吳承業(yè)， 沈逸珺， 汪 慰， 曹遠(yuǎn)壽， 周婉茹， 孟慶欣

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院， 浙江 湖州 31300)

0 引 言

我國實(shí)行城鎮(zhèn)住房制度改革以來，房地產(chǎn)行業(yè)日新月異．目前，房地產(chǎn)行業(yè)在中國整體經(jīng)濟(jì)規(guī)模中有著舉足輕重的地位.住房問題緊扣人民生活，房地產(chǎn)的政策和市場走向是每年兩會(huì)備受關(guān)注的焦點(diǎn)之一．2019年兩會(huì)提及了房地產(chǎn)調(diào)控政策、房地產(chǎn)金融政策、房地產(chǎn)稅立法、新型城鎮(zhèn)化、房地產(chǎn)市場形勢等．習(xí)近平在黨的十九大報(bào)告中提出的社會(huì)主要矛盾更是從深層次指出，對(duì)弱勢群體(中低收入人群)的住房保障將成為未來發(fā)展的重點(diǎn)．

ARMA模型是一種典型的時(shí)間序列分析模型，它利用公式將收集的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到預(yù)測數(shù)據(jù)的目的．相關(guān)學(xué)者根據(jù)該模型的特點(diǎn)對(duì)很多數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測分析.管崠菀等利用ARIMA模型對(duì)網(wǎng)絡(luò)輿情傳播過程進(jìn)行預(yù)測研究[1]；劉蕓男等利用ARIMA模型對(duì)臨床用血需求進(jìn)行分析預(yù)測[2]；魏新剛等利用ARIMA模型分析預(yù)測其他感染性腹瀉者的發(fā)病情況[3]；石煬針對(duì)股票價(jià)格與人民幣匯率的聯(lián)動(dòng)性特點(diǎn)運(yùn)用ARIMA模型進(jìn)行分析預(yù)測[4]；呂靖燁等運(yùn)用ARIMA模型對(duì)歐盟碳金融市場期貨價(jià)格進(jìn)行分析預(yù)測[5]……杭州市的房價(jià)在全國處于較高層次，其中上城區(qū)和下城區(qū)是杭州市房價(jià)較典型的城區(qū).本文從2010-2018年上述城區(qū)的房價(jià)出發(fā)，利用ARIMA模型對(duì)其2019-2023年的房價(jià)進(jìn)行分析預(yù)測．

1 ARMA模型的原理

ARMA模型(autoregressive moving average model,自回歸滑動(dòng)平均模型)是利用差分等方法將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，再將因變量對(duì)它的滯后值，以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值進(jìn)行回歸建立的預(yù)測模型[6]．其原理為：若時(shí)間序列Xt是一個(gè)平穩(wěn)且非白噪聲序列,假設(shè)其方差始終不發(fā)生改變,那么該時(shí)間序列滿足以下公式:

Xt=β0+β1Xt-1+…+βpXt-p+εt-α1εt-1-…-αqεt-p,

其中，β0為常數(shù)項(xiàng),β1,β2,…,βp為自回歸系數(shù),α1,α2,…,αq為滑動(dòng)平均系數(shù), 其均為模型中所需擬合的參數(shù)；εt,εt-1,…,εt-q為原序列的殘差序列，其均值為0, 方差固定為σ2,p為該時(shí)間序列的自回歸階數(shù),q為滑動(dòng)平均階數(shù), 記為ARMA(p，q)模型.

ARMA模型只能用于處理平穩(wěn)且非白噪聲序列，而實(shí)際收集到的數(shù)據(jù)多為不平穩(wěn)的數(shù)據(jù)，因此本文采用取對(duì)數(shù)和差分法將不平穩(wěn)序列化為平穩(wěn)序列，然后將ARMA模型代入新序列確定自回歸階數(shù)和滑動(dòng)平均階數(shù)，最后將原序列代入確定的模型中，模型的輸出即為預(yù)測結(jié)果．

2 模型的建立

2.1 模型建立步驟

(1) 檢驗(yàn)原序列是否平穩(wěn)：根據(jù)原序列的時(shí)序圖、自相關(guān)系數(shù)圖和偏相關(guān)系數(shù)圖判斷該序列是否為平穩(wěn)序列．

(2) 不平穩(wěn)序列平穩(wěn)化：若原序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列，則將原序列對(duì)數(shù)化和差分化使原序列成為一個(gè)平穩(wěn)序列．

