文凱王良偉周方陳良超王鵬軍孟增明? 張靖

1)(山西大學(xué)光電研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原030006)

2)(山西大學(xué)極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原030006)

(2020年4 月8日收到;2020年6月6日收到修改稿)

1 引 言

強(qiáng)關(guān)聯(lián)多體物理是研究諸多材料性質(zhì)的關(guān)鍵內(nèi)容,但是一直以來有兩個(gè)問題難以攻克,一個(gè)是計(jì)算難度隨系統(tǒng)的粒子數(shù)增多呈指數(shù)增長;另一個(gè)是非線性系統(tǒng)無法用微擾法處理[1].近年來,快速發(fā)展的光晶格因其具有完美的周期勢(shì)場和高度的可調(diào)控性,使得研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)多體系統(tǒng)成為可能[2?8].2002年,德國Bloch小組首次在實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到了玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensation,BEC)在光晶格中由超流(superfluid,SF)態(tài)相變到Mott絕緣(Mott insulator,MI)態(tài),從此光晶格成為研究超冷原子強(qiáng)關(guān)聯(lián)多體系統(tǒng)中新奇量子態(tài)的重要手段[9].而對(duì)于自旋大于1/2的原子,光晶格又可以提供一個(gè)高度可控的大自旋量子關(guān)聯(lián)體系,在此基礎(chǔ)上,許多新材料模型和新奇量子現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)[10?16].利用單一激光光束折疊反射產(chǎn)生二維光晶格,這個(gè)方案已用于產(chǎn)生二維光晶格的雙阱陣列,實(shí)現(xiàn)分離和操控原子對(duì)陣列[17],并理論預(yù)測(cè)了該系統(tǒng)具有高軌道能帶的拓?fù)浒虢饘賾B(tài)[18].本文實(shí)驗(yàn)觀測(cè)了87Rb超冷原子在兩種不同的二維光晶格中SF態(tài)和MI態(tài)之間的量子相變.二維光晶格是采用單束激光折疊反射產(chǎn)生,通過控制激光偏振產(chǎn)生兩種不同的二維光晶格結(jié)構(gòu), 一種是激光偏振方向平行于晶格光束所在平面, 另一種是激光偏振方向垂直于晶格光束所在平面. 該工作為今后開展光晶格中大自旋量子態(tài)和強(qiáng)關(guān)聯(lián)物理等研究奠定基礎(chǔ).

2 理論模型

2.1 Bose-Hubbard模型建立

在1998年,Jaksch等[19]將Hubbard模型引入超冷原子領(lǐng)域,建立了Bose-Hubbard模型,提出了實(shí)現(xiàn)SF態(tài)到MI態(tài)轉(zhuǎn)變的條件.其模型包含三個(gè)關(guān)鍵參數(shù):隧穿強(qiáng)度J,相互作用強(qiáng)度U和格點(diǎn)上的化學(xué)勢(shì)μi.二次量子化的多體哈密頓量在坐標(biāo)表象下可寫成:

第二項(xiàng)表示單個(gè)格點(diǎn)上原子間的相互作用

第三項(xiàng)為格點(diǎn)上的化學(xué)勢(shì)

2.2 相變過程分析

Bose-Hubbard模型無法直接求解,所以考慮兩個(gè)極限情況[20].

當(dāng)J/U→∞,即晶格間躍遷占主導(dǎo),而相應(yīng)的晶格勢(shì)趨近于零,即U→0,原子依然保持Thomas-Fermi分布,所有玻色原子在k=0的最低Bloch能帶,系統(tǒng)的波函數(shù)表現(xiàn)由單原子的波函數(shù)等相位疊加的形式,體系的基態(tài)波函數(shù):

其中,N表示原子數(shù),NL為晶格點(diǎn),原子可以在格點(diǎn)間自由隧穿,單個(gè)格點(diǎn)上的原子滿足泊松分布,此時(shí)為超流態(tài).當(dāng)原子自由飛行時(shí),由于相鄰格點(diǎn)原子之間具有相同的相位,所以在動(dòng)量空間可以看到干涉產(chǎn)生離散的動(dòng)量分量.如圖1所示處于超流態(tài)的原子在晶格中隧穿.

圖1超冷原子在光晶格中的隧穿Fig.1.The tunneling of ultracold atoms in optical lattice.

