曾勝財(cái)， 任志君， 簡榮華

(1.廈門海洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息技術(shù)系， 福建 廈門 361100；2.浙江師范大學(xué) 浙江省光信息檢測與顯示技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 浙江 金華 321004；3.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院， 浙江 湖州 313000)

無衍射光束最大的特點(diǎn)是光強(qiáng)分布沿傳輸方向始終不變.目前有4類無衍射光束，分別是橢圓坐標(biāo)系下的Mathieu光束、極坐標(biāo)系下的Bessel光束、直角坐標(biāo)系下的Cosine光束和拋物坐標(biāo)系下的Parabolic(拋物)光束[1-3].無衍射光束的研究在光學(xué)微操縱、制作光子彈、光通信等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.目前應(yīng)用最廣泛、技術(shù)最成熟的無衍射光束是貝塞爾光束.它是一種中心對稱、光學(xué)形態(tài)相對簡單的光束.無論是零階貝塞爾光束還是高階貝塞爾光束，其傳輸方程均可用較簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)來表達(dá)[4-5].因此貝塞爾光束是最容易實(shí)現(xiàn)，并被廣泛應(yīng)用的無衍射光束.

相比貝塞爾光束，馬丟光束具有更多的形態(tài)[6-8]，表達(dá)形式也更復(fù)雜,在一些無衍射光束的應(yīng)用領(lǐng)域中能達(dá)到特定的效果，因此對馬丟光束的研究具有重要意義.目前國內(nèi)外一些學(xué)者已經(jīng)在馬丟光束的表達(dá)形式、參數(shù)取值、傳播屬性，以及實(shí)驗(yàn)制作馬丟高斯光束等方面進(jìn)行了研究[6-12]，但大多是針對低階馬丟光束在傍軸的傳輸研究.吳瓊等[13-14]提出用格林函數(shù)法和虛源法研究馬丟光束，并給出了馬丟光束傳輸更精確的表達(dá)式.但這些研究都是針對一階奇次馬丟光束，目前國內(nèi)外尚未見關(guān)于更高階馬丟光束的研究，其主要原因是更高階馬丟光束的表達(dá)形式更復(fù)雜，無論是采用計(jì)算模擬還是光學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)的難度都非常大，而馬丟光束在非傍軸情況下傳輸?shù)难芯扛鼜?fù)雜.本文利用虛源法，結(jié)合傅里葉-貝塞爾變換理論，以螺旋馬丟高斯光束為例，計(jì)算模擬復(fù)雜馬丟光束的傳輸表達(dá)式及非傍軸情況的光場分布，并與傍軸近似結(jié)果做對比分析，這對研究螺旋馬丟高斯光束的傳輸特性及其應(yīng)用具有一定的理論意義.

1 虛源法計(jì)算螺旋馬丟光束

馬丟光束經(jīng)級數(shù)展開，在極坐標(biāo)系下有4種光強(qiáng)表達(dá)形式[9]，分別是第一類、第二類奇型馬丟光束和第一類、第二類偶型馬丟光束.

(1)

對應(yīng)類型的奇、偶光束疊加可形成螺旋馬丟光束.而理想的馬丟光束僅是個理論模型，需要被高斯函數(shù)剪切，使其在有限范圍內(nèi)保持無衍射傳輸，才具有實(shí)際的研究意義.因此選擇第一類奇型馬丟光束和第一類偶型馬丟光束的疊加為例，螺旋馬丟高斯光束可表達(dá)為：

(2)

其在z=0平面的場分布為:

(3)

其中：ω0為z=0平面上光束的束腰寬度；2e+2為奇型馬丟光束的階數(shù)；2e為偶型馬丟光束的階數(shù).利用虛源法將馬丟函數(shù)展開.設(shè)有一系列強(qiáng)度為Scs(n)，n=2e+2j,位于z=zcs，半徑ρ=ρcs，并帶有一個方位角變量sin[(2j+2)φ]或cos2jφ的電環(huán)，只要參量Scs、zcs和ρcs選取合適的值，就能分別產(chǎn)生第一類奇型或偶型馬丟光束.虛光源的標(biāo)量波函數(shù)為：

E2e+2，2j+2(ρ，φ，z)=U2e+2,2j+2(ρ,z)sin[(2j+2)φ],
E2e，2j(ρ，φ，z)=U2e,2j(ρ,z)cos(2jφ).

