滿足0 ≤ μ2A( Zi)+ ν2A( Zi)≤1。

為了便于下文敘述，文獻(xiàn)[19]稱( μA( Zi),νA( Zi))為勾股模糊數(shù)，記為 α =( μ,ν )=( μP( x ),νP( x ))。

定義3[6]令αi=( μi,νi)為兩個(gè)勾股模糊數(shù)，定義它們的序關(guān)系方法如下：

(1)當(dāng) ρ( α1)＞ ρ( α2)時(shí)，則 α1＞ α2；

(2)當(dāng) ρ( α1)= ρ( α2) 時(shí)，如果 π ( α1)＞π ( α2)，則 α1= α2；如果 π ( α1)= π ( α2)，則 α1＞ α2。這里 ρ( αi)=μ2i- ν2i代表 αi的得分度，π ( αi)= μ2i+ ν2i代表 αi的精確度。

如果二元函數(shù)T ( x,y ):[ 0,1 ]2→[ 0,1 ] 滿足有界性、單調(diào)性、對稱性以及結(jié)合律這4 個(gè)條件，則稱T ( x,y )為t-模。如果S( x,y )= 1- T (1- x,1- y )，那么稱S( x,y )為t-余模。同時(shí)，t-模和t-余模分別可 以 運(yùn) 用 減 函 數(shù) g ( t ) 和 增 函 數(shù) h( t ) 表 示 為 T ( x,y )= g-1( g ( x )+ g ( y ))，S( x,y )= h-1( h( x )+h( y ))，這 里h( t )= g (1- t )[20]。 下 面 運(yùn) 用 函 數(shù)g ( t ) 和h( t ) 定 義 新 的 勾 股 數(shù)運(yùn)算。

定義4令 α =( μ,ν ),α1=( μ1,ν1),α2=( μ2,ν2)為3 個(gè)勾股模糊數(shù)，定義新的基本運(yùn)算法則：

容易證明，定義4 中的基本運(yùn)算法則滿足交換律、分配律和結(jié)合律。

2 PFHM 及其相關(guān)性質(zhì)

2.1 PFHM 集成形式

定義5對于一列勾股模糊數(shù)αi( i = 1,2,…,n )，參數(shù)p,q ＞0，如果

那么多元函數(shù)PFHM ( α1,α2,…,αn)稱為勾股模糊Heronian 平均。

定理1對于一列勾股模糊數(shù)αi( i = 1,2,…,n )，參數(shù)p,q ＞0，那么通過式(2)計(jì)算得到的結(jié)果還是勾股模糊數(shù)，同時(shí)其計(jì)算展開式如下

所以

下面證明通過式(2)計(jì)算得到的結(jié)果還是勾股模糊數(shù)。已知g ( t )和h( t )有以下性質(zhì)和關(guān)系：g ( t )和g-1( t )都為減函數(shù)，h( t )和h-1( t )都為增函數(shù)，同時(shí)滿足h( t )= g (1- t )，h-1( t )= 1- g-1( t )。由于函數(shù)g ( t )，g-1( t )，h( t )和h-1( t )的定義域和值域全部都在非負(fù)實(shí)數(shù)域里面，因此容易得到

接下來證明式(5)和(6)的平方和不超過1。因?yàn)閷λ械膇 = 1,2,…,n，有 μ2i+ ν2i≤1，所以 μ2i≤1- ν2i，于是有下面不等式成立

那么有

結(jié)合式(5)和(6)可以看出通過式(2)計(jì)算得到的結(jié)果還是勾股模糊數(shù)。綜上，定理1 得證。

2.2 PFHM 性質(zhì)特征

定理2 假 設(shè) αi=( μi,νi),βi=( φi,φi)( i = 1,2,…, n ) 是兩列勾股模糊數(shù)，那么PFHM 滿足以下性質(zhì)。

（1）單調(diào)性。如果 μi≤ φi，νi≥ φi，i = 1，2，…，n，則有

（2）冪等性。若 αi= α，i = 1，2，…，n，那么有

（3）有界性。令 χ =( miniμi，maxiνi)，γ =( maxiμi，miniνi)，則有

證明由于冪等性和有界性很容易可得，因此在這里只證明單調(diào)性成立。 令PFHM ( α1,α2,…,αn)=( μ,v ),PFHM ( β1,β2,…,βn)=( φ,φ )。

由于 μi≤ φi,νi≥ φi,i = 1,2,…,n，因此有

即 μ2≤ φ2,v2≥ φ2，那么有 μ2- v2≤ φ2- φ2，即 ρ( PFHM ( α1,α2,…,αn))≤ ρ( PFHM ( β1,β2,…,βn))。

根據(jù)定義3 可知

于是定理2 中的單調(diào)性得證。

2.3 PFHM 特例

在式(4)的PFHM 表達(dá)式中能夠發(fā)現(xiàn)：函數(shù)g ( t )是一個(gè)遞減函數(shù)，沒有給定一個(gè)具體地函數(shù)表達(dá)式；同樣，參數(shù)p,q 也沒有給定具體數(shù)值。下面將對這些函數(shù)和參數(shù)賦予具體的形式，探究PFHM 的一些特例。