當(dāng)J/U→0,晶格間相互作用占主導(dǎo),即U→∞格點(diǎn)間原子隧穿很弱,晶格勢(shì)很強(qiáng),系統(tǒng)的基態(tài)由局域化的原子波函數(shù)組成,則體系基態(tài)波函數(shù)為

此時(shí)這一狀態(tài)為MI態(tài),相鄰格點(diǎn)間沒有相干,所以在動(dòng)量空間不會(huì)觀察到干涉產(chǎn)生的離散動(dòng)量分量.

前面描述兩個(gè)極端情況下的Bose-Hubbard模型,考慮J/U從0 →∞ 即從SF態(tài)到MI態(tài)的相變過程,這主要由J/U和μi/U共同作用,如果MI態(tài)中單個(gè)格點(diǎn)中僅有一個(gè)原子,可以根據(jù)蒙特卡洛數(shù)值模擬出臨界點(diǎn)為(U/J)n=1=16.4[21].

3 實(shí)驗(yàn)過程

圖2為產(chǎn)生二維光晶格的實(shí)驗(yàn)光路圖.光晶格激光經(jīng)過平面反射鏡M1、M2和平凹反射鏡M3的反射后,沿原光路返回,其中消色差透鏡F0、F1使激光會(huì)聚到原子的束腰直徑為200μm.

圖2實(shí)驗(yàn)裝置二維光晶格由一束激光往返產(chǎn)生,其中方案1和方案2分別代表激光偏振平行和垂直于光束所在平面的兩種情況Fig.2.Schematic diagram of the experimental setup to realize the two-dimensional optical lattices.The two-dimensional optical lattices are made of a single fold retroreflected laser beam.The linearly polarization of the incident laser beam aligned parallel(case 1)or normal(case 2)to the drawing plane can generate two different cases of two-dimensional optical lattice potentials.

圖3兩種光晶格(a)方案1的面內(nèi)光晶格空間分布;(b)方案2的面外光晶格空間分布;(c)方案1的晶胞;(d)方案2的晶胞;(e)兩種光晶格勢(shì)在xz平面上的分布Fig.3.Two types of optical lattices:(a)Spatial distribution pattern of in-plane optical lattice for case 1;(b)spatial distribution pattern of out-plane optical lattice for case 2;(c)unit cell for case 1;(d)unit cell for case 2;(e)the potentials of two types of optical lattices(V = –Er).

在本實(shí)驗(yàn)中,通過改變激光偏振產(chǎn)生了兩種不同結(jié)構(gòu)的二維光晶格.根據(jù)入射激光偏振的不同,具體分為兩種方案:方案1是激光的偏振平行于光束所在平面,由此產(chǎn)生的二維光晶格稱為面內(nèi)晶格, 沿x軸和y軸是兩個(gè)獨(dú)立的一維光晶格, 所以勢(shì)阱為其中是光晶格激光的波長.面內(nèi)二維光晶格勢(shì)阱的空間分布及在xz平面上的投影如圖3(a)所示,可以看到勢(shì)阱沿x、y軸獨(dú)立分布,空間周期為λ/2.方案2是入射激光偏振垂直于光束所在平面,產(chǎn)生的二維光晶格稱為面外晶格,因?yàn)檠豿、y方向激光偏振互相平行, 所以兩個(gè)一維光晶格會(huì)產(chǎn)生干涉, 勢(shì)阱為其中2 cos(krx)cos(kry) 為干涉項(xiàng),由圖3(b)可以看到勢(shì)阱沿x軸、y軸呈45°分布,周期為當(dāng)波長為紅失諧時(shí)(V<0),光晶格產(chǎn)生的勢(shì)阱就像地平面上挖的一個(gè)個(gè)“洞”.近期本研究組將這兩種光晶格的相位信息寫到物質(zhì)波上,產(chǎn)生了亞波長的相位結(jié)構(gòu)[22].圖3(c)和3(d)分別表示的是面內(nèi)晶格和面外晶格的一個(gè)晶胞.圖3(e)表示的是在相同光強(qiáng)和波長下,兩種光晶格勢(shì)在xz平面的分布,藍(lán)線代表方案1(兩條藍(lán)線對(duì)應(yīng)圖3(a)中勢(shì)阱在xz面上最低和最高處的平面分布),紅線代表方案2,可以看到在相同情況下,面外光晶格勢(shì)阱更深,束縛原子的能力也越強(qiáng),也更容易達(dá)到MI態(tài).