(4)

近傍軸條件下，U2e+2，2j+2(ρ，φ，z)、U2e，2j(ρ，φ，z)均滿足非奇次亥姆霍茲方程：

(5)

其中：k是波數(shù)；對于第一類奇型馬丟光束和第一類偶型馬丟光束，(m,n)分別取(2e+2，j+2)、(2e，2j).用傅里葉-貝塞爾在極坐標(biāo)系下的變換可得[10]：

(6)

(7)

由式(5)可得關(guān)于Um,n(ρ,z)的光譜Fm,n(η,z)的微分方程.將Fm,n(η,z)代入式(6)，有：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

將式(10)～(12)代入式(9)，可得傍軸條件下Um,n(ρ,z)的近似解為：

(13)

將式(10)～(12)代入式(8)，可得Um,n(ρ,z)精確解的積分表達(dá)式為：

(14)

2 螺旋馬丟光束的軸上光場分布

對第一類螺旋馬丟高斯光束軸上ρ=0光場的非傍軸修正項(xiàng)，根據(jù)式(2)、式(4)和式(14)，可得軸上光場的分布為：

(15)

式(15)中的振幅因子1/ζ和相位因子exp[iζ(z-ia)]進(jìn)行級數(shù)展開后，因η2?k2，所以只需保留(kω0)-2e(e=0,1,2,…)及之前的項(xiàng).為獲取軸上光場的三階非傍軸修正，有e=3，保留至(kω0)-6項(xiàng)即可.在此條件下的展開結(jié)果為：

(16)

式(16)中:

(17)

式(17)中：f2(z)=(1+iz/a)-1，根據(jù)關(guān)系式

(18)

(19)

式(19)中：

(19)式為軸上的螺旋馬丟高斯光束保留到三階非傍軸修正項(xiàng)的非傍軸表達(dá)式.取λ=632.8 nm、ω0=45 μm、q=6，對螺旋馬丟高斯光束的軸上非傍軸光強(qiáng)分布進(jìn)行數(shù)值模擬，如圖1所示(縱坐標(biāo)光強(qiáng)的單位由初始光強(qiáng)而定).

由圖1可知，螺旋馬丟高斯光束在傳輸過程中的近距離范圍內(nèi)，非傍軸修正值與傍軸近似值相差較大，隨著傳輸距離的增加，兩者越來越接近.因此，若將螺旋馬丟高斯光束應(yīng)用于近場研究，如光學(xué)加工或顯微成像，需精確計(jì)算其非傍軸傳輸特性.但非旁軸理論的數(shù)學(xué)計(jì)算極復(fù)雜,一般很難給出解析表達(dá)式.本文基于虛源法計(jì)算推導(dǎo)螺旋馬丟高斯光束的解析表達(dá)式,給出了非傍軸傳輸?shù)木_解，此表達(dá)式能同時(shí)適用于近場和遠(yuǎn)場的光束傳輸情況，對解析研究復(fù)雜光束的傳輸具有極其重要的理論價(jià)值.

3 結(jié) 論

根據(jù)光束傳輸?shù)莫?dú)立性和疊加性原理，將螺旋馬丟高斯光束分解成一系列Bessel光束疊加的形式，然后使用無窮項(xiàng)虛源求和的方法推導(dǎo)出螺旋馬丟高斯光束在自由空間傳輸?shù)膰?yán)格解析積分表達(dá)式，并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算模擬其在光軸上光場分布的精確解，得到了螺旋馬丟高斯光束保留到三階非旁軸的修正項(xiàng).此研究有利于了解螺旋馬丟高斯光束的特性，在近場情況下，非傍軸修正值與傍軸近似值相差較大時(shí)，此光場精確解為螺旋馬丟高斯光束在實(shí)際中的精準(zhǔn)應(yīng)用提供了有益的幫助.本文利用光束傳輸?shù)奶匦裕ㄟ^簡單的函數(shù)疊加來實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜光束的研究，此方法在光束傳輸和光場調(diào)制等方面有一定的意義.