(3) 白噪聲檢驗(yàn)：檢驗(yàn)生成的新序列是否為白噪聲序列，白噪聲序列不具有研究意義．

(4) 模型定階：根據(jù)新序列的自相關(guān)系數(shù)圖和偏相關(guān)系數(shù)圖的截尾階數(shù)確定ARIMA(p，q)中的p、q階數(shù).由于截尾階數(shù)的不確定性和置信區(qū)間的不同，導(dǎo)致模型不唯一，需建立多個(gè)模型，最終利用AIC、SC準(zhǔn)則挑選出最優(yōu)模型．

(5) 適應(yīng)性檢驗(yàn)：檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臍埐钚蛄惺欠駷榘自肼曅蛄?，若是，則表明數(shù)據(jù)信息被充分提取，模型較好．

(6) 擬合預(yù)測：利用選擇的模型擬合預(yù)測未來的數(shù)據(jù)．

2.2 模型建立過程

2.2.1 判斷原序列是否平穩(wěn)

本文對(duì)2010-2018年杭州市上城區(qū)和下城區(qū)的房價(jià)序列Yt1、Yt2作時(shí)序圖(見圖1和圖2).由時(shí)序圖分析得出，2組序列屬于不平穩(wěn)序列.因此需要運(yùn)用取對(duì)數(shù)法和差分法將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列后才能展開進(jìn)一步的分析．

2.2.2 序列平穩(wěn)化

由圖1和圖2發(fā)現(xiàn)，2組序列的增長趨勢類似指數(shù)增長，直接作差分得到的序列可能依舊為不平穩(wěn)序列．因此先分別對(duì)2組序列做取對(duì)數(shù)處理，得到新時(shí)序圖，如圖3和圖4所示.

經(jīng)觀察初步判斷，取對(duì)數(shù)后的2組新時(shí)序圖均為不平穩(wěn)序列.為更精確地判斷，對(duì)2組新序列l(wèi)nYt1、lnYt2進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn),結(jié)果見表1和表2.

表1 序列l(wèi)nYt1的單位根檢驗(yàn)表

表2 序列l(wèi)nYt2的單位根檢驗(yàn)表

由表1和表2看出，在顯著性水平取0.05的情況下，2組數(shù)據(jù)均接受存在一個(gè)單位根的原假設(shè)，證明2組數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后依舊為不平穩(wěn)序列．對(duì)序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，即對(duì)其進(jìn)行適應(yīng)性檢驗(yàn)，結(jié)果見圖5和圖6.

可見，2組序列的自相關(guān)系數(shù)始終在0附近，說明2組數(shù)據(jù)均不為白噪聲序列，具有研究意義．為達(dá)到平穩(wěn)化的目的，對(duì)2組數(shù)據(jù)進(jìn)一步做一階差分處理，得到序列Xt1、Xt2，如圖7和圖8所示.

由圖7和圖8可以看出，新序列從直觀上判斷是平穩(wěn)的．為更精確地判斷新序列的平穩(wěn)性，對(duì)其進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)，結(jié)果見表3和表4.

表3 序列Xt1的單位根檢驗(yàn)表

表4 序列Xt2的單位根檢驗(yàn)表

由表3和表4可以看出，2組新序列均通過了顯著性水平0.05的ADF檢驗(yàn)，拒絕存在單位根的原假設(shè)，故經(jīng)過取對(duì)數(shù)和一階差分后的新序列是平穩(wěn)的．

2.3 模型定階

由圖9和圖10可以看出，上城區(qū)的自偏相關(guān)系數(shù)在5階后明顯截尾，自相關(guān)系數(shù)在滯后6階和7階時(shí)落在二倍標(biāo)準(zhǔn)差邊緣[7]；下城區(qū)的自偏相關(guān)系數(shù)在3階后明顯截尾，自相關(guān)系數(shù)在滯后3階和4階時(shí)落在二倍標(biāo)準(zhǔn)差邊緣．本文采用反復(fù)比對(duì)不同模型的相應(yīng)參數(shù)作為依據(jù)，利用AIC準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則確定最佳模型的階數(shù)．

上城區(qū)ARMA(3,5)模型的顯著性見表5，其余符合顯著性水平的模型分別為ARMA(3,1)、ARMA(3,2)、ARMA(3,3)、ARMA(3,4)，其各自的AIC值和SC值見表6.