圖4實(shí)驗(yàn)時(shí)序圖 紅色表示的光晶格光強(qiáng)的變化,最后自由飛行12 ms吸收成像,其中(a)表示SF到MI的時(shí)序,(b)表示BEC到MI再到BEC的時(shí)序Fig.4.Schematic diagram of the experimental sequence:The red lines show the light intensity of optical lattice,and finally have an imaging of TOF 12 ms.The drawing(a)shows the sequence of SF to MI,drawing(b)shows the sequence of BEC to MI,and back to BEC.

具體實(shí)驗(yàn)過程如下:|F=2,mF=2?態(tài)的87Rb原子在四極磁阱和藍(lán)失諧光塞勢(shì)阱疊加形成的復(fù)合阱中進(jìn)行射頻蒸發(fā)預(yù)冷卻[23?25],當(dāng)原子溫度達(dá)到5μK左右時(shí),將原子裝載到兩束激光交叉形成的偶極阱中(波長為1064 nm,頻率相差10 MHz,在原子云處的光斑直徑是200μm),通過進(jìn)一步蒸發(fā)冷卻后,最終獲得2×105個(gè)87Rb原子的玻色愛因斯坦凝聚體[26,27].然后打開光晶格激光,將光強(qiáng)由零線性增大,用時(shí)30 ms,再等待5 ms,使原子在光晶格中穩(wěn)定下來.時(shí)序如圖4(a)所示,紅線表示光晶格光強(qiáng).在打開光晶格過程中光偶極阱功率保持不變,用于維持z方向的束縛,最后突然關(guān)閉偶極阱和光晶格勢(shì)阱,原子在自由空間中飛行12 ms后做吸收成像(time of flight,TOF),依據(jù)原子在動(dòng)量空間中的分布,可以判定BEC是否相變到MI態(tài);當(dāng)獲得MI態(tài)后,降低光晶格光強(qiáng)到零,用時(shí)30 ms,最后同時(shí)關(guān)斷所有激光,自由飛行12 ms成像,即實(shí)現(xiàn)SF態(tài)到MI態(tài)再到BEC的量子相變,實(shí)驗(yàn)時(shí)序如圖4(b)所示.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

實(shí)驗(yàn)上首先研究了面內(nèi)二維光晶格的量子相變過程.通過每次調(diào)節(jié)時(shí)序圖4(a)中的光強(qiáng)來觀察相變過程, 分別為0.92 mW(2.23Er)、3.7 mW(8.96Er)、10.67 mW(25.84Er)和13.26 mW(32.12Er),由此得到圖5中的(a1)、(a2)、(a3)、(a4),可以看到在弱光晶格下,在原子動(dòng)量空間中心的上下左右四個(gè)正方向2kr處出現(xiàn)干涉的動(dòng)量分量,表明原子處在超流態(tài),隨著光強(qiáng)增大,格點(diǎn)間原子隧穿減弱,相互作用增強(qiáng),格點(diǎn)間的干涉減弱,因此干涉的高動(dòng)量分量對(duì)比度減弱.(a2)中在±45°方向上出現(xiàn)動(dòng)量分量,這主要是由于偏振不純導(dǎo)致有少許面外光晶格的貢獻(xiàn),實(shí)驗(yàn)中用偏振分光棱鏡測(cè)得光束經(jīng)過反射鏡M2時(shí),消光比已經(jīng)由1/1000變化到1.8/1000;其次是兩個(gè)方向上的光路無法保證完全垂直.當(dāng)阱深加到32Er時(shí),凝聚體徹底相變到MI態(tài),此時(shí)每個(gè)格點(diǎn)內(nèi)原子相互作用增強(qiáng),由此導(dǎo)致格點(diǎn)間原子的相對(duì)相位隨機(jī),因此干涉消失,此時(shí)原子彌散分布在連續(xù)動(dòng)量空間里.Spielman等[28]采用單束激光產(chǎn)生二維光晶格,實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到87Rb原子在面內(nèi)晶格中由SF態(tài)徹底相變到MI態(tài)的阱深接近31(2)Er,結(jié)論與本文實(shí)驗(yàn)結(jié)果相一致.在圖5(a)的基礎(chǔ)上,分別將四次實(shí)驗(yàn)的光晶格勢(shì)阱降到零,重新獲得BEC,分別對(duì)應(yīng)(b1)、(b2)、(b3)、(b4),發(fā)現(xiàn)光晶格勢(shì)阱越深,返回得到的BEC中熱原子數(shù)也越多,原子溫度略有升高,主要是由光晶格抖動(dòng)等不穩(wěn)定性因素引起原子加熱.