特例1當(dāng)g ( t )=-loge( t )時(shí)，PFHM 變形為

式中

特例3 當(dāng)q →0 時(shí)，PFHM 轉(zhuǎn)化為

在上述條件下，如果此時(shí)p = 1，那么PFHM 將會(huì)退化為

特例4 當(dāng)p = q = 1 2 時(shí)，PFHM 變形為

特例5 當(dāng)p = q = 1 時(shí)，PFHM 將變形為

3 勾股模糊決策模型的構(gòu)建及其應(yīng)用

3.1 模型構(gòu)建

（1）模型背景

考慮一個(gè)多屬性決策問題，其中用Z={Z1,Z2,…,Zm}表示備選方案集，C={C1,C2,…,Cn}表示屬性指標(biāo)集。 專家依據(jù)這些屬性指標(biāo)對上述備選方案進(jìn)行評價(jià)分析，并運(yùn)用勾股模糊數(shù)αij(i=1,2,…,m;j= 1,2,…,n) 來表示這些屬性評價(jià)值信息，使得反映的決策信息更為全面和準(zhǔn)確，這里αij代表專家給定的備選方案Zi在屬性Cj下的屬性值，于是得到勾股模糊數(shù)決策矩陣M=(αij)m×n。

（2）模型步驟

步驟1根據(jù)實(shí)際問題背景情況對勾股模糊數(shù)決策矩陣M=(αij)m×n進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，轉(zhuǎn)化得到新的勾股模糊數(shù)決策矩陣N=(βij)m×n。

步驟2利用式(3)勾股模糊信息集中的勾股模糊數(shù)αi(i= 1,2,…,n)的單調(diào)性等特性計(jì)算備選方案Zi(i= 1,2,…,m)的綜合勾股模糊數(shù)βi(i= 1,2,…,m)。

步驟3運(yùn)用定義3 求出每一個(gè)綜合勾股模糊數(shù)βi(i= 1,2,…,m)的得分度和精確度，并對這些綜合勾股模糊數(shù)βi(i= 1,2,…,m)進(jìn)行大小排序。

步驟4通過參照βi(i= 1,2,…,m)的大小排序輸出備選方案Zi(i= 1,2,…,m)的優(yōu)劣順序。

3.2 決策實(shí)例

為了說明本文提出的勾股模糊決策模型的正確性和有效性，本文通過一個(gè)高校多媒體圖像系統(tǒng)選擇實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。在該實(shí)例中，有4 個(gè)圖像系統(tǒng){Z1,Z2,Z3,Z4} 基本符合學(xué)校的要求。為提升選擇的合理性，該校邀請專業(yè)人員對4 個(gè)圖像系統(tǒng)進(jìn)行評價(jià)，評價(jià)的指標(biāo)分別為：系統(tǒng)交互效果C1、系統(tǒng)成本C2、系統(tǒng)的市場評價(jià)C3以及系統(tǒng)售后服務(wù)C4。通過專業(yè)人員的評估，得出了表1 的勾股模糊數(shù)決策矩陣M。基于決策矩陣的系統(tǒng)選購決策步驟如下：

步驟1考慮到系統(tǒng)成本C2是成本型指標(biāo)，和其他3 個(gè)不一致，因此將M=(αij)4×4標(biāo)準(zhǔn)化為新的矩陣N=(βij)4×4，即

表1 勾股模糊數(shù)決策矩陣Table 1 Decision matrix of Pythagorean fuzzy number

步驟2借助于本文提出的PFHM(不失一般性，運(yùn)用式(12)，設(shè)定p=q=，可求得4 個(gè)圖像系統(tǒng){Z1,Z2,Z3,Z4}的綜合評價(jià)值為

步驟3計(jì)算得出4 個(gè)圖像系統(tǒng){Z1,Z2,Z3,Z4}綜合評價(jià)值的得分度為

步驟4通過得分度可知β2＞β3＞β4＞β1，于是4 個(gè)圖像系統(tǒng)優(yōu)劣順序?yàn)閆2?Z3?Z4?Z1。因此可得選擇Z2圖像系統(tǒng)最合適。

表2 不同模型的決策結(jié)果Table 2 Decision making results of different models

對表2 中的決策結(jié)果分析可知：運(yùn)用本文提出的PFHM 模型進(jìn)行信息集成后的決策結(jié)果相同，體現(xiàn)了PFHM 的穩(wěn)定性；運(yùn)用本文PFHM 決策模型進(jìn)行計(jì)算得到的最終排序結(jié)果和文獻(xiàn)[6]結(jié)果一致，體現(xiàn)了PFHM 模型的合理性；本文PFHM 模型的計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[19]結(jié)果對比，雖然最優(yōu)的結(jié)果一致，但4 個(gè)多媒體圖像系統(tǒng)排序仍存在一定差異，即Z3和Z4的優(yōu)劣順序不同。事實(shí)上，通過挖掘原始的標(biāo)準(zhǔn)化勾股模糊數(shù)決策矩陣N=(βij)4×4中的屬性值信息可知，Z3對應(yīng)的勾股模糊數(shù)屬性信息大體上都大于Z4對應(yīng)的勾股模糊數(shù)屬性信息，于是就有Z3?Z4，其與本文模型的決策結(jié)果相同，證明了本文決策模型的有效性。

4 結(jié)束語

針對屬性評價(jià)信息以勾股模糊數(shù)形式給出的多屬性決策問題，本文首先運(yùn)用t-模和t-余模定義了新的勾股模糊數(shù)基本運(yùn)算；然后基于Heronian 平均建立了PFHM 算子，討論了PFHM 算子的3 個(gè)特征性質(zhì)和特例；接著構(gòu)建了新的勾股模糊決策模型，該模型考慮了輸入屬性值之間的關(guān)聯(lián)性，可以提高決策的使用范圍；最后將模型運(yùn)用到多媒體圖像系統(tǒng)選擇決策實(shí)例中，證明了本文模型的合理性和有效性。但是本文沒有考慮屬性的重要性差異情況，因此針對屬性權(quán)重不相同的勾股模糊數(shù)決策問題將進(jìn)一步進(jìn)行研究。