表5 上城區(qū)ARMA(3,5)模型的顯著性

表5(續(xù))

表6 上城區(qū)各模型的AIC和SC值

依據(jù)AIC、SC準(zhǔn)則，上城區(qū)選擇ARMA(3,5)模型，即：

Xt=0.005 456+0.502 567Xt-1-0.393 692Xt-2+0.181 180Xt-3-

0.222 138εt-1+0.143 533εt-2+0.233 256εt-3-0.102 514εt-4+0.254 323εt-5.

下城區(qū)ARMA(3,3)模型的顯著性見表7,其余符合顯著性水平的模型分別為ARMA(3,1)、ARMA(3,2)、ARMA(3,4),其各自的AIC值和SC值見表8.

表7 下城區(qū)ARMA(3,3)模型的顯著性

表7(續(xù))

表8 下城區(qū)各模型的AIC和SC值

依據(jù)AIC、SC準(zhǔn)則，下城區(qū)選擇ARMA(3,3)模型,即：

Xt=0.006 162+1.278 097Xt-1-0.167 616Xt-2-

0.280 245Xt-3-1.118 117εt-1-0.198 813εt-2+0.634 319εt-3.

2.4 模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)

模型的參數(shù)估計(jì)完成后需進(jìn)行適應(yīng)性檢驗(yàn)，因此將模型的殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn).圖11、圖12分別為2個(gè)城區(qū)的殘差序列白噪聲檢驗(yàn)圖，2個(gè)城區(qū)殘差序列的自偏相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)系數(shù)在1～16階的P值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0.05，均為白噪聲序列[8]，證明在各模型的殘差序列中不含有重要的有效信息，各模型通過適應(yīng)性檢驗(yàn)，其模型均為有效模型．模型擬合圖見圖13和圖14.

可見，各模型的擬合效果較好，擬合曲線的趨勢與實(shí)際趨勢幾乎一致．但擬合曲線與實(shí)際相比仍存在一定的滯后性．

2.5 上城區(qū)和下城區(qū)2019-2023年房價(jià)模型預(yù)測

分別將2個(gè)通過檢驗(yàn)的模型運(yùn)用到各區(qū)中，對(duì)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測和靜態(tài)預(yù)測,結(jié)果如圖15至圖22所示.靜態(tài)預(yù)測是在預(yù)測數(shù)據(jù)時(shí)，將前一時(shí)期的真實(shí)數(shù)據(jù)代入后一時(shí)期進(jìn)行預(yù)測;動(dòng)態(tài)預(yù)測是將前一時(shí)期預(yù)測出來的數(shù)據(jù)代入后一時(shí)期進(jìn)行預(yù)測[9]．靜態(tài)預(yù)測只能對(duì)樣本內(nèi)或樣本外后一時(shí)期的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，它的作用在于可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果是否較好；動(dòng)態(tài)預(yù)測是對(duì)樣本外一段時(shí)期的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，若靜態(tài)預(yù)測結(jié)果與原數(shù)據(jù)吻合度較高，則表明動(dòng)態(tài)預(yù)測結(jié)果可信度更高[10]．

根據(jù)各組數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)預(yù)測組序列圖可知，各模型的動(dòng)態(tài)預(yù)測擬合點(diǎn)幾乎與原序列完全重合，證明動(dòng)態(tài)預(yù)測結(jié)果較好．

最終，根據(jù)動(dòng)態(tài)預(yù)測結(jié)果，得知杭州市上城區(qū)和下城區(qū)2019-2023年房價(jià)的預(yù)測結(jié)果見表9.

表9 杭州市上城區(qū)和下城區(qū)2019-2023年房價(jià)預(yù)測結(jié)果

3 結(jié) 語

本文采用ARMA模型，運(yùn)用取對(duì)數(shù)法和差分法處理原本不平穩(wěn)的序列，將數(shù)據(jù)最后變成非白噪聲序列進(jìn)行建模，預(yù)測杭州市上城區(qū)和下城區(qū)的房價(jià)走向.由模型及分析預(yù)測的結(jié)果看，杭州市兩區(qū)房價(jià)在2019-2023年將持續(xù)上漲.國家雖然開展宏觀調(diào)控，但該區(qū)房價(jià)依舊只增不減，這與杭州市的實(shí)際情況密切相關(guān).杭州旅游業(yè)發(fā)達(dá)，擁有眾多的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)，全國五百強(qiáng)企業(yè)中杭州占比近10%，龍頭企業(yè)入駐杭州，吸引了一大批外來人員，因此杭州市房價(jià)會(huì)呈上漲趨勢.鑒于杭州市的人口和經(jīng)濟(jì)狀況，未來杭州市的房價(jià)仍會(huì)呈增長趨勢.