之后實(shí)驗(yàn)研究了87Rb原子在面外二維光晶格中的量子相變過程, 與方案1相同, 通過改變晶格光強(qiáng)來觀察相變過程,具體的光強(qiáng)參數(shù)為0.89 mW(2.15Er),2.3 mW(5.57Er)、4.2 mW(10.17Er)、5.1 mW(12.35Er),由此得到圖6中的(a1)、(a2)、(a3)、(a4),表示SF態(tài)相變到MI態(tài)的過程;隨后分別減小光強(qiáng)到零,得到各自對(duì)應(yīng)的BEC,如圖6(b1)至圖6(b4).

在圖6(a)中,剛開始光強(qiáng)較弱的時(shí)候,格點(diǎn)間原子干涉占主導(dǎo)地位,首先在±45°方向上出現(xiàn)動(dòng)量分量.逐漸增大光強(qiáng),±45°方向上的動(dòng)量分量也隨著增強(qiáng),但對(duì)比度逐漸減弱.當(dāng)光晶格強(qiáng)度達(dá)到10.17Er時(shí),系統(tǒng)就發(fā)生量子相變,進(jìn)入MI態(tài).對(duì)比方案1和2可知,后者出現(xiàn)量子相變的晶格深度更低,這與之前的理論分析一致,因?yàn)槊嫱饩Ц駜蓚€(gè)方向的激光在原子處平行,由此產(chǎn)生干涉增強(qiáng),而面內(nèi)晶格的激光在原子處的偏振正交,因此是兩個(gè)獨(dú)立的一維光晶格構(gòu)成的二維光晶格,勢(shì)阱深度的具體情況見圖3(e),面外光晶格的最低處能量是面內(nèi)偏振光晶格最低處的兩倍,同時(shí)面外二維光晶格的勢(shì)壘高度是面內(nèi)光晶格最低處勢(shì)壘的四倍,因此面外偏振相比面內(nèi)偏振二維光晶格在較低光強(qiáng)下就可以產(chǎn)生MI量子相變.

圖5方案1的量子相變(a0)表示獲得MI態(tài)的時(shí)序圖,(a1)到(a4)為SF態(tài)相變到MI態(tài)的過程,(a1)中紅色標(biāo)注為光晶格格點(diǎn),(a2)中白色標(biāo)注的格點(diǎn)主要由于激光偏振不純、x軸和y軸方向上的光路不完全正交所導(dǎo)致的,當(dāng)勢(shì)阱逐漸加深,隧穿開始加強(qiáng),這些格點(diǎn)也越明顯;(b0)為BEC相變到MI態(tài),再相變回BEC的時(shí)序圖,分別對(duì)應(yīng)(b1)—(b4)Fig.5.Quantum phase transition for case 1:(a0)Reveals the sequence diagram of BEC to MI,from(a1)to(a4),show the imaging from SF to MI.In(a1),the red dashed circles show the lattice points,and in (a2),the white dashed circles show some incorrect lattice points,because the linearly polarization is impure and two beam paths along x axis and y axis are not totally orthogonal.Increasing potentials,these lattice points are more obvious;(b0)reveals the sequence diagram of MI to BEC,(b1)to(b4)show the imaging of MI to BEC after decreasing the potentials to zero.

5 結(jié) 論

本文采用單一激光光束的多次折疊反射方案實(shí)現(xiàn)了二維光晶格,進(jìn)而通過控制面內(nèi)和面外兩種偏振狀態(tài)產(chǎn)生了兩種不同結(jié)構(gòu)的二維光晶格.將87Rb原子BEC裝載到兩種光晶格中觀察到從超流態(tài)和Mott絕緣態(tài)的量子相變,分析了兩種光晶格結(jié)構(gòu)對(duì)量子相變的影響.下一步將從理論和實(shí)驗(yàn)上精確定量分析兩種光晶格量子相變點(diǎn)的光強(qiáng)大小和相對(duì)比例,希望進(jìn)一步研究與量子相變有關(guān)的許多有趣的多體物理現(xiàn)象.